Chương 4 Ứng dụng của bài tốn tìm bao lồi cho tập điểm
4.1. Bài toán xác định vị trí tối ưu
4.1.1. Phát biểu bài tốn và các tính chất
Trong nội dung này chúng tôi nhắc lại một số kết quả được sử dụng trong các mục tiếp theo.
Ta biết rằng một hàm f : X → R được gọi là lồi mạnh (strongly convex) với module ρ > 0 trên tập lồi X ⊂Rd, ký hiệu là ρ-lồi mạnh, nếu với mọi x, y ∈ X và λ∈[0,1] ta có
f(λx+ (1−λ)y)≤λf(x) + (1−λ)f(y)− ρ2λ(1−λ)kx−yk2. Từ định nghĩa hàm lồi mạnh ta dễ dàng chỉ ra được mệnh đề sau.
Bổ đề 4.1.1. Ta có
i) Với bất kỳ vector cố định a ∈ Rd, thì hàm f(x) := kx−ak2 là lồi mạnh với module ρ= 2 trên tồn khơng gian Rd.
ii) Cho J là một tập chỉ số khác rỗng và gj là một hàm lồi mạnh trên tập lồi X với module ρj với mọi j ∈ J. Khi đó hàm g = max
j∈J gj là lồi mạnh trên X với module ρ= min
Định nghĩa 4.1.2 (xem [48], tr. 214). Cho f : Rd → R∪ {+∞} là một hàm lồi. Một vector v được gọi là dưới đạo hàm của f tại xnếu với ∀y∈Rd ta có
hv, y−xi ≤f(y)−f(x).
Tập tất cả các dưới đạo hàm củaf tạixđược gọi làdưới vi phân của f tại xvà được ký hiệu bởi ∂f(x). Một hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f(x) 6= ∅. Hàmf là một hàm khả dưới vi phân nếu nó là khả dưới vi phân tại mọi x∈domf, trong đó
domf ={x∈Rd:f(x)<+∞}.
Cho X là một đa diện lồi, khi đó các điểm cực của nó cũng được gọi là các đỉnh.
Bổ đề 4.1.3 (xem [48], tr. 215). Cho fi : Rd → R (i ∈ I := {1, . . . , m}) là những hàm lồi khả dưới vi phân trên Rd và f(x) := max{fi(x)|i ∈I}. Khi đó f là hàm lồi khả dưới vi phân trên Rd và
∂f(x) = conv [ i∈I(x) ∂fi(x) , trong đó I(x) := {i∈I|f(x) =fi(x)}.
Ký hiệu hình chiếu của x trên A là PA(x).
Định nghĩa 4.1.4 (xem [15], tr. 397). Cho Alà một tập con lồi đóng khác rỗng của
Rd và x là một điểm bất kỳ củaRd. Một điểm x¯∈A được gọi là hình chiếu Euclide của x lên A nếu
kx−x¯k ≤ kx−yk, ∀y∈A ta có
¯
x=PA(x) ⇐⇒ x¯∈A và hx−x, y¯ −x¯i ≤0, ∀y∈A. (4.1) Ta biết rằng với mỗix thì hình chiếu PA(x)tồn tại duy nhất (xem [15]). Bổ đề 4.1.5 dưới đây để chứng minh sự hội tụ của thuật tốn được mơ tả trong mục tiếp theo.
Bổ đề 4.1.5 (xem [55]). Giả sử rằng {ξk} là một dãy các số dương thỏa mãn điều kiện ξk+1 ≤ ξk+βk, ∀k ∈ N, trong đó βk ≥ 0 và ∞ P k=0 βk < +∞. Khi đó {ξk} là dãy hội tụ.
Bài tốn tìm vị trí tối ưu được phát biểu cụ thể như sau.
Bài tốn 4.1.6. Cho tập lồi đóng D ⊂ Rn và một tập hữu hạn điểm C. Tìm một điểm x trong một tập D sao cho khoảng cách Euclide xa nhất từ x tới các điểm của tập C là ngắn nhất.
Khoảng cách từ một điểm x tới một điểm y được định nghĩa bởi kx−yk. Đặt θ(x, C) := max
y∈C kx−yk2
,
khi đó Bài tốn 4.1.6 được biểu diễn dưới dạng toán học như sau min
Bổ đề 4.1.7. Ký hiệu VC là tập các đỉnh của conv(C). Khi đó ta có i) VC ⊆C.
ii) θ(x, C) = max{kx−yk2 | y ∈VC}.
Chứng minh. Phát biểu i) được chỉ ra trực tiếp từ định nghĩa của tập VC. Quan sát ii) ta nhận thấy rằng
θ(x, C) = max
y∈C kx−yk2 = max
y∈conv(C)kx−yk2 = max
y∈VCkx−yk2, (4.2) trong đó đẳng thức cuối nhận được do giá trị lớn nhất của một hàm lồi trên một tập lồi đạt được tại các điểm cực của nó (xem [48], Định lý 32.2).
Bổ đề 4.1.8. Cho v1, v2, . . . , vm là các phần tử của VC và θj(x, C) :=kx−vjk2 với mỗi j ∈J :={1,2, . . . , m}. Khi đó ta có
i) θ(x, C) là hàm lồi mạnh với module 2. ii) ∂θ(x, C) = conv S
j∈J(x)
∂θj(x, C)
!
, trong đó ∂θj(x, C) là dưới vi phân của hàm lồi θj(x, C) tại x và J(x) = {j ∈J| θ(x, C) =θj(x, C)}. Chứng minh. Từ Bổ đề 4.1.7 (ii) ta có θ(x, C) = max j∈J kx−vjk2 = max j∈J θj(x, C). (4.3)
Từ Bổ đề 4.1.1 (i), với mỗi j ∈ J hàm θj(x, C) = kx−vjk2 là lồi mạnh với module 2. Suy ra phát biểu (i) được chỉ ra từ Bổ đề 4.1.1 (ii), trong khi phát biểu (ii) được chỉ ra từ (4.3) và Bổ đề 4.1.3.