3 Tập compact
3.2 Ánh xạ liên tục trên tập compact
Định lý 3.2.1. ChoS là tập con compact của không gian vectơ định chuẩn
E, f : S → F là ánh xạ liên tục của S vào không gian vectơ định chuẩn
F, thì ảnh của f là tập compact.
Chứng minh. Cho {yn} là một dãy trong ảnh của f. Do đó, ta có thể tìm thấy xn ∈ S sao cho yn = f(xn). Dãy {xn} có dãy con hội tụ {xnk}, với giới hạn v ∈ S. Khi f là liên tục ta có:
lim
k→∞ynk = lim
k→∞f(xnk) = f(v).
Do đó, dãy {yn} đã cho có dãy con hội tụ mà hội tụ trong f(S). Điều này đã chứng minh f(S) là tập compact.
Định lý 3.2.2. Cho S là tập compact trong không gian vectơ định chuẩn,
f : S → R là hàm liên tục. Khi đó, f có một maximum trên S (nghĩa là, tồn tại v ∈ S sao cho f(x) ≤f(v) với mọi x ∈ S).
Chứng minh. Theo định lý 3.2.1, ta có ảnh f(S) là đóng và bị chặn. Cho b
là điểm bị chặn trên nhỏ nhất. Khi đó, b là điểm dính của f(S). Khi f(S) là đóng, nó sẽ kéo theo b ∈ f(S), khi đó tồn tại v ∈ S sao cho b = f(v).
Điều này chứng minh được định lý.
Thông qua định lý 3.2.2 ta cũng nói lên sự tồn tại minimum.
Cho S là tập con trong không gian vectơ định chuẩn và f : S → F
là ánh xạ vào không gian vectơ định chuẩn. Ta nói, f là liên tục đều nếu > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ S và |x − y| < δ thì |f(x)−f(y)| < .
Nếu f là liên tục trên S thì f liên tục tại mọi điểm của S, do đó liên tục trên S. Tuy nhiên ngược lại thì không đúng. Chẳng hạn, cho S là khoảng mở 0 < x <1, f(x) = 1/x, thì f liên tục trên S, nhưng nó không hội tụ đều. Thật vậy, ta có f(x)−f(y) = 1 x − 1 y = y −x xy .
Ta tìm thấy cặp điểm (x, y) sao cho khoảng cách |x − y| là nhỏ tùy ý nhưng |f(x)−f(y)| là lớn. Chẳng hạn, chọn x = 1/n, y = 1/(n+ 1) với số nguyên n lớn. thì |x−y| < 2/n, nhưng |f(x)−f(y)| = 1.
Định lý 3.2.3. Cho S là tập compact trong không gian vectơ định chuẩn
E và f : S → F là ánh xạ liên tục trong không gian vectơ định chuẩn F, thì f là liên tục đều.
Chứng minh. Giả định khẳng định của định lý là sai. Khi đó, tồn tại >0, mỗi n tồn tại cặp phần tử (xn, yn) ∈ S, sao cho
|xn −yn < 1/n
nhưng
|f(xn)−f(yn)| > .
Khi đó, có tập con vô hạn J1 của Z+ và v ∈ S sao cho xn → v với
n→ ∞, n ∈ J1. Và có tập con vô hạn J2 của J1 và w ∈ S sao cho yn → w
với n → ∞, n ∈ J2. Thì n → ∞ và n ∈ J2, ta đạt được |v −w| = 0 và
v = w, vì
|v −w| ≤ |v−xn|+|xn −yn|+|yn−w|.
Do đó f(v)−f(w) = 0. Hơn nữa,
|f(xn)−f(yn)| ≤ |f(xn)−f(v)|+ |f(v)−f(w)|+ |f(w)−f(yn)|.
Vậy n → ∞ và n∈ J2, ta kết luận |f(xn)−f(yn)| xấp xỉ tới 0. Điều này trái với giả thiết
|f(xn)−f(yn)| > .
Do đó ta đã chứng minh được định lý.
Chú ý: Một hàm liên tục trên R là liên tục đều trên từng khoảng compact. Hơn nữa, nếu f là ánh xạ liên tục trên S và f là liên tục đều trên S, thì S là liên tục đều trên mỗi tập con của S. Do đó hàm liên tục trên R là liên tục đều trên trên từng khoảng bị chặn.