4 Chuỗi
4.5 Hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều của chuỗi hàm
Ta có thể ứng dụng kết quả trước dãy của hàm. Cho S là một tập, {fn} là dãy của hàm trên S. Tổng riêng:
sn = f1 +f2 +...+fn
vì vậy sn là hàm,
sn(x) = f1(x) +...+fn(x).
Ta sẽ nói rằng chuỗi Pfn (có thể viết rằng Pfn(x)) hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
X
|fn(x)| hội tụ với mỗi x ∈ S. Ta sẽ nói chuỗi P
fn hội tụ đều nếu dãy của hàm {sn} hội tụ đều.
Phần lớn, chuỗi fn là bị chặn. Trong trường hợp này, ta dùng chuẩn sup thì hội tụ đều, hội tụ tuyệt đối trên S là giống với hội tụ của chuỗi
P
|fn|.
Ví dụ 4.5.1. Chuỗi P
(−1)n(x+n)/n2 hội tụ đều với mỗi khoảng C ≤
x ≤C. Thật vậy, với n đủ lớn, (x+n)/n2 là số dương và với mỗi n, 0 ≤ x+n n2 ≤ C n2 + 1 n ≤ 2 n. Cho sn(x) = m X k=1 (−1)k(x+k) k2 .
Dùng định lý 4.3.1 hoặc định lý 4.3.2 , ta kết luận với mọi m, n lớn, ta có |sn −sm| < do hội tụ đều. Tuy nhiên hội tụ này không tuyệt đối, bởi vì ta có thể so sánh chuỗi với P 1
n để thấy chuỗi
P
(x+n)/n2 phân kỳ. Trong trường hợp hội tụ tuyệt đối, ta có tiêu chuẩn Weierstrass:
Định lý 4.5.1. Cho {fn} là dãy các hàm bị chặn sao cho |fn| ≤ Mn với
Mn là số thích hợp và giả sử P
Mn hội tụ, thì P
fn hội tụ đều và tuyệt đối. Nếu mỗi fn là liên tục trên tập S thì P
fn là liên tục. Chứng minh. Theo giả thuyết của định lý P
fn, P
Mn là các chuỗi, chuỗi
P
Mn hội tụ và |fn| ≤ Mn. Theo tiêu chuẩn so sánh thì P
|fn| hội tụ. Suy ra P
|fn(x)| hội tụ với mọi x ∈ S. Vì vậy, P
Ta có: |Xfn| = sup|Xfn(x)|. Tổng riêng sn = f1 +f2 +...+fn vì vậy sn là hàm, sn(x) = f1(x) +...+fn(x).
Dãy của hàm {fn} lấy theo chuẩn sup nên hội tụ đều. Suy ra P
fn hội tụ đều.
Vì {sn} hội tụ đến Pfn. Theo định lý 2.3.2 chương II, Pfn liên tục.
Ví dụ 4.5.2. Chuỗi
X sinn2x n2
là hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối với mọi x bởi vì |sinn
2x
n2 | ≤ 1
n2
và ta biết P
1/n2 hội tụ. Do đó chuỗi xác định hàm liên tục f(x). Nó không xác định nếu hàm của nó là khả vi.