Chương 4 Ứng dụng của bài tốn tìm bao lồi cho tập điểm
4.5 Thời gian chạy tính bao lồi dưới (đơn vị: giây)
1.000 0,136 0,061 2,23 2.000 0,454 0,248 1,83 5.000 2,684 1,500 1,79 7.000 7,014 3,129 2,24 11.000 14,321 8,484 1,69 17.000 41,307 24,666 1,67 20.000 63,197 37,332 1,69 22.000 70,866 40,235 1,76 30.000 153,240 96,738 1,58 35.000 200,496 125,490 1,60 0 50 100 150 200 250
Thuật tốn trong [7] Thuật tốn 4.4
Hình 4.5 Đồ thị so sánh thời gian chạy tính bao lồi dưới của thuật toán trong [7]và Thuật toán 4.4. và Thuật toán 4.4.
Kết luận Chương 4
Trong chương này chúng tôi đề xuất một phương pháp giải một bài tốn tìm vị trí tối ưu trong đó ta tìm một điểm x trong một tập D lồi đóng cho trước sao cho khoảng cách Euclide xa nhất từ x tới các điểm của tập hữu hạn C là ngắn nhất. Phương pháp được áp dụng là một thuật toán dưới vi phân để giải quyết bài toán tối ưu không trơn không ràng buộc. Chúng tôi đề xuất một bước tiền xử lý quan trọng là tìm đỉnh của bao lồi của C trước khi giải bài tốn xác định vị trí tối ưu. Một số kết quả tính tốn thực nghiệm của chúng tôi đã chỉ ra rằng việc thực hiện bước tiền xử lý này là có ý nghĩa. Một đề xuất khác để tăng tốc cho thuật tốn tìm bao lồi dưới cho lớp bài tốn ứng dụng tìm tam giác phân Deulaunay và biểu đồ Voronoi cũng được giới thiệu ở Chương 4. Với các kết quả tính tốn chúng tơi chỉ ra rằng thuật toán cải tiến là nhanh hơn khoảng 1,8 lần so với một thuật toán khác đề xuất trong [7] năm 2015.
Kết luận
Luận án trình bày một số vấn đề liên quan đến bài tốn tìm bao lồi của tập hữu hạn điểm và tập hữu hạn các hình trịn đạt được các kết quả chính như sau.
• Đề xuất được một số kỹ thuật để tăng tốc cho thuật tốn Quickhull trong khơng gian R2. Các tính tốn chỉ ra thuật toán áp dụng các kỹ thuật này tăng tốc khá hiệu quả, tăng khoảng 3 lần so với phiên bản hiện có.
• Giới thiệu một kỹ thuật giới hạn khơng gian tìm kiếm để cải tiến thủ tục tìm một mặt của bao lồi qua một mặt con cho trước áp dụng cho thuật tốn gói q tìm bao lồi của tập hữu hạn điểm trong Rd với d ≥2. Một số thử nghiệm tính tốn đã chỉ ra rằng thuật toán áp dụng kỹ thuật này giảm được khoảng 40% so với thuật tốn gói q ban đầu và khoảng 35% so với một phiên bản cải tiến thuật toán này năm 2013.
• Đề xuất thuật tốn QuickhullDisk tìm bao lồi của tập hữu hạn các hình trịn trong mặt phẳng dựa vào ý tưởng của thuật tốn QuickhullDisk tính bao lồi cho bộ điểm. Các chứng minh sự đúng đắn của thuật toán và tính độ phức tạp tính tốn trong trường hợp xấu nhất, trung bình và theo nghĩa smoothed analysis cũng được trình bày một cách chi tiết. Các tính tốn của chúng tơi chỉ ra rằng thuật toán QuickhullDisk chạy nhanh hơn gấp khoảng 3,8 lần so với thuật tốn tăng dần.
• Trình bày một phương pháp giải một bài tốn tìm vị trí tối ưu: tìm một điểm x trong một tập D lồi đóng cho trước sao cho khoảng cách Euclide xa nhất từ x tới các điểm của tập hữu hạnC là ngắn nhất. Phương pháp được áp dụng là một thuật toán dưới vi phân (subgradient algorithm) để giải quyết bài toán tối ưu không trơn. Chúng tôi đề xuất một bước tiền xử lý quan trọng là tìm đỉnh của bao lồi của C trước khi giải bài tốn xác định vị trí tối ưu. Một số kết quả tính tốn thực nghiệm của chúng tơi đã chỉ ra rằng, việc tính bao lồi trước khi thực hiện bài tốn là hiệu quả.
• Một đề xuất khác để tăng tốc cho thuật tốn tìm bao lồi dưới cho lớp bài tốn ứng dụng tìm tam giác phân Deulaunay và biểu đồ Voronoi cũng được đề xuất.
Các kết quả tính tốn chỉ ra rằng thuật tốn cải tiến là nhanh hơn khoảng 1,8 lần so với một thuật toán khác đề xuất trong [7] năm 2015.
Trong thời gian tiếp theo chúng tơi sẽ tiếp tục tìm hiểu và mở rộng bài tốn tìm bao lồi cho tập các hình cầu, tập các đoạn thẳng, tập các đa giác lồi, tập các đa diện lồi,tập các hình ellipse v.v. . . . Hơn nữa, chúng tơi cũng muốn tiếp tục tìm hiểu các ứng dụng của bài tốn tìm bao lồi trong các bài tốn hình học khác như tìm đường đi ngắn nhất trên bề mặt một đa diện lồi khi khơng có vật cản và khi có vật cản, tính biểu đồ voronoi của tập hình trịn, tìm đường đi ngắn nhất với độ rộng cho trước tránh các vật cản là các hình trịn hay các đa giác lồi, v.v. . .
Danh mục các cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án
1. N. D. Hoang and N. K. Linh (2015), “Quicker than quickhull”,Vietnam Journal of Mathematics 43, pp. 57–70.
2. N. K. Linh and L. D. Muu (2015), “A convex hull algorithm for solving a location problem”, RAIRO-Operations Research 49, pp. 589–600.
3. N. K. Linh, C. Song, J. Ryu, P. T. An, N. D. Hoang, D.-S. Kim (2019), “Quick- hullDisk: A Faster Convex Hull Algorithm for Disks”, Submitted to Applied Mathematics and Computation.
4. N. D. Hoang and N. K. Linh (2019), “The expected number of extreme discs”, VNU Journal of Science: Mathematics – Physics 35, pp. 88-93.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển (2014),Giáo trình Giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
[2] Trần Bình Nguyên (2011), Hệ thống nhận diện biển số xe,
http://www.ieev.org/2011/01/tong-quan-ve-he-thong-nhan -dien-bang-so. html#comment-post-message
Tiếng Anh
[3] S. G. Akl and G. T. Toussaint (1978), “Efficient convex hull algorithms for pat- tern recognition applications”,International Conference on Pattern Recognition, Kyoto, Japan, pp. 483–487.
[4] S. G. Akl and G. T. Toussaint (1978), A fast convex hull algorithm,Information Processing Letters 7, pp. 219–222.
[5] P. T. An (2010), Method of orienting curves for determining the convex hull of a finite set of points in the plane,Optimization 59(2), pp. 175–179.
[6] P. T. An and T. V. Hoai (2012), “Incremental convex hull as an orientation to solving the shortest path problem”, International Journal of Information and Electronics Engineering 2(5), pp. 652–655.
[7] P. T. An and D. T. Giang (2015), “A direct method for determining the lower convex hull of a finite point set in 3D”, Advances in Intelligent Systems and Computing,Springer, Proceedings of 3rd International Conference on Computer Science, Applied Mathematics and Applications (ICCSAMA, May 11-13, Metz, France)358, pp. 15–26.
[8] P. T. An and L. H. Trang (2013), “An efficient convex hull algorithm for finite point sets in 3D based on the method of orienting curves”,Optimization 62, pp.
975–988.
[9] F. Aurenhammer, R. Klein, and D. Lee (2013), “Voronoi diagrams and delaunay riangulations”, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
[10] C. B. Barber, D. P. Dobkin, and H. Huhdanpaa (1996),“The quickhull algorithm for convex hulls", University of Minnesota.
[11] J. L. Bentley, H. T. Kung, M. Schkolnick, and C. D. Thompson (1978), “On the average number of maxima in a set of vectors and application”, Journal of the Association for Computing Machinery 25(4), pp. 536–543.
[12] P. Bhaniramka, R. Wenger and R. Crawfis (2004), “Isosurface construction in any dimension using convex hulls”, IEEE Transactions on Visualization and Com- puter Graphics 10(2), pp. 130–141.
[13] B. Bhattacharya (1982), “Worst-case analysis of a convex hull algorithm, Depart- ment of Computer Science, Simon Fraser University”,Unpublished manuscript. [14] P. Bolstad (2002), “GIS Fundamentals: A First Text on Geographic Information
Systems”,White Bear Lake, Minnesota: Eider Press.
[15] S. Boyd and L. Vandenberghe (2004), Convex optimization, Cambridge Univer- sity Press.
[16] D. R. Chand and S. S. Kapur (1970), “An algorithm for convex polytopes”, Journal of the ACM 1, pp. 78–86.
[17] T. M. Chan (1996), Optimal output-sensitive convex hull algorithms in two and three dimensions,Discrete & Computational Geometry, pp. 361–368.
[18] W. Chen, K. Wada, K. Kawaguchi, and D. Z. Chen (1998), “Finding the convex hull of discs in parallel”, International Journal of Computational Geometry & Applications 3, pp. 305–319.
[19] V. Damerow and C. Sohler (2004), “Extreme points under random noise”, Ero- pean Symposium on Algorithms 3221, pp. 264–274.
[20] M. M. David (2002),Computation geometry, Department of Computer Science. [21] N. Dinh and H. X. Phu (1992), “Solving a class of regular optimal control prob- lems with state constraints by the method of orienting curves”,Optimization 25,
[22] N. Dinh and H. X. Phu (1992), “Solving a class of optimal control problems which are linear in the control variable by the method of orienting curves”,Acta Mathematica Vietnamica 17, pp. 115–134.
[23] R. L. Graham (1972), “An efficient algorithm for determining the convex hull of a finite planar set”,Information Processing Letters 1 , pp. 132–133.
[24] R. L. Graham and F. Yao (1981), Finding the convex hull of a simple polygon, Department of Computer Science, Stanford University.
[25] B. Grunbaum and G.C. Shepphard (1969), “Convex polytope”, Bulletin of the London Mathematical Society 1, pp. 257–300.
[26] P. Hansen, D. Peeters, D. Richard, and J. F. Thisse (1985), “The minisum and minimax location problems revisited”, Operations Research 33, pp. 1251–1265.
[27] R. A. Jarvis (1973), “On the identification of the convex hull of a finite set of points in the plane”, Information Processing Letters 2, pp. 18–21.
[28] Y. -B. Jia and H. Lin (2003), “On the Convex Hulls of Parametric Plane Curves”, Department of Computer Science.
[29] S. G. Jonathan (1990), “A proof for a Quickhull algorithm”,Electrical Engineer- ing and Computer Science Technical Reports, Syracuse University.
[30] M. Kallay (1984), “The complexity of incremental convex hull algorithms inRd”, Information Processing Letters 19 (4), pp. 197-198.
[31] D. -S. Kim, K. Yu, Y. Cho, D. Kim, and C. Yap (2004), “Shortest paths for disc obstaches”,Lecture Notes in Computer Science 3045, pp. 62–70.
[32] P. McMullen and G. C. Shephard (1971),Convex polytopes and the upper bound conjecture, Cambridge University Press, Cambridge.
[33] M. Megiddo (1989), “On the ball spanned by balls”, Discrete & Computational Geometry 6.
[34] Y. Nesterov (2004),Introductory lectures on convex optimization: a basic course, Kluwer Academic Publishers.
[35] D. Olivier and G. Mordecai (1995), “Incremental algorithm for finding the convex hulls of discs and the lower envelopes of parabolas", Information Processing Letters 56, pp. 157–164.
[36] F. Plastria (1992), “The generalized big square small square method for planar single facility locatio”, European Journal of Operations Research 62, pp. 163–
174.
[37] H. X. Phu (1987), Zur Lăosung einer regulăaren Aufgabenklasse der optimalen Steuerung im Großen mittels Orientierungskurven”,Optimization 18, pp. 65–81.
[38] H. X. Phu (1987), “Zur Lăosung eines Zermeloschen Navigations problems, Op- timization 18, pp. 225–236.
[39] H. X. Phu (1987), Ein konstruktives Lăosungsverfahren făur das problem des Inpolygons kleinsten Umfangs von J. Steiner”,Optimization 18, pp. 349–359.
[40] H. X. Phu (1991), “Method of orienting curves for solving optimal control prob- lems with state constraints”, Numerical Functional Analysis and Optimization
12, pp. 173–211.
[41] H. X. Phu and N. Dinh (1995), “Some remarks on the method of orienting curves”, Numerical Functional Analysis and Optimization 16, pp. 755–763.
[42] H. X. Phu, H.G. Bock, and J. Schlăoder (1997), “The method of orienting curves and its application for manipulator trajectory planning”, Numerical Functional Analysis and Optimization 18, pp. 213–225.
[43] F. P. Preparata and M.I. Shamos (1985),Computational Geometry, 2nd Printing. Springer-Verlag, New York.
[44] F. P. Preparata and S. J. Hong (1977), “Convex hull of finite set of points in two and three dimensions”, Communications of the ACM2, pp. 87–93.
[45] S. Ramaswami (1993), “Convex hulls: complexity and applications (a survey)”, Technical report, Department of Computer & Information Science, University of Pennsylvania.
[46] D. Rappaport (1989), “Computing the furthest site Voronoi diagram for a set of discs”, Technical report no. 89–250, Dept. of Computing and Information Science, Queen’s University.
[47] D. Rappaport (1992), “A convex hull algorithm for discs, and application”,Com- putational Geometry: Theory and Applications 1, pp. 171–187.
[48] R. T. Rockafellar (1970),Convex analysis, Princeton University Press.
[49] J. O’ Rourke (1998), Computational geometry in C, 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge.
[50] A. P. Ruszczynski (2006),Nonlinear optimization, Princeton University Press. [51] M. Shamos (1975),Computational geometry, Ph.D Dissertation, Yale University. [52] N. M. Sirakov and P. A. Mlsna (2004), “Search space partitioning using convex hull and concavity features for fast medical image retrieval”, Proc. of the IEEE International Symposium on Biomedical Imaging, Arlington, USA, pp. 796–799. [53] D. A. Spielman and S. -H. Teng (2004), “Smoothed analysis of algorithms: Why the simplex algorithm usually takes polynomial time”, Journal of the ACM 51
(3), pp. 385–463.
[54] H. Tuy (1996), A general d.c. approach to location problems, State of the Art in Global Optimization: Computational Methods and Applications, eds. C.A. Floudas and P. M. Pardalos, Kluwer, pp. 413–432.
[55] H. K. Xu (2003), “An iterative approach to quadratic optimization”, Journal of Optimization Theory and Applications 116, pp. 659-678.
[56] B. Yuan and C. L. Tan (2007), “Convex hull based skew estimation”, Pattern Recognition 40 (2), pp. 456–475.
[57] X. Zhang, Z. Tang, J. Yu, and M. Guo (2010), “A fast convex hull algorithm for binary image”,Informatica 34, pp. 369–376.