Chương 3 Bài toán tìm bao lồi cho tập hữu hạn các hình trịn
3.4. Độ phức tạp tính tốn
3.4.2. phức tạp tính tốn trung bình
Trước tiên chúng tơi đưa ra đánh giá số hình trịn cực biên |CH(D)| trung bình của tập các hình trịn. Đây là cơ sở để đánh giá độ phức tạp tính tốn trung bình của thuật tốn QuickhullDisk. Dưới đây là hai bổ đề quan trọng được trích dẫn trong [19] và [35]. Ta sẽ sử dụng những kết quả này trong chứng minh của Định lý 3.4.3 dưới đây.
Bổ đề 3.4.1 (xem [19]). Cho S là tập gồm n điểm trong không gian R2 được chọn theo một phân bố xác xuất bất kỳ. Khi đó xác xuất để s∈S là một điểm cực biên của S là
Ps ≤ 4 logn
n .
Cho tậpD ={d1, d2, . . . , dn}gồmn hình trịn được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của bán kính r1 ≥r2≥. . .≥rn. Đặt Di={d1, d2, . . . , di} là tập hợp i hình trịn đầu tiên của D sau khi đã được sắp xếp, Ci = {c1, c2, . . . , ci} là tập tâm tương ứng của tập hình trịn Di. Khi thêm hình trịn di+1 và tính conv(Di+1) thì số cung tăng lên nhiều nhất là hai cung, cụ thể ta có bổ đề sau.
Bổ đề 3.4.2 (xem [35]). Ta có
f(Di+1)≤f(Di) + 2,
trong đó f(Di) và f(Di+1) tương ứng là số cung của conv(Di) và conv(Di+1). Định lý dưới đây đánh giá số hình trịn cực biên trung bình của một tập hợp các hình trịn.
Định lý 3.4.3. Cho tập D gồm n hình trịn có tâm thuộc tập C được chọn theo phân bố xác suất ∆ bất kỳ. Khi đó trung bình số hình trịn cực biên là
O log2n
.
Chứng minh. Trong chứng minh này ta cũng giả sử các hình trịn trong tập D được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của bán kính r1 ≥ r2 ≥ . . . ≥ rn. Đặt Di ={d1, d2, . . . , di} là tập hợp i hình trịn đầu tiên của D sau khi đã được sắp xếp, Ci = {c1, c2, . . . , ci} là tập tâm tương ứng của tập hình trịn Di, f(Di) và Ef(Di) tương ứng là số cung và kỳ vọng của số cung của conv(Di).
Trong tập Di+1 thì hình trịn di+1 có bán kính nhỏ nhất. Do đó, để di+1 là hình trịn cực biên của Di+1 thì tâm ci+1 phải là điểm cực biên của tập Ci+1.
Theo Bổ để 3.4.1 ta có xác suất để ci+1 là điểm cực biên của tập Ci+1 là Pci+1 ≤4 log(i+ 1) i+ 1 .
Do đó xác suất để hình trịn di+1 là hình trịn cực biên của Di+1 là Pdi+1 ≤4 log(i+ 1) i+ 1 .
Theo Bổ đề 3.4.2, khi thêm hình trịn di+1 và tính conv(Di+1) thì số cung tăng lên nhiều nhất là hai cung. Do đó ta có
Ef(Di+1)≤2Pdi+1 +Ef(Di), (3.3)
Cộng từng vế các bất đẳng thức (3.3) với i= 0,1, . . . , n−1 ta có Ef(D)≤2 n−1 X i=0 Pdi+1 = 2 n−1 X i=0 4 log(i+ 1) i+ 1 = 8 n X i=1 logi i ≤8 n X i=1 logn i =O(log2n).
Do số cung f(D)của conv(D) bằng số các hình trịn cực biên của D xuất hiện trong CH(D) nên ta cũng có số hình trịn cực biên trung bình nhiều nhất là O(log2n).
Định lý 3.4.4. Độ phức tạp tính tốn trung bình của Thuật tốn 3.1 cho tập
D gồm n hình trịn có tâm thuộc tập C được chọn theo phân bố xác suất ∆ bất kỳ là O(nlog2n).
Chứng minh. Định lý 3.4.3 đã chỉ ra rằng số hình trịn cực biên trung bình củaD nhiều nhất làO(log2n). Mặt khác, như đã biết từ Mục 3.4.1, thuật tốn QuickhullDisk 3.1 u cầu khơng q 3h lần phép gọi Findhull với h là số đường tròn cực biên của tập CH(D). Mỗi phép gọi Findhull có độ phức tạp tính tốn là O(n). Do đó độ phức tạp trung bình của thuật tốn QuickhullDisk tìm bao lồi của tậpD gồm n hình trịn là O(nlog2n).