4 Chuỗi
4.7 Phép tính đạo hàm và tích phân của chuỗi
Chúng ta đầu tiên đề cập đến dãy.
Định lý 4.7.1. Cho {fn} là một dãy của hàm liên tục trên khoảng [a, b],
hội tụ đều đến hàm f (cần thiết liên tục), thì
lim n→∞ Z b a fn = Z b a f. Chứng minh. Ta có | Z b a fn− Z b a f| ≤ | Z b a (fn−f)| ≤ (b−a)|fn−f|.
Cho , chọn n đủ lớn thì
|fn−f| < /(b−a),
kết luận điều cần chứng minh.
Định lý 4.7.2. Cho {fn} là dãy của hàm khả vi trên khoảng [a, b] với
a < b. Giả sử mỗi fn0 là liên tục, dãy {fn0} hội tụ đều đến hàm g, và tồn tại một điểm x0 ∈ [a, b] sao cho dãy {fn(x0)} hội tụ, thì dãy {fn} hội tụ đều đến hàm f mà lấy đạo hàm được và f0 = g.
Chứng minh. Với mỗi n, tồn tại cn sao cho
fn(x) =
Z x
a
fn0 +cn, với x ∈ [a, b].
Cho x = x0. Khi n → ∞ thì dãy của số {cn} hội tụ đến c. Cho x tùy ý, cho n → ∞ và áp dụng định lý 4.7.1. Ta sẽ thấy dãy {fn} hội tụ từng điểm đến hàm f sao cho
f(x) =
Z x
a
g+ c.
Mặt khác chuỗi này hội tụ là đều, bởi vì |fn(x)−f(x)| = | Z x a fn0 − Z x a g| = | Z x a (fn0 −g| ≤ (b−a)|fn0 −g|.
Điều này đã chứng minh định lý trên.
Hệ quả 4.7.1. Cho P
fn là chuỗi của hàm khả vi với đạo hàm liên tục trên khoảng [a, b], a < b. Giả sử rằng đạo hàm của chuỗi P
fn0 hội tụ đều trên [a, b] và Pfn hội tụ từng điểm cho một điểm. Cho f = P
fn, thì f
là hàm khả vi và
f0 = Xfn0.
Chứng minh. Ứng dụng định lý 4.7.2, dãy của tổng riêng của chuỗi. Hệ quả được phát biểu dưới giả thuyết đã cho, ta có thể số hạng của một chuỗi khả vi được bởi số hạng.
Hệ quả 4.7.2. Cho P
anxn là chuỗi lũy thừa với bán kính của sự hội tụ
s > 0 và f(x) =P
anxn, thì
f0(x) =Xnanxn−1
Chứng minh. Cho 0 < c < s thì chuỗi lũy thừa hội tụ đều với |x| ≤ c. Dùng bổ đề 4.6.2 thì đạo hàm của chuỗi P
nanxn−1 hội tụ tuyệt đối với
x < c. Do đó f0(x) = P
nanxn−1 với x < c. Điều này đúng với mọi c sao cho 0< c < s, do đó ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 4.7.3. Cho P anxn có bán kính của sự hội tụ s, f(x) = P anxn với |x| < s. Cho F(x) =X anx n+1 n+ 1 , thì F0(x) = f(x). Chứng minh. Ta có F(x) =X anx n+1 n+ 1 với |x| < s. Áp dụng hệ quả 4.7.2, ta được F0(x) = X(n+ 1)anx n n+ 1 = X anxn = f(x).
KẾT LUẬN
Khóa luận đã đề cập và giải quyết các vấn đề sau:
• Chương một: Trình bày định nghĩa về không gian vectơ định chuẩn,không gian Banach, phát biểu các định lý và các tính chất.
• Chương hai: Trình bày các tính chất cơ bản của giới hạn và ánh xạ liên tục trong không gian Banach.
• Chương ba: Trình bày các tính chất cơ bản của tập compact và ánh xạ liên tục trên tập compact trong không gian Banach.
• Chương bốn: Trình bày định nghĩa cơ bản về chuỗi số trong không gian Banach, phát biểu các định lý và các tính chất.
(Nội dung của khóa luận này được đọc, hiểu và dịch từ quyển sách Analysis I, Serge Lang)
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nỗ lực trong việc tìm tòi và nghiên cứu nhưng do kiến thức còn hạn chế và thời gian không cho phép nên đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu xót về cả nội dung lẫn hình thức. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ phía các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện hơn. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn - TS Trần Nhân Tâm Quyền đã có những đóng góp và gợi ý đề tài.
Tài liệu tham khảo