Xác định hàm số chứa dãy điểm cho trước

Dưới sự hỗ trợ của phần mềm toán học động HS xác định được hai hàm số f x( )1.6 x và g x( ) 1.4 x2.

Qua ví dụ trên HS được làm quen với các hoạt động phiên dịch và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau của các hàm số f x( )1.6 x và

2

( ) 1.4

g x  x . Điều này giúp HS nắm được khái niệm cũng như tính chất của hàm số bậc hai và hàm số căn bậc hai của x. Đặc biệt thơng qua ví dụ trên HS

60

có được các kĩ năng nhận dạng và vẽ đồ thị của hàm số này khi biết chúng đi qua các điểm cho trước.

Ví dụ 2.11. Xét tính chẵn lẻ của hàm số 2

( ) 3 2

f x  x  .

GV yêu cầu HS khai thác biểu diễn bội xét tính chẵn lẻ của hàm số trên theo nhiều cách. Cách 1: (xét theo ngôn ngữ tập hợp): xR ta có xR và 2 2 ( ) 3( ) 2 3 2 ( ) f x  x   x   f x . Từ đó suy ra hàm số 2 ( ) 3 2 f x  x  là hàm số chẵn. Cách 2: (Dùng đồ thị) Đồ thị hàm số 2 ( ) 3 2 f x  x  Hình 2.7

Dựa vào đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm số 2

( ) 3 2

f x  x  nhận trục tung làm trục đối xứng. Từ đó suy ra hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Đối với hoạt động này, qua thực nghiệm chúng tôi thấy kết quả lớp thực nghiệm như sau: có 29 HS giải bài quyết theo hướng thứ nhất (chiếm 76,3%), 7 HS giải theo cách 2 (chiếm 18,4%), 2 HS giải theo cả hai cách (chiếm 5,3%). Như vậy, có thể thấy rằng biểu diễn kí hiệu vẫn được HS ưu tiên sử dụng nhiều hơn. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy GV nên cho HS thực hành nhiều với nhiều dạng biểu diễn khác để HS có thể đề xuất nhiều phương pháp giải khác nhau, từ đó lựa chọn được phương pháp giải tối ưu cho từng bài tốn.

61

Tóm lại, chúng tơi xin tóm tắt quy trình dạy học khái niệm hàm số sử dụng biểu diễn bội như sau:

Bước 1. Đưa ra khái niệm hàm số dưới nhiều dạng khác nhau như dạng ngôn ngữ, dạng công thức, dạng bảng, dạng biểu đồ…

Bước 2. Đưa ra các hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm có sử dụng biểu diễn bội nhằm giúp HS củng cố kiến thức (ví dụ 2.6 và 2.7).

Bước 3. Đưa ra các hoạt động nhằm giúp HS phiên dịch và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau của khái niệm (ví dụ 2.8, 2.9 và 2.10) nhằm rèn luyện tư duy linh hoạt cho HS trong giải quyết các vấn đề tốn học (ví dụ 2.11).

2.3.2. Dạy học khái niệm giới hạn của hàm số

Giới hạn là một khái niệm khó, nhưng lại hết sức quan trọng, là nền tảng cho cả một nghành khoa học - ngành Giải tích. Nội dung giới hạn hàm số thuộc chương 4 trong chương trình lớp 11. Khái niệm giới hạn hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số. Mục tiêu của phần này là HS hiểu biết các định nghĩa, các định lý về giới hạn, các quy tắc tìm giới hạn và biết vận dụng chúng để tính giới hạn các dãy số, hàm số đơn giản. Việc khai thác biểu diễn bội trong dạy học khái niệm giới hạn sẽ giúp HS có được cái nhìn trực quan và bước đầu hình thành khái niệm này.

Giới hạn hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn dãy số. Vì vậy, trước hết cần làm cho HS nắm được khái niệm giới hạn dãy số. Mở đầu là dãy số có giới hạn bằng 0.

Ví dụ 2.12. (Dạy học dãy số có giới hạn là 0). Tính giới hạn dãy số

1 3 n u n   .

- GV hướng dẫn HS lập bảng giá trị của các số hạng tương ứng của dãy số. Sau đó yêu cầu HS đưa ra nhận xét về giá trị của các số hạng của dãy un.

62

Bảng 2.8: Bảng giá trị các số hạng của dãy số un

n 1 2 3 4 5 6 … 500 …

1/(n+3) 0.25 0.2 0.1667 0.1428 0.125 0.1111 … 0.002 … - GV tiếp tục minh hoạ bằng hình ảnh của dãy trên trục số và trên hệ trục toạ độ.

Hình 2.8: Hình ảnh dãy số có giới hạn là 0

GV hướng dẫn HS rút ra nhận xét: Ở trên trục số có rất nhiều số hạng của dãy số phân bố gần điểm 0, càng gần điểm 0 thì khoảng cách giữa các số hạng của dãy càng nhỏ. Cịn trên trục số khi n càng lớn thì các số hạng của dãy

n

u càng tiến sát trục hoành, tức là giá trị các số hạng này dần tới 0.

Với ví dụ này, trong q trình thực nghiệm, ngay sau khi đưa ra các dạng biểu diễn trực quan, HS nhanh chóng đưa ra các mơ tả bằng ngơn ngữ như “n

càng lớn thì un càng nhỏ và xấp xỉ bằng 0”, “các số hạng của un phân bố dày đặc gần điểm 0” hoặc “n càng tăng thì un càng tiến sát trục Ox”… Qua đó có thể thấy rằng HS đã bước đầu hình thành một cách trực quan về hình ảnh dãy số có giới hạn bằng 0.

Như vậy kết hợp với định nghĩa bằng lời GV cần sử dụng biểu diễn bội (bảng, hình ảnh) để giúp HS có được cái nhìn trực quan về hình ảnh dãy số có giới hạn bằng 0 và bước đầu hiểu được bản chất giới hạn dãy số.

63

Ví dụ 2.13. (Dãy số có giới hạn hữu hạn). Cho dãy số ( )vn với vn 2n 1 n   . Chứng minh rằng lim n 2 n v   .

GV có thể tổ chức dạy học theo góc, chia lớp thành hai nhóm.

- Nhóm 1: Lập bảng các giá trị tương ứng của ( )vn và nhận xét sự thay đổi của các số hạng của vn khi n tăng dần.

Bảng 2.9: Bảng giá trị các số hạng của dãy số vn

n 1 2 3 … 50 … 100 …

n

v 3 2,5 2,33 … 2,02 … 2,01 …

Dựa vào bảng 2.3 HS thấy rằng khi n thì các số hạng của vn giảm dần và tiến dần về 2.

- Nhóm 2: GV yêu cầu HS tính lim( n 2)

n v

  .

Sau khi các nhóm đưa ra nhận xét và kết quả GV tổng kết lại và minh hoạ lại trên hệ trục toạ độ.

Hình 2.8: Hình ảnh giới hạn dãy số vn

Trên hình 2.3 biểu diễn các điểm có toạ độ ( ,n vn). Khi n càng lớn thì các số hạng của vn càng tiến sát đường thẳng y = 2, đồng thời sự phân bố các số hạng càng dày đặc, tức là các giá trị này tiến dần tới 2. Từ đó, GV tổng kết, đưa ra khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số. GV nên đưa ra khái niệm theo nhiều dạng khác nhau: Dạng ngơn ngữ, dạng kí hiệu, dạng đồ thị…

64

Sau khi đưa ra khái niệm GV cần củng cố kiến thức bằng các hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm để HS nắm được các khái niệm trên.

Ví dụ 2.14. Chọn đồ thị tương ứng với các bảng giá trị dưới đây: 1. Bảng 1 n 1 2 3 … 50 … 1000 n u 1 0,5 0,33 … 0,02 … 0,001 2. Bảng 2 n 1 2 3 … 100 … 500 n u 0 0,25 0,33 … 0,495 … 0,499 3. Bảng 3 n 1 2 3 … 100 … 500 n u 2 1,5 1,33 … 1,01 … 1,002 4. Bảng 4 n 1 2 3 … 100 … 500 n u 0 -0,5 -0,667 … -0,99 … -0,998 A. B.

65

C. D.

E. F.

Với hoạt động này, qua quá trình thực nghiệm chúng tôi thu được kết quả như sau: có 17 HS (chiếm 44.2%) lớp thực nghiệm chọn đúng 4 đồ thị tương ứng với bốn bảng giá trị đã cho, 15 HS (chiếm 34.9%) đưa ra được 3 đáp án đúng, 5 HS (chiếm 11.6%) đưa ra được 2 đáp án đúng, 1 HS đưa ra được 1 đáp án đúng và có đến 5 HS khơng đưa ra được đáp án đúng nào.

Như vậy, ta có thể thấy được rằng khả năng nhận dạng biểu diễn của HS chưa cao, vì vậy trong qua trình giảng dạy, GV cần lưu ý rèn luyện khả năng này cho HS bằng nhiều hoạt động nhận dạng tương tự như hoạt động ở ví dụ trên.

Sau khi hồn thành các hoạt động nhận dạng khái niệm nhằm rèn luyện năng lực nhận dạng biểu diễn cho HS, GV cũng cần đưa ra các hoạt động nhằm rèn luyện khả năng biểu diễn bội tích hợp và khả năng phiên dịch và chuyển đổi các dạng biểu diễn cho HS.

66 Ví dụ 2.15. Cho dãy số un 2n 1

n



 . Hãy hoàn thành các cột tương ứng

trong bảng dưới đây:

Kí hiệu Ngơn ngữ viết Đồ thị

Kết quả bảng dưới cho thấy các dạng biểu diễn khác nhau của giới hạn của dãy số un:

Bảng 2.10: Các dạng biểu diễn của giới hạn dãy số un 2n 1 n

 

Kí hiệu Ngơn ngữ viết Đồ thị

lim n 2

n u

 

Giới hạn của dãy số

2 1 n n u n   là 2

Thông qua hoạt động trên GV rèn luyện cho HS kĩ năng phiên dịch giữa các dạng biểu diễn của khái niệm giới hạn dãy số. Qua đó thấy được vai trò của từng dạng biểu diễn.

Với hoạt động trên, qua quá trình thực nghiệm chúng tơi thấy rằng HS nhanh chóng đưa ra được dạng biểu diễn ngôn ngữ của giới hạn trên. Chẳng hạn “khi n dần tới  thì un tiến dần tới 2”, “ dãy số un có giới hạn là 2” hoặc “un có giới hạn là 2 khi n”… Tuy vậy cấu trúc câu chưa thật sự chặt chẽ, lơgic, HS sử dụng ngơn ngữ và kí hiệu xen kẽ một cách tùy tiện.

67

Kết quả cho thấy 40/43 HS đưa ra được dạng biểu diễn kí hiệu của giới hạn trên. Tuy vậy vẫn cịn 3/43 HS khơng đưa ra được thêm một dạng biểu diễn nào. Như vậy có thể thấy khả năng thao tác với các dạng biểu diễn trực quan của một số HS cịn thấp. Vì vậy trong quá trình dạy học GV cần lưu ý cho HS luyện tập kĩ năng đọc các dữ liệu dựa trên các dạng biểu diễn trực quan nhiều hơn.

Ví dụ 2.16. Tính giới hạn sau: 1 lim ( ) x f x  với 2 2 2 ( ) 1 x x f x x    .

- GV yêu cầu HS chọn một dãy xn bất kỳ sao cho lim n 1

n x   , ví dụ: 1 n n x n 

 ; sau đó điền vào bảng các giá trị tương ứng:

x x1 2 2 3 2 x  3 4 3 x  4 5 4 x  … n 1 n x n   ( ) f x f x( )1 4 f x( )2 3 f x( )3 2, 667 f x( )4 2.5 … f x( n) 2n 2 n   HS có thể dễ dàng tính được 1 lim ( ) 2 n n x f x   .

68 - GV minh hoạ giới hạn trên bằng đồ thị:

Hình 2.10: Hình ảnh giới hạn hàm số

- Dựa vào đồ thị GV có thể hướng dẫn HS nhận xét rằng khi x tiến dần tới 1 thì f x( ) tiến dần tới 2.

- GV cho HS làm quen với biểu diễn ngôn ngữ bằng cách cho HS phát biểu bằng lời giới hạn trên.

Việc kết hợp nhiều dạng biểu diễn sẽ làm cho HS có cái nhìn đa chiều về giới hạn hữu hạn của hàm số đã cho.

GV cũng cần thiết kế các hoạt động để rèn luyện cho HS năng lực biểu diễn đơn, năng lực nhận dạng biểu diễn, năng lực phiên dịch và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khái niệm giới hạn để HS khắc sâu kiến thức.

Ví dụ 2.17. Cho hàm số 2 2 1 ( ) x f x x   . Tính lim ( ) x f x  và 0 lim ( ) x f x  . Từ đó

69

A. B.

C. D.

Với hoạt động này GV đồng thời rèn luyện cho HS 3 năng lực biểu diễn bội: Năng lực biểu diễn đơn, năng lực nhận dạng các biểu diễn và năng lực phiên dịch và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn. Qua quá trình thực nghiệm đối với hoạt động này chúng tôi thu được kết quả như sau: Có 38 HS (chiếm 88.4%) tính đúng các giới hạn. Có 27 HS (chiếm 62.8%) tính giới hạn và chọn đúng đồ thị cho hàm số trên. Qua kết quả này ta có thể thấy rằng năng lực nhận dạng đồ thị và năng lực phiên dịch giữa các dạng biểu diễn của HS chưa cao. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy GV cần thiết kế nhiều hoạt động nhận dạng tương tự như hoạt động ở ví dụ 2.17 để rèn luyện cho HS các năng lực này nhiều hơn.

70

Với các khái niệm tốn học nói chung, khái niệm giới hạn nói riêng, cần làm cho HS hiểu rõ các khía cạnh, các mặt của nó. Biểu diễn bội tích hợp giữ vai trị quan trọng trong q trình này.

Ví dụ 2.18. Hãy mơ tả giới hạn của hàm số

1 1 ) (    x x x f theo nhiều dạng khác nhau.

Bảng dưới cho thấy các dạng biểu diễn của giới hạn của hàm số trên.

Bảng 2.11: Các cách mô tả giới hạn hàm số 1 1 ) (    x x x f Dạng ngôn ngữ Dạng kí hiệu Dạng đồ thị Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến dần ra +∞ là 1 lim ( ) x f x  =1

Để thực hiện được ví dụ này HS cần nắm được các dạng biểu diễn khác nhau của khái niệm giới hạn, nắm được các mặt, các khía cạnh khác nhau của khái niệm này như mặt ngơn ngữ, mặt kí hiệu, mặt trực quan…

Với hoạt động này, qua quá trình thực nghiệm chúng tôi thấy rằng HS rất nhanh đưa ra dạng biểu diễn kí hiệu của giới hạn trên. Đối với dạng biểu diễn ngôn ngữ, HS đưa ra nhiều mơ tả ngơn ngữ như “hàm số f(x) có giới hạn bằng

1”, “Giới hạn của hàm số f(x) bằng 1”, “ Khi x tiến dần ra ∞ thì f(x) tiến dần

đến 1”… Tuy nhiên HS gặp phải khó khăn đối với dạng biểu diễn bằng đồ thị. Có tới 14 HS khơng đưa ra được dạng biểu diễn bằng đồ thị cho giới hạn trên. Như vậy, trong quá trình giảng dạy, GV cần rèn luyện cho HS kĩ năng vẽ đồ thị và kĩ năng “đọc” đồ thị, giúp HS có khả năng vận dụng tốt dạng biểu diễn này trong quá trình giải quyết vấn đề.

71

Trong dạy học tốn nói chung và dạy về phần giới hạn nói riêng, một nhiệm vụ quan trọng của GV là rèn cho HS khả năng giải quyết các vấn đề toán học. Biểu diễn bội hỗ trợ rất hiệu quả cho quá trình giải quyết vấn đề của HS.

Ví dụ 2.19. Khảo sát giới hạn dãy số ( 1)2

n n u n   .

Đối với bài tốn này GV có thể hướng dẫn HS sử dụng biểu diễn bội để phân tích và dự đốn kết quả theo các cách sau:

* Cách 1:

Trước hết GV cho HS lập bảng các giá trị tương ứng của un.

n 1 2 3 … 20 ... 50 …

n

u -1 0,25 -0,11 … 0,0025 … 0,0004 …

GV yêu cầu HS nhận xét giá trị của un khi n tăng dần thì un dần tới giá trị nào?

Dựa vào bảng giá trị trên HS thấy ngay rằng giá trị n càng tăng thì un

càng giảm và tiễn dần về 0. Từ đó HS có thể đưa ra dự đốn giới hạn của dãy số trên.

* Cách 2:

GV hướng dẫn HS sử dụng GeoGebra minh họa các điểm có tọa độ

n,un trên hệ trục tọa độ. Quan sát sự thay đổi của các điểm trên khi n thay đổi. Qua đó HS có thể thấy rằng n càng lớn thì các diểm trên càng tiến sát trục Ox, tức là các giá trị này tiến dần tới 0. Từ đó HS có thể đưa ra dự đốn về giới hạn của dãy số trên.

72 Hình 2.11: Hình ảnh giới hạn dãy số ( 1)2 n n u n  

Như vậy với sự hỗ trợ của biểu diễn bội HS có thể phân tích và dự đốn về kết quả của bài tốn trên, từ đó đưa ra lời giải cho bài toán.

Đối với nhiệm vụ này, HS đã có nhiều thể hiện khác nhau khi sử dụng biểu diễn ngơn ngữ để nhanh chóng mơ tả những phát hiện, những quy luật mà các em quan sát, khảo sát được. Chẳng hạn: “un nhận giá trị âm khi n lẻ, dương khi n chẵn”, hoặc “khi n càng lớn thì giá trị tuyệt đối của un càng nhỏ”… Tuy nhiên tính chặt chẽ trong cấu trúc câu chưa được đảm bảo, các em sử dụng ngơn ngữ và kí hiệu một cách tuỳ tiện.

Tóm lại, chúng tơi xin đưa ra quy trình khai thác biểu diễn bội dạy học