Ở đây ta xem xét tới (4.6) bài toán phân bổ công suất với điều kiện công suất phát tổng. Thuật toán được phát triển theo ba bước. Bước đầu tiên là phân tích cấu trúc giải pháp tối ưu của (4.6) dựa trên nguyên lý tối ưu lồi. Sau đó thuật toán được đề xuất đánh giá qua thử nghiệm dựa vào các phân tích trong bước 1. Cuối cùng thuật toán được chứng minh hội tụ về điểm tối ưu.
4.3.3.1. Phân tích cấu trúc giải pháp tối ưu
Trong (4.6) nếu ∑ thì điều kiện công suất phát tổng trở nên vô nghĩa. (4.6) suy biến thành bài toán phân bổ công suất chỉ với các điều kiện công suất phát kênh con và giải pháp là thuật toán đổ đầy nước đơn giản trên các sóng mang con trong mỗi kênh con độc lập với ràng buộc công suất phát kênh con tương ứng. Bởi vậy, ta chỉ nhấn mạnh trường hợp mà ∑ . Để miêu tả cấu trúc của vecto phân bổ công suất tối ưu ta đưa ra định lý sau:
Định lý 1: Với giả sử ∑ , vecto phân bổ công suất P là lời giải cho (4.6) nếu và chỉ nếu:
(
| | ) (4.7)
trong đó i = 1, 2, …, N và j là chỉ số kênh con mà sóng mang con thứ i thuộc vào. Giả sử rằng { | } { | }. Sau đó mức nước wj được xác định như sau:
1. Đối với j A: ̂ (4.8a) ∑ ∑ ( ̂ | | ) ∑ (4.8b)
2. Nếu B , đối với j B:
∑ ( | | ) (4.9a) ̂ (4.9b)
So sánh (4.7) với (4.4), chúng ta có thể thấy rằng sự phân bổ công suất trong mỗi kênh con là giống với kết quả thuật toán đổ đầy nước thông thường. Tuy nhiên, các mức-nước của các kênh con khác nhau có thể là khác nhau trong (4.7). Từ Định lý
tập hợp: tập hợp A với các kênh con có công suất phân bổ hoàn toàn nhỏ hơn điều kiện công suất phát kênh con tương ứng và tập hợp B với các kênh con có công suất được phân bổ bằng với điều kiện công suất phát kênh con tương ứng. Đối với các kênh con trong A, công suất đã phân bổ là kết quả của đổ đầy nước trên toàn bộ các sóng mang con thuộc về các kênh con đó với công suất ∑ . Do đó, tất các các kênh con trong A có một mức-nước chung ̂. Đối với mỗi kênh con trong B, chẳng hạn như kênh con j với j B, công suất đã phân bổ là kết quả của đổ đầy nước trên các sóng mang con thuộc về kênh con j với công suất Gj. Bởi vậy, mỗi kênh con trong B có một
mức-nước riêng wj thỏa mãn wj ̂, mức-nước của kênh con có mức-nước riêng là
nhỏ hơn hoặc bằng so với mức-nước chung.
Công suất Pi 1/|hi|2 ŵ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Sóng mang con w4 w2
Kênh con 1 Kênh con 2 Kênh con 3 Kênh con 4
w2
Hình 4.5. Sự phân bổ công suất tối ưu với các điều kiện công suất phát kênh con.
Một kết quả phân bổ công suất thỏa mãn Định lý 1 được chỉ ra trên Hình 4.5. Với mỗi kênh con, thì sự phân bổ công suất là giống với kết quả đổ đầy nước thông thường. Tuy nhiên, mức-nước của mỗi kênh con là khác nhau giữa các kênh con khi so sánh với Hình 4.4. Kênh con 1 và 3 có cùng mức-nước ̂, vì mỗi công suất đã phân bổ là hoàn toàn thấp hơn so với điều kiện công suất phát kênh con tương ứng. Kênh con 2 và 4 có các mức-nước riêng lần lượt là w2 và w4, vì mỗi công suất được phân bổ tương đương với điều kiện công suất phát kênh con tương ứng. Cũng như vậy, trong Hình 4.5, ta thấy rằng các mức-nước riêng w2 và w4 thấp hơn mức-nước chung ̂.
4.3.3.2. Đổ đầy nước phân chia lặp
Từ các phân tích ở trên, chúng ta có thể suy ra rằng nếu ta biết các phần chia của các kênh con, tức các phần tử của A và B, thì có thể đạt được sự phân bổ công suất tối ưu bằng việc đổ đầy nước trước hết trên từng sóng mang con trong mỗi kênh con thuộc về tập hợp B với điều kiện công suất phát kênh con tương ứng, và sau đó đổ đầy
nước ở phần còn lại của các sóng mang con với công suất ∑ . Dựa trên Định lý 1 và tính lõm của hàm đối tượng thì ta có thể kết luận chỉ có duy nhất một vecto phân bổ công suất thỏa mãn toàn bộ các điều kiện đặt ra. Tuy nhiên bài toán đổ đầy nước truyền thống rất khó để tìm được vecto phân bổ công suất tối ưu. Ta có thể thấy rằng thuật toán áp dụng ở đây chính là thuật toán tìm kiếm vét cạn, có thể mô tả như sau:
1. Chia toàn bộ kênh con thành hai tập hợp, gọi là A và B và ta có tổng 2M cách chia.
2. Đối với mỗi phần chia, thực hiện đổ đầy nước thông thường trên các sóng mang con trong mỗi kênh con thuộc về tập hợp B với điều kiện công suất phát kênh con tương ứng. Sau đó ta được các mức-nước riêng wi, .
3. Loại bỏ các phần chia giống nhau mà có ∑ < 0. Thực hiện đổ đầy nước thông thường trên các sóng mang con trong tất cả các kênh con thuộc về tập hợp A với công suất ∑ . Sau đó ta có được mức-nước chung ̂.
4. Xác minh mỗi phần chia thỏa mãn Fj < Gj với và ̂ với . Theo Định lý 1, chỉ có một phần chia và vecto phân bổ công suất tương ứng là lời giải.
Tuy nhiên, thuật toán tìm kiếm vét cạn là rất phức tạp. Trong tình huống đặc biệt, ta cần xem xét cả 2M trường hợp phân chia bằng thuật toán. Do vậy, ta phát triển một thuật toán hiệu quả hơn tên là đổ đầy nước phân chia lặp (IPW). Ý tưởng cơ bản là để xác định các phần tử của A và B lặp đi lặp lại hơn là bởi sự tìm kiếm vét cạn. Thuật toán IPW được miêu tả trong Bảng 4.1.
Bảng 4.1. Thuật toán IPW dưới Điều kiện Công suất phát tổng.
I. Khởi tạo:
{ | } ̂
C = {i| sóng mang con thứ i thuộc kênh con thứ j, j A}.
II. Lặp:
1. Thực hiện đổ đầy nước thông thường trên các sóng mang con trong C với công suất ̂ thu được các Pi, i C. Kết quả ta có mức nước ̂ .
2. ∑
trong đó { | };
3. ̂ ̂ ∑ cập nhật C.
4. Nếu D , k = k + 1 và chuyển tới bước 1.
ứng Gj ta được toàn bộ Pi, i ̅. Kết quả mức nước của kênh con thứ j là wj.
III. Kết thúc.
Cuối cùng ta được mức công suất phân bổ tối ưu tới từng kênh con.
Như chỉ ra trong Bảng 4.1, trong lần lặp thứ k, thuật toán thực hiện đổ đầy nước thông thường chỉ với điều kiện công suất phát tổng ̂ trên các sóng mang con trong C.
Sau đó các kênh con đó mà công suất vượt quá điều kiện công suất phát kênh con của nó được lấy ra từ tập A và được đổ đầy nước với các điều kiện công suất phát kênh con tương ứng một cách độc lập. Quá trình lặp dừng lại khi tất cả các kênh con trong A thỏa mãn điều kiện công suất phát kênh con của nó. Thuật toán IPW hiệu quả hơn so với thuật toán tìm kiếm vét cạn. Khi ta giả sử ∑ , phải tồn tại tối thiểu một kênh con như thế mà có Fj < Gj, tức A . Bởi vậy, số vòng lặp khi thuật toán hội tụ
là ̂
4.3.3.3. Chứng minh tính tối ưu
Để chứng minh tính tối ưu của IPW, ta cần giải thích được rằng thuật toán IPW hội tụ về điểm thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 1. Thực tế, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức (4.9b) khi các điều kiện khác vốn đã thỏa mãn.
Chúng ta đưa ra hai bổ đề đơn giản về đổ đầy nước thông thường trước khi chứng minh. Giả sử P là vecto phân bổ công suất của đổ đầy nước trên N sóng mang
con với công suất 1TP và mức-nước là w, trong đó 1 là vecto cột của tất cả.
Bổ đề 1: Nếu ta lấy ra n sóng mang con từ N sóng mang con này và vecto phân bổ công suất tương ứng của n sóng mang con này là Pn, thì Pn cũng là vecto phân bổ công suất của đổ đầy nước trên n sóng mang con với công suất 1TPn.
Bổ đề 2: Nếu đổ đầy nước được thực hiện trên N sóng mang con này với công suất P’
và mức-nước tương ứng là w’. Ta có w’ w nếu P’ 1TP và ngược lại.
Hai bổ đề có thể dễ dàng có được từ (4.4) và (4.5). Dựa trên Bổ đề 1 và Bổ đề 2, ta có thể chứng minh định lý sau đây.
Định lý 2: Thuật toán IPW hội tụ tới điểm thỏa mãn wj < ̂ ̂, trong đó j B, tức là mỗi
mức-nước riêng lẻ là nhỏ hơn hoặc bằng mức-nước chung.
Chứng minh: Trong suốt lần lặp thứ k, ta đã có được toàn bộ Pi, j C và mức nước ̂ sau Bước II-1. Nếu ta tìm thấy j mà , thì kênh con j cần được lấy ra từ tập A. Tại Bước II-4, đổ đầy nước thông thường được thực hiện độc lập trên mỗi sóng mang con trong mỗi kênh con tương ứng với công suất Gj tại bước II.5 và cho kết quả các
thông thường trên các sóng mang con này với công suất Fj, thì ta cũng có được mức- nước ̂ . Từ Bổ đề 2, khi , ta có
̂ (4.10)
sau lần lặp thứ k.
Theo Bổ đề 1, đối với các kênh con còn lại của tập A thỏa mãn , nếu thực hiện đổ đầy nước thông thường trên các sóng mang con tương ứng với công suất ̂ ∑ , ta cũng có được mức-nước ̂ . Trong lần lặp tiếp theo, ta cần thực hiện đổ đầy nước thông thường trên các sóng mang con này với công suất ̂ ̂ ∑ và kết quả đem lại là mức-nước được giả sử là ̂ . Dựa vào Bổ đề 2, khi ̂ ∑ ̂ ta có
̂ ̂ (4.11)
Khi thuật toán hội tụ sau ̂ lần lặp, ta có mức nước của các kênh con trong A là
̂ ̂. Từ (4.11), ta được ̂ ̂ ̂ trong đó k = 1, 2, …, ̂. Tương tự, theo (4.10), khi
⋃ ̂ , ta có , do đó ̂ . Bởi vậy, ta đi đến kết luận rằng
̂ ̂, tức là mỗi mức-nước riêng là nhỏ hơn hoặc bằng mức-nước chung.□
Đến đây, ta đã chứng minh rằng thuật toán IPW hội tụ tới điểm thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 1 do đó sự phân bổ công suất tối ưu có thể đạt được bởi thuật toán IPW.