Hình 2.12 : Ý nghĩa hình học của đạo hàm của hàm số
Hình 2.14 Bài toán xây dựng cây cầu nối hai thành phố
GV minh hoạ cửa sổ thứ hai biểu diễn các giá trị tương ứng của tổng (AD + DE + EB). Sử dụng biểu diễn bội song song trong bài toán này sẽ giúp HS nhận ra vị trí điểm D mà tổng trên đạt giá trị nhỏ nhất (điểm biểu diễn ở cửa sổ tương ứng trùng với vị trí thấp nhất trên đồ thị của đường Parabol). Từ đó GV hướng dẫn HS rút ra nhận xét là tổng (AD + DE + EB) đạt giá trị nhỏ nhất khi hai đường thẳng AD và EB song song với nhau và sử dụng phép tịnh tiến (theo véc-tơ ED
) trong giải bài toán này. Với bài toán này khi mơ tả hình học và di chuyển điểm D HS phát hiện rất nhanh vị trí điểm D mà tại đó tổng AD + DE + EB đạt giá trị nhỏ nhất và đưa ra nhận xét bằng ngôn ngữ: “Tổng trên đạt giá trị nhỏ nhất khi D là giao điểm của AB với bờ sông”. Tuy vậy, ở cửa sổ thứ 2 tương đối trừu tượng với HS, HS khó phát hiện ra vị trí của điểm D mà tại đó tổng (AD + DE + EB) nhỏ nhất.
Qua trên có thể thấy rằng việc áp dụng biểu diễn bội đồng với sự hỗ trợ
của CNTT giúp HS giảm bớt tính trừu tượng của các bài tốn hình học. Tuy nhiên ta cũng thấy rằng khả năng vận dụng biểu diễn bội của HS trong giải
83
đưa ra cửa sổ thứ 2 để minh họa bài tốn trên. Vì vậy trong q trình giảng dạy GV cần cho HS khai thác biểu diễn bội trong quá trình giải quyết vấn đề nhiều hơn để rèn luyện khả năng nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng và giải quyết theo hướng tối ưu cho HS.
Tóm lại, chúng tơi xin đưa ra quy trình hướng dẫn HS khai thác biểu diễn bội hỗ trợ quá trình giải quyết vấn đề như sau:
Bước 1: GV hướng dẫn HS sử dụng nhiều dạng biểu diễn (biểu diễn kí
hiệu, biểu diễn đồ thị, mơ hình hình học…) để phân tích bài tốn theo nhiều hướng, từ đó đề xuất các phương pháp giải khác nhau.
Bước 2: GV tổng kết, góp ý giúp HS đưa ra phương pháp giải hợp lý. 2.4. Kết luận chương 2
Trong chương 2 chúng tơi đã trình bày một cách sơ lược về lịch sử phát triển của khái niệm hàm số, nội dung chương trình và vai trị của chủ đề hàm số trong chương trình mơn tốn ở trường phổ thơng, một số lưu ý khi dạy học chủ đề này. Chúng tôi cũng đưa ra một số nguyên tắc biểu diễn bội trong dạy học mơn tốn như ngun tắc biểu diễn đơn, nguyên tắc biểu diễn bội song song và nguyên tắc biểu diễn bội tích hợp. Đề xuất quy trình dạy học một số khái niệm trong chủ đề hàm số có khai thác biểu diễn bội, trình bày một số kết quả thu được trong quá trình thực nghiệm và một số biện pháp sư phạm rút ra từ quá trình thực nghiệm. Chúng tôi cũng đề xuất việc khai thác biểu diễn bội trong việc biểu diễn các mơ hình tốn học và hỗ trợ giải quyết các vấn đề toán học. Nội dung chương này được thiết kế nhằm định hướng cho quá trình thực nghiệm sư phạm và được tiến hành trong chương 3.
84
Chương 3
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm nghiệm giả thuyết khoa học của luận văn, tính khả thi và tính hiệu quả của việc khai thác biểu diễn bội trong quá trình dạy học chủ đề hàm số trong chương trình mơn tốn ở trường phổ thơng. Qua đó kiểm tra các năng lực biểu diễn bội và rèn luyện các kĩ năng này cho HS.
3.2. Nội dung thực nghiệm
Năng lực sử dụng biểu diễn bội của HS bao gồm nhiều khía cạnh. Việc phát triển năng lực này cho HS có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển khả năng hiểu biết và năng lực giải quyết các vấn đề toán học của HS. Biểu diễn bội có thể được khai thác trong dạy học rất nhiều nội dung trong mơn tốn. Do đó, thực nghiệm sư phạm không thể đề cập hết được các nội dung này. Vì vậy, quan điểm của chúng tôi là chọn những nội dung trong chương trình thuận lợi cho việc khai thác biểu diễn bội. Từ đó chúng tơi tiến hình thực nghiệm đối với các nội dung sau:
* Khối 10 (chương trình chuẩn).
Chương 2: Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai §1: Hàm số (2 tiết)
§3: Hàm số bậc hai (1 tiết) - Ôn tập (1 tiết)
* Khối 11 (chương trình chuẩn). Chương 4: Giới hạn
§1: Giới hạn của dãy số (1 tiết) §2: Giới hạn của hàm số (1 tiết) - Luyện tập (1 tiết)
Chương 5: Đạo hàm
85
3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 3.3.1. Đối tượng thực nghiệm 3.3.1. Đối tượng thực nghiệm
Được sự đồng ý của ban giám hiệu trường THPT Quảng Khê thuộc huyện Ba Bể tỉnh Bắc Kạn cho phép thực nghiệm sư phạm kiểm nghiệm kết quả nghiên cứu, chúng tơi đã tiến hành tìm hiểu HS và thực trạng khai thác biểu diễn bội trong dạy học mơn tốn. Chúng tôi đã đề xuất chọn cặp lớp 10A3 và 10A5, 11A1 và 11A4 làm thực nghiệm, đối chứng thể hiện cho các kết quả của luận văn.
3.3.2. Tiến trình thực nghiệm
Thời gian thực nghiệm:
Đợt 1: Từ tháng 10 đến tháng 11 năm 2013. Đợt 2: Từ tháng 2 đến tháng 4 năm 2014.
Chủ đề hàm số giữ vai trò quan trọng trong chương trình mơn tốn ở trường phổ thông. Khai thác biểu diễn bội trong dạy học chủ đề này cần lưu ý phải làm cho HS hiểu khái niệm hàm số và các khái niệm liên quan, biết biểu diễn các khái niệm này dưới nhiều dạng khác nhau, “phiên dịch” giữa các dạng biểu diễn và biết vận dụng linh hoạt vào giải quyết các vấn đề được giao. Thực hiện được những điều này sẽ giúp HS thông hiểu các khái niệm và rèn luyện tư duy linh hoạt cho HS.
Chúng tôi dẫn ra một phần giáo án bài dạy “Giới hạn dãy số” để minh chứng cho vấn đề này.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
HĐ1: Giới hạn hữu hạn của dãy số 1. Định nghĩa
- GV yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động 1 (SGK_112).
* Cho dãy số un với 1
3 n u n
+ Cho HS làm quen với biểu diễn bảng:
- Thực hiện hoạt động 1
86 ?1. Hãy điền các giá trị tương ứng của un vào bảng sau:
n 1 2 3 … 50 … 100
n
u 0.25 0.2 0.167 … 0.018 … 0.009
?2. Dựa vào bảng trên hãy nhận xét về giá trị của các số hạng của un khi n càng lớn?
+ Cho HS làm quen với biểu diễn bằng đồ thị (hay hình ảnh)
- GV biểu diễn un trên trục số và trên hệ trục toạ độ.
+ Biểu diễn khác bằng hình ảnh:
- Đưa ra nhận xét: khi n càng lớn thì giá trị của un giảm dần về 0
87 ?3. Hãy nhận xét về sự phân bố của các số hạng của dãy un trên trục số và trên hệ trục toạ độ?
- GV tổng kết các nhận xét của học sinh và đưa ra kết luận: ta ln có thể tìm thấy 1 số hạng của dãy un sao cho nó bé hơn 1 số dương bé tuỳ ý.
- GV đưa ra định nghĩa dãy số có giới hạn là 0. * Định nghĩa 1: SGK-112
- GV yêu cầu HS mơ tả bằng lời khái niệm dãy số có giới hạn bằng 0 (biểu diễn bằng ngôn ngữ)
HĐ2: Củng cố kiến thức GV cho HS thực hiện VD sau
VD1 (Nhiệm vụ 1): Cho dãy số un với
n u 2 1 n n CMR: lim n 0 n u
- GV tổ chức dạy học theo góc, chia lớp thành 3 góc thực hiện các nhiệm vụ khác nhau để hồn thành ví dụ trên.
● Góc 1: Lập bảng giá trị các số hạng của dãy un . Nhận xét về sự thay đổi của un khi
n thay đổi.
● Góc 2: Tính u1,u2,u3,u50,u500… rồi biểu diễn các số hạng này trên trục số, quan sát và đưa ra nhận xét về vị trí của chúng trên trục số.
nhiều số hạng của dãy tập trung gần điểm 0, càng gần điểm 0 thì khoảng cách giữa các số hạng càng bé. Cịn ở trên trục số khi n càng lớn thì các số hạng của dãy n u càng tiến sát Ox.
- Lắng nghe, ghi nhận kiến thức, ghi chép bài vào vở.
- Thực hiện VD1 dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
- Ghi nhận kiến thức
-Thực hiện nhiệm vụ được phân cơng theo từng góc
88
Ý đồ của giáo án là đảm bảo nội dung cần truyền đạt, kết hợp nhiều loại biểu diễn khác nhau (bảng, đồ thị, ngôn ngữ) để HS bước đầu hình thành khái niệm giới hạn một cách trực quan. Đặc biệt là vấn đề chuyển đổi giữa các dạng ● Góc 3: Biểu diễn các điểm 1;u1, 2;u2;
…50;u50 , 51;u51… trên hệ trục tọa độ. Theo dõi và đưa ra nhận xét về vị trí của các điểm này trên hệ trục tọa độ.
GV tổng kết kết quả từng góc, góp ý, bổ sung và đưa ra lời giải cho bài toán.
* GV đưa ra định nghĩa 2 (SGK-113) và thực hiện VD2 sau đây để củng cố kiến thức và rèn luyện các năng lực biểu diễn bội cho HS
VD2 (Nhiệm vụ 2): Cho dãy số ( )vn với
n n vn 2 1 a, Chứng minh rằng lim n 2 n v
b, Hãy hoàn thành các cột tương ứng cho trong bảng dưới đây:
Kí hiệu Ngơn ngữ viết Đồ thị
Với VD này GV có thể sử dụng phiếu học tập, yêu cầu HS hoàn thành bảng trên, sau đó GV tổng hợp kết quả của HS, phân tích, góp ý và đưa ra kết quả chính xác.
- Thực hiện các nhiệm vụ trong ví dụ 2
-Thực hiện nhiệm vụ 2 dưới sự hướng dẫn của GV
89
biểu diễn khác nhau của khái niệm giới hạn, tạo tiền đề cho việc giải quyết các vấn đề liên quan đến giới hạn về sau của HS.
3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm 3.4.1. Phân tích về mặt định tính 3.4.1. Phân tích về mặt định tính
Qua thời gian thực nghiệm, chúng tôi tiến hành phỏng vấn HS lớp thực nghiệm, phân tích để làm kết quả thực nghiệm. Dưới đây là một đoạn phỏng vấn em Trịnh Thị Ngọc Linh, HS lớp 11A1, Trường THPT Quảng Khê, Huyện Ba Bể, Tỉnh Bắc Kạn.
- Câu hỏi 1: Em hiểu thế nào về khái niệm dãy số có giới hạn là 0? - HS trả lời: Dãy số có giới hạn là 0 nếu n tăng thì un tiến dần về 0 ạ. - Câu hỏi 2: Em hiểu thế nào về khái niệm đạo hàm của hàm số tại điểm x0? - HS trả lời: Đạo hàm của hàm số tại điểm x0 chính là giới hạn của tỉ số
x y
khi x tiến dần đến x0 ạ. Về mặt hình học thì nó chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm x0.
- Câu hỏi 3: Em có thích những tiết học có sử dụng nhiều dạng biểu diễn cho cùng một khái niệm không?
- HS trả lời: E có, những tiết học như vậy em thấy bài học dễ hiểu và em nhớ rất lâu ạ
Còn dưới đây là đọan phỏng vấn em Hoàng Thị Lệ, HS lớp 10A3, Trường THPT Quảng Khê, Huyện Ba Bể, Tỉnh Bắc Kạn.
- Câu hỏi 1: Em hiểu thế nào về khái niệm hàm số?
- HS trả lời: Hàm số là quy tắc với mỗi x thì cho ta một giá trị y tương ứng. - Câu hỏi 2: Khi nói: “hàm số f(x) là hàm số chẵn” điều đó có nghĩa là gì? - HS trả lời: Hàm số f(x) là hàm số chẵn nghĩa là f(-x)=f(x) và đồ thị của
nó nhận trục tung làm trục đối xứng ạ.
- Câu hỏi 3: Em thường sử dụng phương pháp nào để giải một bài toán về hàm số?
90
- HS trả lời: Thường thì em dùng phương pháp đồ thị cơ ạ, nó rất dễ hiểu. Như vậy, qua quá trình thực nghiệm, đối với các nội dung đã thực nghiệm chúng tôi thấy rằng HS hiểu các khái niệm, các tính chất tốn học và ghi nhớ chúng khá tốt. Đồng thời HS cũng linh hoạt hơn trong việc vận dụng để giải quyết vấn đề. HS chủ động đề xuất và đưa ra được những phương pháp giải hợp lí, tối ưu.
3.4.2. Phân tích về mặt định lượng
Kết quả các bài kiểm tra cho các lớp thực nghiệm - đối chứng là các dữ liệu để chúng tơi xử lí, đánh giá, và được thể hiện qua các bảng thống kê sau:
Bảng 3.1: Kết quả đầu ra của hai lớp TN 11A1 và ĐC 11A4
Lớp TN 11A1 Lớp ĐC 11A4
Điểm số Tần số
xuất hiện Tổng điểm Điểm số
Tần số
xuất hiện Tổng điểm
1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 1 1 3 0 0 3 1 3 4 2 8 4 2 8 5 4 20 5 10 50 6 11 66 6 14 84 7 11 77 7 9 63 8 9 72 8 5 40 9 6 54 9 1 9 10 0 0 10 0 0 Tổng số 43 (HS) 295 (Điểm) Tổng số 43 (HS) 258 (Điểm) Điểm trung bình 6.9 Điểm trung bình 6.0 Phương sai mẫu 1.69 Phương sai mẫu 1.96 Độ lệch chuẩn 1.3 Độ lệch chuẩn 1.4
91
Qua bảng trên ta thấy điểm trung bình của lớp TN cao hơn hẳn các lớp lớp ĐC. Để khẳng định lại điều đó chúng tơi tiến hành kiểm định giả thuyết H0
là chất lượng đầu ra của hai lớp là tương đương với đối thuyết là: X1 X2, mức ý nghĩa 0.05. Ta có tn b 3.09 1.96 43 96 . 1 43 69 . 1 0 . 6 9 . 6 , ta bác bỏ giả thuyết H0, có
nghĩa là kết quả đầu ra của lớp TN cao hơn hẳn lớp ĐC.
Bảng 3.2: Kết quả đầu ra của hai lớp TN 10A3 và ĐC 10A5
Lớp TN 10A3 Lớp ĐC 10A5
Điểm số Tần số
xuất hiện Tổng điểm Điểm số
Tần số
xuất hiện Tổng điểm
1 0 0 1 1 1 2 0 0 2 1 2 3 0 0 3 3 9 4 1 4 4 5 20 5 5 25 5 8 40 6 4 24 6 9 54 7 9 63 7 6 42 8 12 96 8 3 24 9 5 45 9 2 18 10 2 20 10 0 0 Tổng 38 (HS) 277 (Điểm) Tổng 38 (HS) 210 (Điểm) Điểm trung bình 7.3 Điểm trung bình 5.5 Phương sai mẫu 1.96 Phương sai mẫu 3.24 Độ lệch chuẩn 1.4 Độ lệch chuẩn 1.8
92
Nhìn vào bảng trên ta thấy rằng điểm trung bình của bài kiểm tra đầu ra của lớp TN cao hơn hẳn điểm trung bình của lớp ĐC. Để khẳng định lại điều trên chúng tôi tiến hành kiểm định giả thuyết H0 là chất lượng đầu ra của hai lớp là tương đương với đối thuyết là X1 X2, mức ý nghĩa 0.05.
Ta có: 4.87 1.96 38 24 . 3 38 96 . 1 5 . 5 3 . 7 tn , ta bác bỏ giả thuyết H0, tức là chất
lượng đầu ra của lớp TN cao hơn hẳn lớp ĐC.
Bảng 3.3: Tỉ lệ phần trăm về điểm số của các bài kiểm tra
Đề kiểm tra Tỉ lệ điểm (%) Lớp Đạt yêu cầu Kém Trung bình Khá Giỏi TN 10A3 94,4 2,6 23,7 55,3 18,4 Đề 1 ĐC 10A5 73,7 26,3 44,7 23,7 5,3 TN 11A1 95,3 4,7 34,8 46,5 14 Đề 2 ĐC 11A4 90,7 9,3 55,8 32,6 2,3
Kết quả ở bảng trên cho thấy rằng các lớp TN có tỉ lệ HS khá giỏi cao hơn hẳn các lớp ĐC, tỉ lệ HS yếu kém thấp hơn.
Bảng 3.4: Tỉ lệ phần trăm về năng lực biểu diễn bội của HS
Đề kiểm tra Tỉ lệ (%) Lớp Năng lực 1 Năng lực 2 Năng lực 3 Năng lực 4 Năng lực 5 TN 10A3 79,7 83,3 63,1 69,4 60,5 Đề 1 ĐC 10A5 56,6 73.6 45,9 43,7 35 TN 11A1 81 57,7 53,2 77,4 51,1 Đề 2 ĐC 11A4 54 43,1 21,6 32,3 21,6
93
Bảng 3.5: Tỉ lệ phần trăm về năng lực biểu diễn bội của HS lớp TN trước và sau TN
Năng lực 1 Năng lực 2 Năng lực 3 Năng lực 4 Năng lực 5