4 Chuỗi
4.6 Chuỗi lũy thừa
Có lẽ chuỗi quan trọng nhất là chuỗi lũy thừa, có dạng:
X
anxn với an ∈ R.
an được gọi là hệ số của chuỗi. Ta tìm hiểu về tiêu chuẩn sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi.
Bổ đề 4.6.1. Cho {an} ≥ 0 và r > 0 sao cho chuỗi
X
anrn
hội tụ, thì chuỗi cũng hội tụ với mọi x sao cho 0 ≤x ≤ r.
Chứng minh. Từ tiêu chuẩn so sánh, ta suy ra bổ đề.
Hệ quả 4.6.1. Nếu{an} là một dãy các số vàP
|an|rn hội tụ, thìP
anxn
Chứng minh. Từ định nghĩa, ta suy ra được hệ quả trên.
Ví dụ 4.6.1. Với bất kì r > 0, chuỗi P
rn/n! hội tụ, bằng tiêu chuẩn so sánh: rn+1 (n+ 1)! n! rn = r n,
tiến tới 0 khi n → ∞. Dùng tiêu chẩn so sánh, ta suy ra chuỗi P
xn/n! hội tụ tuyệt đối với mọi x và hội tụ đều với |x| ≤r. Ta có, chuỗi
x− x 3 3! + x5 5! −...= ∞ X n=0 (−1)n x 2n+1 (2n+ 1)! Và x− x 2 2! + x4 4! −...= ∞ X n=0 (−1)n x 2n (2n)! hội tụ tuyệt đối với mọi x và hội tụ đều với |x| ≤r.
Định lý 4.6.1. Cho Panxn là chuỗi lũy thừa. Nếu nó không hội tụ tuyệt đối với mọi x, thì tồn tại số s sao cho chuỗi hội tụ tuyệt đối với |x| < s
và không hội tụ tuyệt đối với |x| > s.
Chứng minh. Giả sử chuỗi không hội tụ tuyệt đối với mọi x. Cho s là cận trên bé nhất của r ≥ 0 sao cho
X
|an|rn
hội tụ, thì P
|an||xn| phân kỳ nếu |x| > s và hội tụ x < s bằng định lý 4.5.1, vì vậy khẳng định là hiển nhiên.
Sốs trong định lý 4.6.1 được gọi là bán kính của sự hội tụ trong chuỗi lũy thừa. Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối với mọi x thì ta nói bán kính của sự hội tụ là vô hạn. Khi bán kính của sự hội tụ là 0, thì chuỗi hội tụ tuyệt đối chỉ với x = 0.
Định lý 4.6.2. Cho {an} là dãy các số thực lớn hơn hoặc bằng 0. Giả sử
lima1n/n = s.
Nếu s 6= 0, bán kính của sự hội tụ của chuỗi P
anxn là 1/s. Nếu s 6= 0
hoặc s = ∞ thì bán kính của sự hội tụ của chuỗi P
anxn là ∞ hoặc 0
Chứng minh. Giả sửs 6= 0 và cho 0≤ r < 1/s. Với nhỏ, a1n/nr xấp xỉ sr, do đóa1n/nr < 1− với n đủ lớn. Do đó chuỗi Panrn hội tụ bằng so sánh với chuỗi hình học. Mặt khác, nếur > 1/s, thìa1n/nr xấp xỉsr > 1và do đó ta cóa1n/nr ≥ 1+vớinđủ lớn. So sánh từ dưới đây chỉ raP
anrn phân kỳ. Nếu s = 0 và cho r ≥0. Với nhỏ, an1/nr xấp xỉ sr và do đó a1n/nr xấp xỉ 0. Suy ra
⇒ lim
n→∞a1n/n = 0.
Nếu s = ∞, cho r ≥ 0. Với nhỏ, an1/nr xấp xỉ sr và do đó a1n/nr xấp xỉ vô cùng. Suy ra, P
annr phân kỳ. Do đó limP
annr = 1
s.
Bổ đề 4.6.2. Cho s là bán kính của sự hội tụ của chuỗi lũy thừa P
anxn
thì đạo hàm của chuỗi P
nanxn−1 hội tụ tuyệt đối với |x| < s.
Chứng minh. Gọi lại limn1/n = 1 khin → ∞. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử an ≥ 0. Cho 0 < c < s và thỏa mãn c < c1 < s. Ta có
P
ancn1. Với n đủ lớn, n1/nc < c1, do đó
X
nancn = Xan(n1/nc)n
hội tụ. Điều này chứng minh đạo hàm của chuỗi hội tụ tuyệt đối với|x| ≤ c.
Điều này đúng với mọi c sao cho 0< c < s, do đó đạo hàm của chuỗi hội tụ tuyệt đối với |x| < s.