Chương 4 Ứng dụng của bài tốn tìm bao lồi cho tập điểm
3.2 Tiếp tuyến phải
đến tiếp điểm với hình trịn d0. Khi đó ta có định nghĩa tiếp tuyến phải của hai hình trịn như sau.
Định nghĩa 3.1.4. Tiếp tuyến chung l(d, d0) được gọi là tiếp tuyến phải của d và d0 nếu cả d và d0 đều nằm ở phía dương của l(d, d0).
Trong Hình 3.2, l(d, d0) là tiếp tuyến phải của hai hình trịn d và d0, l(d0, d) là tiếp tuyến phải của hai hình trịn d0 và d.
Trong chương này, khi nói đến một đường thẳng trong R2 thì đó là một đường thẳng là có hướng. Do vậy chúng tơi sử dụng định nghĩa đường thẳng tựa như Định nghĩa 3.1.5 dưới đây.
Định nghĩa 3.1.5. Trong R2, một đường thẳng có hướngl là mộtđường thẳng tựa của tập S nếu l+ là nửa mặt phẳng tựa của S.
Cho d và d0 là hai hình trịn thuộc tập D, l(d, d0) là tiếp tuyến phải của hai hình trịn d và d0. Gọi t(d, d0) là đoạn con của l(d, d0) nối hai tiếp điểm và có hướng từ tiếp điểm trên d đến tiếp điểm trên d0.
Định nghĩa 3.1.6. Một cạnh của conv(D) là đoạn con t(d, d0) của một tiếp tuyến phải l(d, d0) sao cho l(d, d0) là một đường thẳng tựa của conv(D).
Tiếp theo ta xem xét đến khái niệm và cách tìm các điểm cực đặc biệt của một tập hữu hạn các đường tròn.
Cho D={d1, d2, . . . , dn} là tập hữu hạn các hình trịn, khi đó các điểm cực đặc biệt của tập D được định nghĩa tương tự như Định nghĩa 1.2.3. Một hình trịn là tập hợp vơ hạn điểm nên tập D cũng là tập vô hạn điểm. Tuy nhiên để tìm các điểm cực đặc biệt của D ta chỉ cần xét hữu hạn bước. Chẳng hạn ta muốn tìm điểm tận cùng trên trái q1 của D ta có thể làm như sau. Xét các đường trịn di(ci, ri), với i = 1,2, . . . , n. Một điểm ai(aix, aiy)∈di thỏa mãn
aix=cix−ri được gọi là điểm tận cùng trái của đường trịn di (ai có hồnh độ nhỏ nhất trong các điểm thuộcdi), mỗi đường tròndi chỉ tồn tại duy nhất một điểm tận cùng tráiai. GọiA={ai, i= 1,2, . . . , n} là tập các điểm tận cùng trái của các đường tròn di ∈ D. Ta sẽ tìm điểm tận cùng trên trái q1 của D trong tập A. Trong các điểm của A có hồnh độ bằng min{aix, i= 1,2, . . . , n} thì q1 là điểm có tung độ lớn nhất. Ta có thể làm tương tự để tìm ra các điểm cực đặc biệt cịn lại.
Ta ký hiệu ∂(d) là biên của hình trịnd. Để đơn giản, khi ta viết “hình trịn d đi qua điểm q” có nghĩa là “hình trịn d có biên ∂(d) đi qua điểm q”.
Định nghĩa 3.1.7 (xem [47]). Một hình trịn của tập D được gọi là một hình trịn cực biên nếu nó đi qua một điểm cực biên của D và khơng bị chứa trong một hình trịn nào khác của D.
Ta biểu diễn kết quả của bài tốn tìm bao lồi của tậpD bởi một danh sách CH(D)các hình trịn cực biêndtrongD, tức là ta có CH(D) ={d1, d2, . . . , dh, dh+1}, trong đód1 =dh+1, sao chot(di, di+1)là một cạnh của conv(D) vớii= 1,2, . . . , h. Ký hiệu next(dh) là hình trịn cực biên liền sau dh trong CH(D) và prev(dh) là hình trịn cực biên liền trước dh trong CH(D). Tức là next(dh) = dh+1 và prev(dh) = dh−1.
Một hình trịn cực biên có thể xuất hiện nhiều hơn một lần trong CH(D), bởi vậy CH(D) có thể chứa các phần tử di và dj với i6=j nhưng di =dj. Trong [35, 47], các tác giả đã chứng minh được rằng |CH(D)| ≤2n−1. Trong trường hợp tậpDchứa các hình trịn có cùng bán kính ta chỉ cần giải bài tốn tìm bao lồi cho tập điểm là tập tâm của các hình trịn củaD. Các hình trịn có tâm là các điểm cực biên của bao lồi đó chính là các hình trịn cực biên. Hình 3.3 minh họa bao lồi của tập hợp Dgồm 7 hình trịn với CH(D) = {d1, d4, d2, d4, d7, d4, d3, d1}
d3 d6 d5 d2 d7 d4 d1