1.2.8.1.Vớ dụ 1: Tỡnh huống “Phúng to puzzle”
Tỡnh huống sau là một trong cỏc tỡnh huống đƣợc Brouseau (1982) xõy dựng với mục đớch dạy học phộp nhõn với một số hữu tỷ ở trƣờng THCS.
Mụ tả tỡnh huống: Mỗi nhúm HS cú một hỡnh
ghộp gồm 6 mảnh kớ hiệu A, B, C, D, E, F nhƣ hỡnh vẽ bờn. Nhiệm vụ của mỗi nhúm là phúng to hỡnh ghộp để đƣợc hỡnh mới giống hỡnh ban đầu sao cho đoạn thẳng cú độ dài 4 cm trờn hỡnh ghộp mẫu thỡ phải cú độ dài 7 cm trờn hỡnh mới. (HS cú thƣớc đo 20 cm và một tờ giấy kẻ ụ vuụng kớch thƣớc mỗi ụ là 1cm x 1cm)
Hỡnh1.1: Hỡnh ghộp mẫu
Cỏch thức hoạt động: HS đƣợc phõn thành nhúm từ 4 đến 6 em. Mỗi
nhúm cú một hỡnh mẫu nhƣ trờn và mỗi HS cú thƣớc đo 20 cm và một số tờ giấy kẻ ụ vuụng kớch thƣớc mỗi ụ là 1cm x 1cm). Trƣớc hết mỗi nhúm phải trao đổi để thống nhất cỏch làm chung. Sau đú mỗi thành viờn của nhúm độc lập thực hiện việc phúng to chỉ một hoặc hai mảnh của hỡnh ghộp. Khi cỏc thành viờn thực hiện xong thỡ ghộp 6 mảnh đó đƣợc phúng to để đƣợc hỡnh
thỏa món yờu cầu đó nờu. GV dỏn lờn bảng một hỡnh biểu diễn phúng to của toàn bộ hỡnh ghộp.
Phõn tớch vớ dụ 1:
1) Hai chiến lược khụng dẫn đến thành cụng: Thoạt tiờn HS cú thể tớnh đến
một số chiến lƣợc giải cơ sở khỏc nhau dựa trờn kiến thức số nguyờn và
những hỡnh phúng to: Để phúng to, ngƣời ta thƣờng thờm hoặc nhõn với một
số nguyờn dƣơng. Nghĩa của phộp nhõn với một số nguyờn chớnh là phộp cộng lặp lại. Hơn nữa nếu ta thờm một số nguyờn dƣơng vào một số (hoặc nhõn một số nguyờn dƣơng với một số), ta sẽ cú một số nguyờn lớn hơn.
Hỡnh 1.2: CHIẾN LƢỢC 1
Thờm 3 (cm) vào mỗi đoạn thẳng
cú số đo chỉ rừ trờn hỡnh mẫu.
Hỡnh 1.3: CHIẾN LƢỢC 2
Nhõn mỗi số đo với 2 rồi trừ đi 1(cm).
Cỏc chiến lƣợc đó nờu đều nhanh chúng tỏ ra khụng hiệu quả, vỡ hỡnh
ghộp sau khụng thỏa món yờu cầu bài toỏn. Và HS nhận ra tớnh khụng hiệu
quả của cỏc chiến lược cơ sở khụng phải nhờ vào đỏnh giỏ của GV mà dựa vào cỏc tỏc động phản hồi từ mụi trường.
Mụi trƣờng ở đõy gồm:
- Vật chất: hỡnh mẫu và cỏc miếng ghộp; cỏc sản phẩm của HS; dụng cụ. - Phi vật chất: quan hệ cỏc số đo trong hỡnh ghộp mẫu và hỡnh ghộp mới, khỏi niệm cỏc hỡnh, cỏc kiến thức về số nguyờn...
Ở chiến lƣợc 1 “thờm 3”, dễ thấy cỏc mảnh ghộp khụng khớt với nhau (phản hồi từ mụi trƣờng vật chất), cũn ở chiến lƣợc 2 “nhõn 2 trừ 1” thỡ cú thể thấy rừ hơn phản hồi từ mụi trƣờng phi vật chất: quan hệ giữa số đo trong hỡnh ghộp mẫu với hỡnh ghộp mới khụng phự hợp. Cụ thể, đối với cỏc miếng ghộp E, C, D trong hỡnh ghộp mẫu ban đầu, mối quan hệ đặc trƣng cho sự sắp xếp chỳng là 2 + 5 = 7; cũn trong hỡnh ghộp sau lại là:
2 2.2 -1 = 3 5 5.2 -1 = 9 7 7.2 -1 = 13
Mõu thuẫn 3 + 9 = 13 cú thể cho HS những thụng tin phản hồi dẫn đến việc loại bỏ chiến lƣợc 2 “nhõn 2 trừ 1”. Nhờ tỏc động phản hồi của mụi trƣờng, HS cú thể bắt đầu lại một quy trỡnh giải khỏc một cỏch chủ động. Do đú GV cú thể hạn chế sự can thiệp của mỡnh đối với kiến thức đang tạo ra “sự đƣợc thua” của tỡnh huống. GV chỉ cú thể động viờn HS và ghi nhận sự kiện mà khụng đề ra yờu cầu gỡ đặc biệt.
2) Kiến thức nhắm tới trong tỡnh huống:
Nghĩa của phộp nhõn với một số nguyờn là phộp cộng lặp lại nhiều lần. Nghĩa của phộp nhõn với một số hữu tỷ cần đƣợc xõy dựng chống lại cỏi nghĩa đầu tiờn đú (vỡ số nguyờn tất yếu đƣợc xõy dựng trƣớc số hữu tỷ).
Sự đƣợc thua của tỡnh huống là HS phải biết loại những quy trỡnh cú số nguyờn tham gia (cú thể gọi mụ hỡnh phúng to kiểu này là mụ hỡnh cộng) và biết xõy dựng ớt ra là ngầm ẩn một quy tắc loại bỏ mà ta phỏt biểu nhƣ sau: “Nếu a + b = c trong hỡnh ghộp ban đầu thỡ ta phải cú f (a + b) = f (a) + f (b) trong hỡnh ghộp đƣợc phúng to” (nếu khụng cỏc miếng sẽ khụng khớp nhau!).
Việc loại bỏ mụ hỡnh cộng trở thành yếu tố tạo nghĩa cho phộp nhõn với một số hữu tỷ, ỏnh xạ tuyến tớnh. chiến lƣợc thành cụng ở đõy là nhõn 7 rồi chia 4, hay nhõn với 7/4.
Tỡnh huống nờu trờn cú thể núi là một tỡnh huống cơ sở của phộp nhõn
thành nghĩa của phộp nhõn ảnh một số hữu tỷ- độ đo với một số hữu tỷ- ỏnh xạ tuyến tớnh.
3) Tỡnh huống thỏa món là một tỡnh huống adidactic:
Qua phõn tớch nhƣ trờn, thấy rằng tỡnh huống đó nờu thỏa món cỏc điều kiện của một tỡnh huống adidactic:
Thứ nhất, cú một quy trỡnh cơ sở (chiến lƣợc cơ sở) dựa trờn những
kiến thức về số nguyờn (chiến lƣợc 1 và chiến lƣợc 2);
Thứ hai, chiến lƣợc cơ sở nhanh chúng tỏ ra khụng hữu hiệu, cỏc mảnh
ghộp khụng “khớt nhau”. Điều này buộc HS phải bắt buộc tiến hành cỏc điều ứng, cỏc thớch nghi cho hệ thống kiến thức của mỡnh.
Thứ ba, kiến thức nhắm đến là phộp nhõn một số với một số hữu tỷ cho
phộp chuyển từ chiến lƣợc cơ sở sang chiến lƣợc tối ƣu (nhõn với 7/4).
Thứ tư, tồn tại một mụi trƣờng để hợp thức hoỏ, mụi trƣờng cú khả
năng phản hồi để HS tự đỏnh giỏ đƣợc kết quả hoạt động của mỡnh. Mụi trƣờng đƣợc cài đặt trong tỡnh huống đƣợc cấu thành từ cỏc yếu tố vật chất và phi vật chất (đó nờu ở trờn). Và từ đú HS cú nhu cầu điều chỉnh kiến thức hay quan niệm của mỡnh để thớch nghi với mụi trƣờng đú, tỡm kiếm chiến lƣợc tối ƣu, sớm giải quyết vấn đề.
Thứ năm, HS cú thể bắt đầu một chiến lƣợc giải khỏc khi chiến lƣợc cơ
sở “thất bại”. Hoạt động này của HS là tự giỏc do đƣợc kớch thớch từ sự phản hồi của mụi trƣờng, chứ khụng phải do sự ra lệnh khiờn cƣỡng từ phớa GV.
4) Biến didactic trong tỡnh huống:
Biến thứ nhất B1: (n; p) với n, p là cỏc số xỏc định tỷ lệ phúng to (p /n ).
Chẳng hạn ở tỡnh huống đó nờu n = 4 và p = 7.
Những giỏ trị đớch thực là: p là bội của n; p = kn + n/2 (k nguyờn và n chẵn); p/n hữu tỷ khụng thập phõn..
- Một sự phúng to từ 4 sang 8 làm HS nghĩ tới phộp nhõn với 2, cũng cú nghĩa là 4 + 4. HS vẫn ở trong khuụn khổ mụ hỡnh cộng và cỏc số nguyờn.
- Một sự phúng to từ 4 sang 6 đƣợc coi nhƣ phộp “x cộng thờm nửa x”. Ta sẽ cú một mụ hỡnh trung gian giữa mụ hỡnh cộng và mụ hỡnh tuyến tớnh, “gần” với mụ hỡnh cộng hơn vỡ trong trƣờng hợp này một nửa cũng là một số nguyờn.
- Một sự phúng to từ 4 sang 7 khụng cũn là chuyển đổi bỡnh thƣờng nữa. HS nếu vẫn quanh quẩn trong mụ hỡnh cộng thỡ cú thể dẫn đến cỏc chiến lƣợc thất bại đó phõn tớch ở trờn. Và HS cũng cú thể xem sự phúng to nhƣ là “hai lần x trừ đi một nửa của một nửa của x” (7 = 2.4-(1/2).(1/2).4 ).
- Nhƣng khi chuyển từ 3 qua 7, HS khụng tỡm đƣợc hệ thức nào giữa chỳng. Bắt buộc phải từ bỏ mụ hỡnh cộng và phạm vi cỏc số nguyờn.
Nhƣ vậy, những giỏ trị của biến B1 làm nảy sinh nghĩa của một phộp nhõn đối với một số hữu tỷ, chỳng cho phộp hay khụng cho phộp chuyển từ phộp nhõn với một số nguyờn (mụ hỡnh cộng, phộp cộng lặp lại) sang phộp nhõn với một số hữu tỷ (mụ hỡnh nhõn, ảnh của một ỏnh xạ tuyến tớnh).
Biến thứ hai B2: Tổ chức việc tương tỏc giữa HS
Những giỏ trị của biến này mụ tả nhiều kiểu phõn chia khỏc nhau: làm việc cỏ nhõn, hợp tỏc, phõn chia, hội ý, đối chiếu… Trong tỡnh huống ghộp hỡnh, ta cú cỏc bƣớc sau: đầu tiờn là hội ý, kế đến là làm việc cỏ nhõn, rồi đối chiếu kết quả. Việc thực hiện hai bƣớc sau cựng cho phộp nảy sinh tỏc động phản hồi về chiến lƣợc đó quyết định trong bƣớc đầu tiờn. Nếu ta rỳt lại chỉ cũn một bƣớc thụi (hợp tỏc làm một hỡnh ghộp phúng to) thỡ cú thể sẽ cú nguy cơ phổ biến chiến lƣợc tối ƣu ngay và nhƣ vậy sẽ ngăn chặn việc học tập của những em cần phải học nhất.
Biến thứ ba B3: Cấu hỡnh của trũ chơi xếp hỡnh
Những giỏ trị của biến này mụ tả số đo cỏc miếng, số lƣợng của chỳng v.v. Ở đõy sử dụng số đo đƣợc chọn sao cho chiến lƣợc “thờm 3” mà ta giả thiết
đƣợc bởi phần lớn HS mà dẫn đến việc tạo ra những miếng khụng ghộp khớt nhau một cỏch rừ ràng.
1.2.8.2. Vớ dụ 2: Tỡnh huống “Hành trỡnh đến 20”
Tỡnh huống này đƣợc Brouseau (1998) xõy dựng với mục đớch dạy học phộp chia Ơclide ở trƣờng THCS.
Mụ tả tỡnh huống: Tỡnh huống đƣợc mụ tả dƣới dạng trũ chơi.
Trũ chơi 1“Hành trỡnh đến 20”:
Tham gia trũ chơi cú hai đối thủ. Mỗi ngƣời lần lƣợt viết một số nguyờn dƣơng. Ngƣời viết đầu tiờn cú quyền viết 1 hoặc 2. Những lần sau đú ngƣời nào đến lƣợt mỡnh chỉ đƣợc viết tiếp một số bằng số mà đối phƣơng vừa viết cộng thờm 1 hoặc 2. Ngƣời viết đƣợc số 20 đầu tiờn là ngƣời thắng cuộc.
Cỏch thức hoạt động:
Hoạt động trong tỡnh huống theo một kịch bản gồm 4 màn nhƣ sau:
Màn 1: GV giải thớch quy tắc của trũ chơi và bắt đầu chơi một vỏn với một HS,
sau đú nhƣờng chỗ cho một HS khỏc và cả hai HS chơi cho đến cuối vỏn.
Màn 2: HS tham gia trũ chơi theo từng cặp và chơi nhiều vỏn. Cỏc số nờu ra đều
đƣợc ghi lại, mỗi đối thủ ghi số của mỡnh trờn một cột của một tờ giấy chung.
Màn 3: Lớp học đƣợc phõn làm hai đội đối địch. Trũ chơi diễn ra trờn bảng giữa
hai HS vụ địch đƣợc GV chọn ngẫu nhiờn. Trƣớc mỗi hiệp chơi, GV giành ra một ớt thời gian cho mỗi đội bàn tớnh. Cỏc đội tham gia chơi nhiều hiệp. Cỏc HS vụ địch đƣợc chọn theo từng hiệp, sau thời gian bàn tớnh thống nhất.
Màn 4: Lớp học vẫn luụn tỏch ra làm hai đội. GV yờu cầu cỏc HS phỏt biểu
cỏc mệnh đề, cỏc điều khỏm phỏ mà nhờ đú họ đó thắng cuộc. Mỗi mệnh đề do đội này phỏt biểu đều đƣợc đội kia thừa nhận là đỳng hay bỏc bỏ là sai. Khỏm phỏ nào đƣợc cho là đỳng sẽ đƣợc ghi lờn bảng và điểm tốt giành cho đội đó phỏt biểu đú.
Phõn tớch vớ dụ 2:
Nếu tụi viết đến 19 thỡ đối thủ cú thể cộng thờm 1 và viết 20 trƣớc; nếu tụi viết 18 thỡ đối thủ cú thể cộng thờm 2 và viết 20; nếu tụi viết 17 thỡ vỡ đối thủ chỉ cú thể cộng thờm 1 hoặc 2 nờn cũng khụng viết đƣợc 20 ngay, sau đú đến lƣợt tụi chỉ việc cộng thờm 1 (nếu trƣớc đú đối thủ cộng thờm 2 và viết 19) hoặc cộng thờm 2 (nếu trƣớc đú đối thủ cộng
thờm 1 và viết 18) thỡ tụi sẽ viết đƣợc số 20 trƣớc và là ngƣời thắng.
Hành trỡnh đến 20 trở thành hành trỡnh đến 17. Cứ lặp lại lập luận nhƣ thế này, cuối cựng thỡ dóy số thắng đƣợc tỡm thấy bằng cỏch “đi xuống”: 20,17,14,…
Chiến lƣợc thắng: Ngƣời thắng là ngƣời đầu tiờn viết đƣợc dóy số 2, 5,
8, 11, 14, 17, 20.
2) Tỡnh huống thỏa món là một tỡnh huống adidactic:
Thứ nhất, HS cú đƣợc một quy trỡnh cơ sở là quy trỡnh chơi đỳng luật.
Chẳng hạn trong trũ chơi “Hành trỡnh đến 20”, HS biết thờm 1 hoặc 2 vào số cũn dƣới 20 mà đối phƣơng vừa viết. HS khi tham gia chơi trỏnh đƣợc tỡnh trạng bế tắc khụng biết làm gỡ.
Thứ hai, quy trỡnh cơ sở trờn chƣa hiệu quả vỡ nú chỉ đảm bảo đỳng
luật chơi chứ khụng đảm bảo thắng cuộc.
Thứ ba, kiến thức nhắm đến trong tỡnh huống cho phộp chuyển từ
chiến lƣợc cơ sở sang chiến lƣợc tối ƣu, tức là kiến thức về phộp chia cú dƣ để biết chơi nhƣ thế nào nhằm thắng cuộc, cần phải là ngƣời đi trƣớc hay đi sau và viết số nào đầu tiờn.
Thứ tư, tồn tại mụi trƣờng cú khả năng phản hồi để HS tự đỏnh giỏ
đƣợc kết quả hoạt động của mỡnh. Mụi trƣờng ở đõy là dóy hai số mà hai đối thủ chơi lần lƣợt viết ra, khi đối thủ của mỡnh đó viết số thỡ mỗi HS của đội kia đến lƣợt mỡnh phải quyết định và hành động trờn mụi trƣờng là đề nghị một số. Sau mỗi vỏn chơi HS biết ngay là đội nào thắng. Dần dần, khi chơi những vỏn mới HS đó phải quan sỏt, phõn
tớch dóy số do hai đối thủ chơi viết ra và tất cú nhu cầu điều chỉnh chiến lƣợc chơi để cú thể thắng cuộc.
Thứ năm, rừ ràng khi chiến lƣợc cơ sở thất bại, HS đó cú thể bắt đầu một
chiến lƣợc chơi khỏc do sự thỳc đẩy lụi cuốn từ chớnh tỡnh huống gợi ra (nhờ tỏc động phản hồi từ mụi trƣờng) chứ khụng phải do GV ra lệnh một cỏch khiờn cƣỡng. HS cú nhu cầu thắng cuộc và tỡm tũi chiến lƣợc chơi tối ƣu.
3) Tỡnh huống là tỡnh huống cơ sở của kiến thức nào?
Cú thể phỏt triển trũ chơi 1 để đƣợc cỏc trũ chơi sau:
Trũ chơi 2: "Hành trỡnh đến 38”
Luật chơi tƣơng tự nhƣ trũ chơi 1.
Ngƣời viết đƣợc số 38 đầu tiờn là ngƣời thắng cuộc.
Ngƣời viết đầu tiờn cú quyền viết một số nguyờn dƣơng khụng vƣợt quỏ 4. Những lần sau đú ngƣời nào đến lƣợt mỡnh chỉ đƣợc viết tiếp một số bằng số mà đối phƣơng vừa viết cộng thờm một số nguyờn dƣơng khụng vƣợt quỏ 4.
Tỡm chiến lƣợc thắng: Cũng lập luận tƣơng tự nhƣ đối với số 17 trong
“Hành trỡnh đến 20”: Nếu tụi viết 37, đối thủ cú thể cộng thờm 1 để
viết đƣợc 38 trƣớc; nếu tụi viết 36 thỡ đối thủ cú thể cộng thờm 2 và viết đƣợc 38; nếu tụi viết 35 thỡ đối thủ cú thể cộng thờm 3 và viết 38; nếu tụi viết 34 thỡ đối thủ cú thể cộng thờm 4 và viết 38; nếu tụi viết 33 thỡ dự đối thủ cú cộng thờm số nào: 1, 2, 3 hay 4 (kớ hiệu là số a) thỡ số đối thủ viết sau 33 vẫn chƣa đến 38 và sau đú đến lƣợt tụi thỡ tụi chỉ cần cộng thờm phần bự của 5 (là 5-a) và tụi sẽ viết đƣợc số 38 trƣớc. Lập luận nhƣ thế này, cuối cựng thỡ dóy số thắng là: 38, 33, 28, 23, 18, 13, 8, 3. Chiến lƣợc thắng: Ngƣời thắng là người đi đầu tiờn và lần lƣợt viết
đƣợc cỏc số 3, 8,13,18, 23, 28, 33, 38.
Trũ chơi 3: “Hành trỡnh đến 56”
Ngƣời viết đầu tiờn cú quyền viết một số nguyờn dƣơng khụng vƣợt quỏ 6. Những lần sau đú ngƣời nào đến lƣợt mỡnh chỉ đƣợc viết tiếp một số bằng số mà đối phƣơng vừa viết cộng thờm một số nguyờn dƣơng khụng vƣợt quỏ 6.
Tỡm chiến lƣợc thắng: Lập luận tƣơng tự nhƣ trờn, dóy số thắng là: 56,
49,42, 35, 28, 21, 14, 7. Nhƣ thế để thắng cuộc thỡ tụi phải là ngƣời viết đƣợc số 7 đầu tiờn và cỏc bƣớc sau viết đƣợc cỏc số trong dóy số thắng đú. Thế nhƣng ngƣời viết đầu tiờn khụng thể viết số 7 (theo luật chơi). Vậy tụi nờn là ngƣời viết thứ hai và bắt đầu bởi số 7.
Chiến lƣợc thắng: Ngƣời thắng là người đi thứ hai và lần lƣợt viết
đƣợc cỏc số 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56.
Trũ chơi 4: “Hành trỡnh đến 5929”
Vấn đề là phải viết đƣợc trƣớc số 5929.
Ngƣời viết đầu tiờn cú quyền viết một số nguyờn dƣơng khụng vƣợt quỏ 2. Những lần sau đú ngƣời nào đến lƣợt mỡnh chỉ đƣợc viết tiếp một số bằng số mà đối phƣơng vừa viết cộng thờm một số nguyờn dƣơng khụng vƣợt quỏ 2.
Tỡm chiến lƣợc thắng: Cần phải đi trƣớc hay đi thứ hai? Và bằng cỏch
viết số nào đầu tiờn? Nếu bằng cỏch lập luận tƣơng tự nhƣ trong cỏc