Cho S là tập không rỗng. Một đại số của hàm trên S (tập của hàm), kí hiệu là A sao cho nếu f, g ∈ A thì f +g ∈ A và nếu c là số thì cf ∈ A. Ta cũng giả địnhA là không rỗng. Ta xem xét cả giá trị đại số thực và giá trị đại số phức.
Ví dụ 3.4.1. Tập tất cả các hàm thực trên S là đại số.
Ví dụ 3.4.2. Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn, tập của hàm liên tục trên S là đại số, kí hiệu là C◦(S).
Ví dụ 3.4.3. Cho S là khoảng mở. Tập của hàm khả vi trên S là đại số.
Cho S là một tập compact trong không gian vectơ định chuẩn, A là đại số của hàm liên tục trên S. Mỗi hàm trong A là bị chặn bởi vì S là tập compact, do đó ta có chuẩn sup trên A nghĩa là f ∈ A,
|f|1 = sup
x∈S
|f(x)|.
Vì vậy, A được chứa trong không gian vectơ định chuẩn của tất cả hàm bị chặn trên S. Ta chú ý xác định tập đóng của A. Khi C0(S) đóng, tập đóng của A sẽ được chứa trong C0(S).
Ta sẽ nói A tách điểm của S nếu với điểm x, y ∈ S đã cho và x 6= y, khi đó tồn tại hàm f ∈ A sao cho f(x) 6= f(y). Thông thường đại số của hàm đa thức hiển nhiên tách điểm, ví dụ f(x) =x.
Định lý 3.4.1. (Định lý Stone- Weierstrass)
Cho S là tập compact và A là đại số của hàm liên tục giá trị thực trên S. Giả sử A tách điểm và chứa hàm hằng, thì bao đóng đều của A là bằng đại số của tất cả hàm liên tục thực trên S.
Để chứng minh định lý trên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 3.4.1. Ngoài giả thuyết của định lý, giả sử nếu f, g ∈ A thì max(f, g) ∈ A và min(f, g) ∈ A. Là hệ quả của định lý trên.
Chứng minh. Ta chứng minh định lý theo ba bước. Đầu tiên, ta chứng minh với x1, x2 ∈ S và x1 6= x2 và số thực α, β đã cho, khi đó tồn tại h ∈ A sao cho h(x1) ∈ α và h(x2) ∈ β. Bằng giả thuyết, tồn tại ϕ ∈ A sao cho ϕ(x1) 6= ϕ(x2). Cho
h(x) = α+ (β−α) ϕ(x)−ϕ(x1 ϕ(x2)−ϕ(x1, thì h thỏa mãn yêu cầu.
Tiếp theo, hàm liên tục f đã cho trên S và cho . Ta sẽ tìm thấy hàm g ∈ A sao cho
f(y)− < g(y) < f(y) +.
Ta sẽ thỏa mãn bất đẳng thức trên như sau: Với mỗi cặp điểm x, y ∈ S tồn tại hàm hx,y ∈ A sao cho
hx,y(x) = f(x) và
hx,y(y) = f(y).
Nếux = y, nó là tầm thường. Nếu x 6= y, nó là điều mà chúng ta đã chứng minh ở bước 1. Bây giờ ta cố định x, với mỗi y ∈ S tồn tại hình cầu mở Uy tâm tại y sao cho với mọi z ∈ Uy, ta có:
hx,y(z) < f(z) +.
Nó là liên tục của f − hx,y tại y. Hình cầu mở Uy phủ S, và khi S là compact, khi đó tồn tại hữu hạn y1, ..., yn sao cho Uy1, ..., Uyn phủ S. Cho
hx = min(hx,y1, ..., hx,yn),
thì hx nằm trong A theo giả thuyết của bổ đề. Hơn nữa, ta có với mọi z ∈ S :
hx(z) < f(z) +, và hx(x) =f(x), nghĩa là (hx−f)(x) = 0.
Với mỗi x ∈ S, ta tìm thấy hình cầu mở Vx tâm tại x sao cho bằng liên tục, với mọi z ∈ Vx, ta có (hx−f)(z) > −., hoặc nói cách khác,
f(z)− < hx(z).
Bằng tập compact, ta có thể tìm thấy hữu hạn điểm x1, ..., xm sao cho Vx1, ..., Vxm phủ S. Cuối cùng, cho
g = max(hx1, ..., hxm), thì g nằm trong A, ta có với mọi z ∈ S :
f(z)− < g(z) < f(z) +, Do đó chứng minh được bổ đề.
Định lý là hệ quả của bổ đề, nó kéo theo nếu ta chứng minh với mọi f, g ∈ A thì max(f, g) và min(f, g) nằm trong bao đóng của A. Để chứng minh điều này ta lưu ý thứ nhất ta có thể viết:
max(f, g) = f +g
2 + |f −g|
2 ,
min(f, g) = f +g
2 − |f −g|
2 . Hệ quả này đủ để chứng minh nếu f ∈ A thì |f| ∈ A.
Khi f bị chặn, khi đó tồn tại c > 0 sao cho −c ≤ f(x) ≤ c với mọi x ∈ S. Hàm giá trị tuyệt đối có thể xấp xỉ đều bằng đa thức thông thường nằm trong khoảng [−c, c] bởi phép nhân chập.
Ta sẽ chứng minh định lý Stone- Weierstrass lại như sau: Cho , P là đa thức sao cho
|P(t)− |t|| <
với −c ≤ t≤ c, thì
|P(f(x))− |f(x)|| < , và do đú |f| cú thể xấp xỉ bởi P ◦f. Rừ ràng, nếu
P(t) =antn+...+a0, thì
P ◦f = anfn+...+a0, nghĩa là
P(f(x)) = anf(x)n+ ...+a0.
Kết luận này đã chứng minh được định lý Stone - Weierstrass.
Hệ quả 3.4.1. Cho S là tập compact trong Rk, thì bất kì hàm liên tục thực nào trên S có thể xấp xỉ đều bởi hàm đa thức trong k biến.
Chứng minh. Tập của đa thức chứa hằng số và hiển nhiên là tách điểm của Rk khi tọa độ hàm x1, ..., xk cũng vậy. Vì vậy, ứng dụng định lý Stone - Weierstrass thì bao đóng của tập đa thức chứa hằng số bằng đại số hàm thực trên k biến. Vậy hệ quả được chứng minh.
Có một tính chất phức của định lý Weierstrass - Stone. Cho E là đại số của hàm giá trị phức trên tập S. Nếu f ∈ A, ta có hàm liên hợp của f xác định bởi
f = f(x).
Chẳng hạn, nếu f(x) = eix thì f(x) = e−ix. Nếu A là đại số trên C của hàm giá trị phức, ta nóiA là số phức của chính nó nếu mọif ∈ A thì hàm đối của f cũng nằm trong A.
Định lý 3.4.2. ( Định lý Stone - Weierstrass của số phức)
Cho S là tập compact và A là đại số (trên C) của hàm liên tục giá trị phức trên S. Giả sử A tách điểm, chứa hằng số, liên hợp đối của chính nó, thì bao đóng của A bằng đại số của tất cả giá trị thực của hàm số liên tục trên S.
Chứng minh. Cho AR là tập tất cả hàm trong A mà có giá trị thực. Ta cho rằng AR là đại số trên R mà thỏa mãn giả thuyết của định lý Stone - Weierstrass trước. Nó là hiển nhiên trên R. Nếu x1 6= x2 là điểm của S, tồn tại f ∈ A sao cho f(x1) = 0 và f(x2) = 1. (Chứng minh bước thứ nhất của bổ đề đã chỉ ra). Cho g = f +f . Thì g(x1) = 0 và g(x2) = 2, và g là giá trị thực nên AR tách điểm. Nó hiển nhiên chứa hằng số thực và áp dụng định lý Stone - Weierstrass của số thực. Cho hàm liên tục phức ϕ trên S, ta viết ϕ = u+iv với u, v là giá trị thực. Khi u, v là liên tục và u, v xấp xỉ đều bởi phần tử của AR. Cho f, g ∈ AR sao cho |u−f| < và
|v −g| < , thì f + ig xấp xỉ u+ iv = ϕ, vì vậy chứng minh được định lý.
Chương 4 Chuỗi
4.1 Định nghĩa cơ bản
Cho S là không gian vectơ định chuẩn, {vn} là một dãy trong E. Ta
có ∞
X
n=1
vn
gọi là chuỗi liên hợp với dãy, hoặc đơn giản gọi là chuỗi. Ta gọi sn =
∞
X
k=1
vk = v1 +...+vn gọi là tổng riêng thứ n. Nếu
n→∞lim sn
tồn tại, ta nói rằng chuỗi hội tụ và trong trường hợp này giới hạn được gọi là tổng của chuỗi. Đáng chú ý, ta có:
Nếu ∞
X
n=1
vn và
∞
X
n=1
wn là hai chuỗi trong E và cả hai hội tụ thì
∞
X
n=1
(vn+ wn) =
∞
X
n=1
vn+
∞
X
n=1
wn.
Nếu c là một số và
∞
P
n=1
vn hội tụ thì
c
∞
X
n=1
vn =
∞
X
n=1
cvn.
Nếu E, F, G là khụng gian vectơ định chuẩn, E ìF → G là một tớch và
∞
P
n=1
vn và
∞
P
n=1
wn là chuỗi hội tụ trong E và F tương ứng, thì
(
∞
X
n=1
vn)(
∞
X
n=1
wn) = lim
n→∞sntn, với
sn = v1 + ...+vn và
tn = w1 +...+wn.
Chú ý rằng sntn = Pviwj với i, j = 1, ..., n. Toàn bộ điểm của chương này là tiêu chuẩn xác định cho sự hội tụ của chuỗi.
Chú ý: Thỉnh thoảng ta có thể viết Xvn.
Tất nhiên nếu một dãy đã cho với n ≥ 0, ta có thể viết chuỗi như sau:
∞
X
n=0
vn.
Cho ∞
X
n=k
vn = lim
n→∞(vk +vk+1+ ...+vn) nếu nó tồn tại.
Sự hội tụ của chuỗi P
vn phụ thuộc duy nhất vào
∞
X
n=k
vn,
với k lớn. Thật vậy, nếu với k ≥ 1 chuỗi trên hội tụ thì
∞
X
n=1
vn
cũng hội tụ. Do đó, ta có thể nói hội tụ của một chuỗi đã cho phụ thuộc duy nhất vào vn với n đủ lớn.
Nếu có hai chuỗi P
vn và P
vn0 sao cho vn = vn0 nhưng một số hữu hạn của n, thì một chuỗi hội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi kia cũng hội tụ khác.
Thật vậy, nếu vn = vn0 với n≥ N, ta có thể biểu diễn tổng riêng sn và s0n với n ≥N dưới dạng:
sn = v1 + ...+vn = v1 +...+vN +
n
X
k=N+1
vk,
s0n = v10 + ...+vn0 = v01 +...+vN0 +
n
X
k=N+1
vk. Tổng cuối cùng từ N + 1 đến n ở bên phải là bằng lẫn nhau.
Do đó, {sn} có một giới hạn nếu và chỉ nếu {s0n} có một giới hạn khi n→ ∞.
Cuối cùng, nếu P
vn hội tụ thì
n→∞lim vn = 0,
vì đặc biệt, |sn+1−sn| = |vn+1| < với n đủ lớn. Tuy nhiên, nhiều chuỗi có số hạng thứ n xấp xỉ 0 là không hội tụ, ví dụ P
1/n.