Cho S là một tập, không gian vectơ định chuẩn F. Và {fn} là một dãy của ánh xạ đi từ S vào F. Với mỗi x ∈ S, ta có thể xem xét dãy các phần tử của F cho bởi {f1(x), f2(x), ...}. Do đó, với mỗi x ta có thể nói dãy {fn(x)} hội tụ. Nếu {fn} là dãy của ánh xạ sao cho với mỗi x ∈ S dãy {fn(x)} hội tụ, thì ta nói {fn} hội tụ từng điểm.
Mặt khỏc, giả sử mỗi {fn} ∈ ò(S, F) là phần tử của khụng gian vectơ của ánh xạ bị chặn từ S vào F lấy theo chuẩn sup. Khi đó, ta nói sự hội tụ của dãy {fn} trong không gian này. Nếu dãy {fn} hội tụ theo chuẩn sup, ta núi rằng nú hội tụ đều. Hội tụ trong ò(S, F) là hội tụ đều. Ta sẽ kí hiệu chuẩn sup bởi | |.
Một dãy tùy ý của ánh xạ {fn} từ S vào F hội tụ đều đến ánh xạ f nếu với , tồn tại N sao cho với mọi n≥ N, thì hiệu f −fn là bị chặn và
|f −fn| < .
Cho T là tập con của S. Nếu f là ánh xạ trên S vào F, f bị chặn trên T, ta viết
|f|T = sup
x∈T
f(x).
Nếu f là một dãy của ánh xạ từ S vào F và nếu nó hội tụ đều với chuẩn sup lấy theo T, thì ta nói nó hội tụ đều trên T.
Ví dụ 2.3.1. Cho {fn} là dãy của hàm mà đồ thị như sau: Hàm fn có
đỉnh dạng tam giác và giá trị của nó bằng 0 với x ≥cn, {cn} là dãy giảm tới 0, thì với mỗi x > 0, giới hạn
n→∞lim fn(x) = 0,
bởi vì với mỗi x,tồn tại N sao chofn(x) = 0nếu n ≥ N. Do đó, dãy {fn} hội tụ từng điểm đến 0. Tuy nhiên, nó không hội tụ đều đến 0. Nếu tất cả đỉnh tăng đến 1, thì
|fn| = 1 = |fn−0|.
Vì vậy, dãy của hàm không hội tụ đều. Chú ý, mỗi fn bị chặn, liên tục và giới hạn của hàm là liên tục.
Ví dụ 2.3.2. Với mỗi n, cho fn(x) = 1/nx xác định với x > 0, thì với mỗi x, dãy của số {1/nx} hội tụ đến 0. Do đó giới hạn từng điểm của dãy {fn(x)} là 0. Ta cũng nói rằng {fn} hội tụ từng điểm đến hàm 0. Tuy nhiên hội tụ này không đều. Thật vậy, với x bất kỳ, N cần để
1/nx <
với mọi n ≥ N phụ thuộc vào x. Ta có thể viết N = N(x). Khi x xấp xỉ 0, N(x) trở nên lớn và càng lớn.
Tuy nhiên, cho c > 0. Với mỗi fn xác định trên tập T bao gồm tất cả số x ≥ c, thì {fn} hội tụ đều đến 0 trên tập T. Thật vậy, với , tồn tại N sao cho 1/N < c, thì với mọi x ≥ c, n ≥ N ta có:
| 1
nx −0| = 1
nx ≤ 1
N c < .
Do đó, |fn|T < , vậy đã chứng minh được {fn} hội tụ đều đến 0 trên T. Ví dụ 2.3.3. Cho fn(x) = (1 − x)n xác định với 0 ≤ x ≤ 1. Với mỗi x 6= 0, ta có:
n→∞lim(1−x)n = 0.
Tuy nhiên,
n→∞lim fn(0) = lim
n→∞(1−0)n = 1.
Mỗi fn là liên tục, nhưng giới hạn hàm (từng điểm) là không liên tục trên [0,1].Ta sẽ chứng minh hai định lý cơ bản liên quan giới hạn đều của hàm.
Định lý 2.3.1. Cho F là không gian Banach và S là tập con không rỗng.
Khi đú, khụng gian ò(S, F) lấy theo chuẩn sup là Banach.
Chứng minh. Cho {fn} là dãy Cauchy của ánh xạ bị chặn từ S vào F. Với đã cho, tồn tại N sao cho nếu n, m ≥N thì
|fn−fm| < .
Đặc biệt, với mỗi x, |fn(x)−fm(x)| < . Do đó, {fk(x)} với (k = 1,2, ...) là dãy Cauchy trongF, mà nó hội tụ khi F là Banach. Ta kí hiệu giới hạn của nó bởi f(x) là
f(x) = lim
n→∞fk(x).
Cho n≥ N, x ∈ S, chọn m ≥ N đủ lớn (phụ thuộc vào x) sao cho
|fk(x)−f(x)| < , thì
|f(x)−fn(x)| ≤ |f(x)−fm(x)|+ |fm(x)−fn(x)|
< +|fm −fn|
< 2
Hơn nữa, |f(x)| ≤ 2+ |fN(x)| ≤2+|fN|.
Điều này f bị chặn và bất đẳng thức trước chỉ ra rằng |f −fn| < 2, khi {fn} hội tụ đều đến f. Điều đú, chứng minh ò(S, F) là Banach.
Định lý 2.3.2. Cho S là tập con không rỗng của không gian vectơ định chuẩn F, và {fn} là dãy ánh xạ liên tục từ S vào F, giả sử rằng {fn} hội tụ đều đến ánh xạ f : S → F. Khi đó f là liên tục.
Chứng minh. Cho v ∈ S. Chọn n lớn để |f −fn| < . Với sự lựa chọn n, sử dụng tính liên tục của fn tại v, chọn δ sao cho bất kì |x −v| < δ. Ta có, |fn(x)−fn(v)| < thì
|f(x)−f(v)| = |f(x)−fn(x)|+|fn(x)−fn(v)|+|fn(v)−f(v)|
< 2|f −fn|+
< 3
Vậy định lý được chứng minh.
Từ định lý trên, ta có thể kết luận hội tụ của hàm trong ví dụ 2.3.2 ở trên không thể đều, bởi vì giới hạn hàm là không liên tục.
Hệ quả 2.3.1. Cho S là tập con không rỗng của không gian vectơ định chuẩn, BC◦(S, F) là không gian vectơ của ánh xạ liên tục bị chặn từ S vào F. Khi đó, BC◦(S, F) là không gian Banach (lấy theo chuẩn sup).
Chứng minh. Bất kỡ dóy Cauchy trongBC◦(S, F)cú giới hạn trongò(S, F) bởi định lý 2.3.1 và giới hạn này là liên tục bởi định lý 2.3.2. Điều này đã chứng minh được hệ quả.
Hệ quả 2.3.2. Không gian của ánh xạ liên tục bị chặn BC◦(S, F) là đóng trong không gian của ánh xạ bị chặn (lấy theo chuẩn sup).
Chứng minh. Bất kì điểm dính của không gian BC◦(S, F) là giới hạn của dãy của ánh xạ liên tục bị chặn và định lý 2.3.2 đã chỉ ra hệ quả này.
Cho S là một tập con của không gian vectơ định chuẩn E, T là một tập. Và f : S ìT → F là ỏnh xạ vào khụng gian vectơ định chuẩn F. Ta thấy f phụ thuộc vào hai biến x ∈ S và y ∈ T, cho v là điểm dính của S. Giả sử với mỗi y ∈ T giới hạn
x→vlimf(x, y) tồn tại. Ta cũng có thể viết như sau:
x→vlimf(x, y) =g(y)
với ánh xạ g : T → F. Ta sẽ nói giới hạn này tồn tại duy nhất với mỗi y ∈ T nếu cho , tồn tại δ, sao cho bất kì x ∈ S và |x−v| < δ thì
|f(x, y)−g(y)| <
với mọi y ∈ T.
Định lý 2.3.3. Cho S và T là tập con của không gian vectơ định chuẩn, f là một ỏnh xạ xỏc định trờn SìT, cú giỏ trị trong khụng gian vectơ định chuẩn. Cho v là điểm dính của S và w là điểm dính của T. Cho rằng:
i) lim
y→wf(x, y) tồn tại với x ∈ S.
ii) lim
x→vf(x, y) tồn tại duy nhất với y ∈ T.
Thì giới hạn
x→vlim lim
y→wf(x, y), lim
y→wlim
x→vf(x, y)
(x,y)→(v,w)lim f(x, y) tất cả đều tồn tại và bằng nhau.
Chứng minh. Cho h(x) = lim
y→wf(x, y) và g(y) = lim
x→vf(x, y).
Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng
x→vlimh(x)
tồn tại. Ta sẽ dùng tiêu chuẩn Cauchy và ước lượng:
|h(x)−h(x0)| ≤ |h(x)−f(x, y)|+|f(x, y)−f(x0, y)|+|f(x0, y)−h(x0)|.
Cho , bằng (ii) khi đó tồn tại δ1 sao cho nếu x, x0 ∈ S và
|x−v| < δ1,|x0 −v| < δ1 thì với mọi y ∈ T ta có:
|f(x, y)−g(y)| < và |f(x0, y)−g(y)| < , (2.4) do đó
|f(x, y)−f(x0, y)| < 2. (2.5) Từ (i) khi đó tồn tại δ2(x, x0) sao cho nếu y ∈ T và |y −w| < δ2 thì
|f(x, y)−h(x)| < và |f(x0, y)−h(x0)| < . (2.6) Từ (3.2) và (3.3) suy ra
|h(x)−h(x0)| < 4
do h(x) hội tụ khi x → v, là giới hạn L. Điều này chứng minh giới hạn thứ nhất.
Để thấy g(y) xấp xỉ L là giới hạn, ta xem xét bất đẳng thức
|g(y)−L| ≤ |g(y)−f(x, y)|+|f(x, y)−h(x)|+ |h(x)−L|.
Ta chọn δ3 sao cho nếu |x−v| < δ3 thì |h(x) −L| < . Ta cũng biết nếu
|x−v|< δ1 thì|f(x, y)−g(y)|< .Ta chọnxsao cho|x−v| < min(δ1, δ3).
Chọn x tìm thấy δ sao cho, từ (i), nếu |y −w| < δ thì
|f(x, y)−h(x)| <
Điều này chỉ ra rằng với mọi y, ta có
|g(y)−L| < 3, và chứng minh g(y) xấp xỉ L khi y xấp xỉ w.
Cuối cùng, để thấy f(x, y) xấp xỉ L khi (x, y) → (v, w) trong không gian tích, ta viết:
|f(x, y)| −L| ≤ |f(x, y)−g(y)|+|g(y)−L|.
Nếu x đóng tại v, thì |f(x, y)−g(y)| < (do (3.1)). Nếu |y−w| < δ, thì
|g(y)−L| < . Nó đã chứng minh giới hạn cuối cùng.
Chương 3
Tập compact
3.1 Tính chất cơ bản của tập compact
Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn E, {xn} là một dãy trong S. Một điểm tụ của dãy {xn} trong E là một phần tử v ∈ E sao cho > 0, tồn tại vô hạn số nguyên n sao cho xn −v < . Ta có thể nói cách rằng, cho một tập mở U chứa v, tồn tại vô hạn số n sao cho xn ∈ U. Tương tự, ta định nghĩa được điểm tụ của tập vô hạnS. Nghĩa là một phần tử v ∈ E sao cho một tập mở U chứa trong v khi đó tồn tại vô hạn phần tử của S nằm trong U. Đặc biệt, một điểm tụ của S là một điểm dính của S.
Một tập S trong E được gọi là một tập compact nếu mọi dãy của mỗi phần tử của S có một điểm tụ trong S. Tính chất này tương đương với tính chất sau:
(a) Mọi tập con vô hạn của S có một điểm tụ trong S.
(b) Mọi dãy của phần tử của S có dãy con hội tụ mà giới hạn của nó nằm trong S.
Chứng minh. Giả sử S là tập compact và T là tập con vô hạn của S. Khi đó, T bao gồm một tập đếm được, dãy {xn} sao cho xn 6= xm với mọi m 6= n. Dãy này có điểm tụ v ∈ S. Cho > 0, tồn tại vô hạn n sao cho
|xn−v| < , do đó v là điểm tụ của S. Điều này chứng minh được (a).
Giả sử(a). Cho{xn} là một dãy của phần tử củaS. Nếu một tập chứa toàn bộ xn là hữu hạn, thì khi đó tồn tại tập vô hạn số nguyên, cho I sao cho với mọin∈ I, phần tửxn tất cả bằng các phần tử củax. Ta có thể lấy phần tử của I khi n1 < n2 < ... tương ứng phần tử của dãy {xn1, xn2, ..}
dạng một dãy con mà hội tụ đến x. Mặt khác, nếu tập gồm có tất cả xn là
vô hạn, nó có điểm tụ v trong S. Ta chọn n1 sao cho |xn1 −v| < 1/1. Ta chọn n2 > n1 sao cho |xn2 −v| < 1/2. Bằng quy nạp, giả sử ta tìm thấy n1 < n2 < ... < nk sao cho:
|xnj −v| < 1/j với j = 1, ..., k.
Ta chọn nk+1 > nk sao cho
|xnk+1 −v| < 1/(k + 1).
Khi đó, dãy con {xn1, xn2, ..} hội tụ đến v. Điều này chứng minh (b).
Cuối cùng, nếu giả sử (b) thì bất kì dãy đã cho trong S. Ta có dãy con hội tụ mà giới hạn nằm trong S và giới hạn nó là điểm dính của dãy đã cho, do đó chứng minh đó là tập compact.
Định lý 3.1.1. Một tập compact là đóng và bị chặn.
Chứng minh. Cho S là tập compact và v là đóng trong nó, nghĩa là, v là điểm dính của S. Cho n, tồn tại xn ∈ S sao cho |xn−v| < 1/n. Dãy {xn} hội tụ đến v. Nó có dãy con hội tụ mà giới hạn nằm trong S. Bằng tính duy nhất của giới hạn, nó kéo theo v ∈ S, do đó S là đóng. Nếu S không bị chặn, với mỗi n tồn tại xn ∈ S sao cho |xn| > n, thì dãy {xn} không có điểm tụ trong E. Thật vậy, nếu v là điểm tụ, xem xét m >2|v|, thì
|xm −v| ≥ |xm| − |v| ≥m − |v| > |v|.
Bất đẳng thức trái với thực tế rằng với vô hạn m ta phải có xm đóng tại v. Do đó S là bị chặn.
Định lý 3.1.2. Tập con đóng của tập compact là compact.
Chứng minh. Cho S là tập con đóng trong tập compact K, T là tập con vô hạn của S, thì T có một điểm tụ trong K. Nhưng điểm tụ của T là điểm dính củaT, do đó T là điểm dính đối với S và khi S là đóng, nó phải nằm trong S. Vậy S là tập compact.
Định lý 3.1.3. Cho S là tập compact và S1 ⊃ S2 ⊃ ... ⊃ Sn ⊃... là một dãy tập con đóng không rỗng sao cho Sn ⊃ Sn+1, thì giao của tất cả Sn với mọi n= 1,2, .. là không rỗng.
Chứng minh. Cho xn ∈ Sn. Dãy {xn} có điểm tụ v trong trong S, thì v cũng là điểm dính cho mỗi dãy con {xk} với k ≥ n, do đó, nó nằm trong bao đóng của Sn với mỗi n. Mà Sn giả định là đóng, vậy v ∈ Sn với mọi n. Điều này chứng minh được định lý.
Định lý 3.1.4. Cho S là tập compact trong không gian vectơ E, T là tập compact trong khụng gian vectơF, thỡ SìT là tập compact trong EìF(lấy theo chuẩn sup).
Chứng minh. Cho zn = (xn, yn) là giới hạn của một dóy SìT với xn ∈ E và yn ∈ F. Dãy {xn} có dãy con hội tụ {xnk} hội tụ đến v ∈ S. Tương ứng dãy {ynk}(k = 1,2, ...) có dãy con hội tụ {ynkj}, (j = 1,2, ...) hội tụ đến giới hạn w ∈ T. Khi đó, cho
znkj = (xnkj, ynkj).
Nó dễ hiểu rằng
znkj →(v, w)
khi n → ∞. Ngoài ra, ta có thể chứng minh như sau: Cho zn = (xn, yn) là giới hạn của một dóy S ìT với xn ∈ E và yn ∈ F. Khi đú, tồn tại tập con vô hạn của J1 của Z+ và tồn tại v ∈ S sao cho:
n→∞lim
n∈J1
xn = v.
Với J1 đã cho, tồn tại tập con vô hạn của J2 của J1 và w ∈ T sao cho:
n→∞lim
n∈J2
yn = w.
Dóy {zn}(n ∈ J2) thỡ hội tụ đến (v, w) mà nằm trong SìT, do đú chứng minh được định lý.
Bằng quy nạp, ta kết luận rằng tích hữu hạn của tập compact là tập compact.
Định lý 3.1.5. Một tập con của Rk là compact nếu và chỉ nếu nó đóng và bị chặn.
Chứng minh. Ta đã có ở định lý 3.1.1 là một tập con compact của Rk là đóng và bị chặn, vì vậy ta chỉ cần chứng minh điều ngược lại. Cho S là đóng và bị chặn trong Rk. Khi đó, tồn tại C > 0 sao cho |x| ≤ C với mọi x ∈ S với | | là chuẩn sup trong Rk. Gọi I là khoảng đóng −C ≤ x ≤ C, thì I là tập compact (bằng định lý Weierstrass- Bolzano) và S được chứa trong tích
I ìI ì...ìI
là compact theo định lý 3.1.4. Khi S đóng, theo định lý 3.1.2 ta kết luận S là compact.