3 Tập compact
3.3 Quan hệ với phủ mở
Định lý 3.3.1. Cho S là tập compact trong không gian vectơ định chuẩn
E, r > 0. Khi đó tồn tại hữu hạn hình cầu mở bán kính r mà hợp của nó chứa trong S.
Chứng minh. Giả sử điều trên là sai. Cho x1 ∈ S và B1 là hình cầu mở bán kínhr tâm tạix1, thì B1 không chứa trongS và x2 ∈ S, x2∈/B1. Dùng quy nạp, giả sử ta tìm thấy hình cầu mởB1, ..., Bn của bán kính r và điểm
thể tìm thấy xn+1 mà không nằm trong B1∪...∪Bn, gọi Bn+1 là hình cầu mở của bán kính r tâm tại xn+1. Cho v là điểm tụ của dãy {xn}. Bằng định nghĩa, khi đó tồn tại số nguyên dương m, k với k > m sao cho
|xk −v| < r/2 và |xm−v| < r/2,
thì |xk−xm| < r và điều này mâu thuẫn tính chất của dãy {xn} vì {xk} nằm trong hình cầu Bm. Điều này chứng minh định lý.
Cho S là tập con trong không gian vectơ định chuẩn và I là một tập. Giả sử với mỗii ∈ I ta có tập mởUi đã cho. Ta kí hiệu liên hợp bởi{Ui}i∈I và gọi nó là họ các tập mở.
Hợp của họ này là tập U bao gồm tất cả x ∈ E sao cho x ∈ Ui với
i ∈ I. Ta nói rằng họ phủ S nếu S được chứa trong hợp này, nghĩa là mỗi
x ∈ S được chứa trong Ui. Ta nói họ {Ui}i∈I là phủ mở của S.
Nếu J là tập con của I, thì ta gọi họ {Uj}j∈J là họ con và nếu nó phủ
S thì ta gọi nó là phủ con của S.
Đặc biệt, nếu Ui1, ..., Uin là hữu hạn tập mở Ui, ta gọi nó là phủ con hữu hạn của S nếu S được chứa trong hợp hữu hạn
Ui1 ∪...∪Uin.
Định lý 3.3.2. Cho S là một tập con compact trong không gian vectơ định chuẩn và {Ui}i∈I là phủ mở của S. Khi đó, tồn tại phủ con hữu hạn (nghĩa là hữu hạn tập mở Ui1, ..., Uin mà hợp phủ S).
Chứng minh. Bằng định lý 3.3.1, với mỗi n tồn tại hữu hạn của hình cầu mở bán kính 1/n mà phủ S. Giả sử không có phủ con hữu hạn của S bởi tập mở Ui, thì với mỗi n, tồn tại hình cầu mở Bn từ hữu hạn số trước đó sao cho Bn ∩S là không phủ bởi bất kì hữu hạn số của tập mở Ui. Cho
zn ∈ Bn ∩ S, w là điểm dính của dãy {zn}. Với chỉ số i0, ta có w ∈ Ui0.
Bằng định nghĩa, Ui0 chứa hình cầu mở B tâm r > 0 tâm tại w. Cho N
là lớn sao cho 2/N < r. Khi đó, tồn tại n > N sao cho |zn−w| < 1/n ≤1/N.
Bất kỳ điểm của Bn có khoảng cách < 2/n < 2/N từ w, do đó Bn được chứa trongB, vì vậy nó được chứa trong Ui0. Điều này trái giả thuyết nằm trong Bn. Do đó đã chứng minh được định lý.
Từ định lý 3.3.2, ta nhận được một chứng minh khác: Một ánh xạ liên tục trên tập compact S là liên tục đều.
Chứng minh. Cho , với mỗi x ∈ S, tồn tại δ(x) sao cho nếu y ∈ S và |y−x| < δ(x), thì
|f(y)−f(x)| < .
Từ đó với mỗi x ∈ S ta xét hình cầu mở Bx bán kính δ(x). Thì hợp của tất cả hình cầuBx với mọi x ∈ S là phủ mở của S, do đó có hữu hạn điểm
x1, ..., xn ∈ S sao cho
Bx1 ∪ ...∪Bxn
chứa trong S. Cho
δ = min δ(x1) 2 , ..., δ(xn) 2 .
Cho x, y là cặp điểm bất kì của S sao cho |x−y| < δ. Khi đó, xnằm trong
Bxk. Thực tế,
|x−xk| < δ(xk)/2.
Khi |y −x| < δ ≤ δ(xn)
2 , do đó y ∈ Bxk. Vậy
|f(y)−f(x)| < |f(y)−f(xk)|+|f(xk)−f(x)| < 2.
Điều này chứng minh liên tục đều.
Tính chất liên quan của phủ hữu hạn là tương đương với tính chất của tập compact thông qua định lý sau:
Định lý 3.3.3. Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn và giả sử bất kỳ phủ mở của S có phủ con hữu hạn. Khi đó S là tập compact. Chứng minh. Ta phải chứng minh rằng bất kỳ tập con vô hạn T của S
có một điểm tụ trong S. Giả sử đây không phải trường hợp. Cho x ∈ S,
tồn tại tập mở Ux chứa x nhưng chỉ chứa số hữu hạn của phần tử T. Họ {Ux}x∈S là phủ mở của S, {Ux1, ..., Uxn} là phủ con hữu hạn. Ta kết luận rằng chỉ có hữu hạn số của phần tử của T nằm trong hợp hữu hạn
Ux1∪...∪Uxn.Điều này mâu thuẫn, do đó ta chứng minh được định lý.