Chương 3 Bài toán tìm bao lồi cho tập hữu hạn các hình trịn
3.3. Sự đúng đắn của thuật toán
Trong Mục 3.4 ta sẽ chứng minh Thuật toán 3.1 dừng sau một số hữu hạn bước và độ phức tạp tính tốn của nó. Ở mục này ta thảo luận về tính đúng
Thủ tục 3.3 FindPrevDisc(Dk, dp, dq)
Đầu vào: Tập Dk ={d1, d2, . . . , dm} gồm m hình trịn khơng ở phía dương của pq.
Đầu ra: prev(dp). 1. l := 1.
2. Tính len(tdl, q) 3. for i=l to m do
if (len(tdl, q) > len(tdi, q)) or ((len(tdl, q) = len(tdi, q) and
([tdl,˜tdl]> [tdi,˜tdi])) then đặt l =i and goto 2; . prev(dq) là dl. 4. Return dl.
đắn, tức là sẽ chứng minh đầu ra của thuật toán chỉ chứa các hình trịn cực biên của D. Các hình trịn cực biên này có sắp thứ tự ngược chiều kim đồng hồ mà theo thứ tự đó cùng các tiếp tuyến phải của hai hình trịn kề nhau ta sẽ được bao lồi của tập D. Một chứng minh tương tự của thuật toán Quickhull cho bộ điểm cũng được trình bày trong [29].
Định lý 3.3.1. Đầu ra của Thuật toán 3.1 là danh sách các hình trịn cực biên của D và được sắp xếp theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ.
Chứng minh. Hai điểm xuất phát làp và q được xác định là hai điểm cực biên đặc biệt nên hai hình trịn dp và dq là hai hình trịn cực biên.
Kết quả và thứ tự trong CH(D) được cho bởi hình trịn đầu tiên là dp, tiếp theo là kết quả của phép gọi Findhull(D1, pq, dp, dq), sau đó là hình trịn dq và cuối cùng là kết quả của phép gọiFindhull(D2, qp, dq, dp). Như vậy ta cần chứng minhFindhull(D1, pq, dp, dq)(tương ứng Findhull(D2, qp, dq, dp)) chỉ chứa tất cả các hình trịn tròn cực biên của D1 (tương ứng D2) và các hình trịn trịn này có xếp thứ tự theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Ta sẽ chứng minh Findhull(D1, pq, dp, dq) tìm ra danh sách chỉ chứa tất cả các hình trịn cực biên ở phía âm của đường thẳng pq và các hình trịn này có thứ tự ngược chiều kim đồng hồ nếu ba giả thiết của mỗi phép gọi đệ quy
Findhull của nó khơng thay đổi với nghĩa như sau:
(1) p, q là các điểm cực biên của D và dp, dq là các hình trịn cực biên trong CH(D);
(2) D1 là tập con của D và chứa các hình trịn khơng nằm ở phía dương của pq, tức là D1 =Dpq−;
Nếu D1 = 2, thì đầu ra của Findhull rỗng. Khi đó kết luận của Định lý 3.3.1 đúng trong trường hợp này.
Nếu D1 6= 2, Thuật toán 3.1 chọn điểmr xapq nhất. Khi đó thuật tốn chia ra ba trường hợp. Ta sẽ chứng minh rằng mỗi trường hợp đều tìm ra được một hình trịn cực biên, hình trịn cực biên này được đưa vào bao lồi theo vị trí xác định và có một hoặc hai phép gọi đệ quy trong mỗi trường hợp đó.
Trường hợp 1: Nếu dr 6= dp và dr 6= dq thì Findhull(D1, pq, dp, dq) đưa ra hình trịn dr, ta sẽ chứng minh dr là một hình trịn cực biên của D. Thật vậy, giả sử đường thẳng L qua r song song và cùng hướng với pq (Hình 3.8). Ta dễ dàng thấy rằng L là đường thẳng tựa của D1 (tập D1 nằm ở phía dương của L). Theo giả thiết thứ ba của phép gọiFindhull, tập D\D1 chứa các hình trịn nằm ở phía dương pq mà pq nằm ở phía dương của L, do đó D\D1 cũng nằm ở phía dương của L. Như vậy, tất cả các hình trịn của D đều nằm ở phía dương của L, hay nói cách khác, L là đường thẳng tựa của D. Điều này chỉ ra rằng r là một điểm biên của D. Hơn nữa, thuật toán chọn điểm r là điểm cuối (endpoint) nên ta có thể kết luận rằng r là một điểm cực biên. Mặt khác, hình trịn dr đi qua r, nên dr là hình trịn cực biên của D.
Sau khi hình trịn cực biên dr được tìm ra trong Findhull(D1, pq, dp, dq), thuật toán xác định các tập P1 (tương ứng P2) chứa tất cả các hình trịn của D1 khơng nằm ở phía dương của pr (tương ứng rq) và gọi tiếp các phép đệ quy
Findhull(P1, pr, dp, dr) và Findhull(P2, qr, dr, dq). Thứ tự của hình trịn dr được đưa vào giữa hai phép gọi trên.
Trường hợp 2: Nếu dr =dp thì gọi FindNextDisc(Dk, dp, dq) để tìm next(dp).
p q D2 dp r dr L D1 P1 P2 dq
q D2 dq p D1 P1 dp =dr r p0 next(dp)
Hình 3.9 Trường hợp 2 của chứng minh Định lý 3.3.1.
Đầu ra của F indhull trong trường hợp này là hình trịn next(dp). Theo Mệnh đề 3.2.1, ta có next(dp) là một hình trịn cực biên của D. Sau khi tìm được hình trịn next(dp), ta gọi p0 là tiếp điểm với next(dp) của tiếp tuyến phải của hai hình trịn dp và next(dp). Tập P1 chứa các hình trịn của Dk khơng nằm ở phía dương của p0q. Thuật toán gọi Findhull(P1, p0q,next(dp), dq) và next(dp) được đưa vào tập CH(D) trước phép gọi này.
Trường hợp 3: Nếu dr =dq thì gọi FindPrevDisc(Dk, dp, dq) để tìm prev(dp). Đầu ra của F indhull trong trường hợp này là hình trịn prev(dq). Theo Mệnh đề 3.2.2, ta có prev(dq) cũng là một hình trịn cực biên của D. Gọi q0 là tiếp điểm với prev(dq)của tiếp tuyến phải của hai hình trịn prev(dp) và dq. Tập P1 chứa các hình trịn của D1 khơng nằm ở phía dương của pq0. Thuật tốn gọi
Findhull(P1, pq0, dp,prev(dq)) sau đó đưa prev(dp) được đưa vào CH(D).
Như vậy, rõ ràng cả ba trường hợp trong Findhull(D1, pq, dp, dq) đều tìm ra kết quả là một hình trịn cực biên được xếp thứ tự cùng các phép gọi đệ quy
D2 q r prev(dq) q 0 dq =dr dp p P1 D1
r dr e de q D\D1 D1\P1 p dp P1
Hình 3.11 Phân chia các tập trong Findhull(P1, pr, dp, dr).
Findhull được tạo ra tương ứng trong nó. Do đó, ta chỉ cần chứng minh các phép gọi này họat động tương tự như Findhull(D1, pq, dp, dq) tức là phải thỏa mãn các giả thiết của Findhull(D1, pq, dp, dq).
Ta dễ dàng thấy rằng giả thiết (1) và (2) là đúng cho tất cả các phép gọi
Findhull trong cả ba trường hợp. Ta sẽ chứng minh giả thiết (3) cũng được giữ đúng cho phép gọi Findhull(P1, pr, dp, dr). Các phép gọi cịn lại có thể được chứng minh tương tự.
Xét Findhull(P1, pr, dp, dr), ta sẽ chứng minh D\P1 chứa các hình trịn nằm ở phía dương của pr. Thật vậy, theo định nghĩa của P1 ta có D1 \P1 nằm ở phía dương củapr. Vì vậy ta cần chứng minh rằng tập D\D1 cũng nằm ở phía dương củapr (xem Hình 3.12). Ta sẽ chỉ ra điều này bằng phản chứng.
Giả sử rằng tồn tại điểm e thuộc một đường tròn de trong D\D1 (tức là điểm e nằm ở phía dương của pq) sao cho e nằm ở phía âm của pr (xem Hình 3.12). Tuy nhiên, nếu e có vị trí như vậy thì p khơng phải là điểm cực biên vì khi đópnằm phía trong của tam giácerq. Điều này là mâu thuẫn với giả thiết
r e q D\D1 p de dr D1\P1 dp P1
p là một điểm cực biên của D. Do đó khơng tồn tại điểm e như giả sử. Tức là ta có thể kết luận rằng D\D1 nằm ở phía dương của pr.
Ta thấy thuật tốn chỉ bỏ đi những hình trịn thuộc vào tập P0 (tập các hình trịn khơng phải là các hình trịn cực biên) và các hình trịn biên ở mỗi phép gọi Findhull. Vì vậy đầu ra của Findhull(D1, pq, dp, dq) trong Thuật toán 3.1 là danh sách chỉ chứa tất cả các hình trịn cực biên của D.
Như vậy ta đã chứng minh được rằng đầu ra của Findhull(D1, pq, dp, dq)tìm ra danh sách tất cả các hình trịn cực biên ở phía âm của đường thẳngpqvà các hình trịn này có thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Với Findhull(D2, qp, dq, dp) ta có thể chứng minh tương tự. Do đó Định lý 3.3.1 được chứng minh.
3.4 Độ phức tạp tính tốn
Trong mục này ta sẽ đưa ra một số chứng minh về độ phức tạp tính tốn của Thuật tốn 3.1 cho trường hợp xấu nhất, trung bình và theo nghĩa smoothed analysis.
3.4.1 Độ phức tạp tính tốn trong trường hợp xấu nhất
Trong mục này ta thảo luận về độ phức tạp tính tốn của Thuật tốn 3.1 trong trường hợp xấu nhất. Trong thảo luận dưới đây, tập hợp D gồm n hình trịn và có h hình trịn cực biên. Trong [35, 47], các tác giả đã chỉ ra rằng h≤2n−1.
Theo chứng minh Định lý 3.3.1 ta biết rằng mỗi phép gọi Findhull ln tìm ra một đường trịn cực biên. Việc tìm ra một hình trịn cực biên có độ phức tạp tính tốn xấu nhất là O(n). Khi mỗi hình trịn cực biên được chọn, có thể nó được xuất hiện nhiều nhất hai lần nữa trong các phép gọi Findhull
ở bước tiếp theo (một phép gọi được đặt kề trước và một phép gọi được đặt kế sau). Do vậy thuật tốn dừng sau khơng quá 3h phép gọi Findhull. Từ đó ta
có thể kết luận rằng, độ phức tạp tính tốn của thuật tốn trong trường hợp xấu nhất là O(n2).
Như đã nói ở phần đầu chương, Quickhull là một thuật tốn trong thực tế tính tốn nhanh hơn trường hợp xấu nhất rất nhiều. Để đưa ra lời giải thích cho quan sát này người ta đã đưa ra cách đánh giá theo nghĩa smoothed analysis là sự kết hợp giữa cách đánh giá trong trường hợp xấu nhất và cách
đánh giá trong trường hợp trung bình (xem Mục 3.4.2). Do vậy tiếp theo chúng tơi đánh giá thuật tốn theo nghĩa trung bình để so sánh hiệu quả của các cách đánh giá này.
3.4.2 Độ phức tạp tính tốn trung bình
Trước tiên chúng tơi đưa ra đánh giá số hình trịn cực biên |CH(D)| trung bình của tập các hình trịn. Đây là cơ sở để đánh giá độ phức tạp tính tốn trung bình của thuật tốn QuickhullDisk. Dưới đây là hai bổ đề quan trọng được trích dẫn trong [19] và [35]. Ta sẽ sử dụng những kết quả này trong chứng minh của Định lý 3.4.3 dưới đây.
Bổ đề 3.4.1 (xem [19]). Cho S là tập gồm n điểm trong không gian R2 được chọn theo một phân bố xác xuất bất kỳ. Khi đó xác xuất để s∈S là một điểm cực biên của S là
Ps ≤ 4 logn
n .
Cho tậpD ={d1, d2, . . . , dn}gồmn hình trịn được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của bán kính r1 ≥r2≥. . .≥rn. Đặt Di={d1, d2, . . . , di} là tập hợp i hình trịn đầu tiên của D sau khi đã được sắp xếp, Ci = {c1, c2, . . . , ci} là tập tâm tương ứng của tập hình trịn Di. Khi thêm hình trịn di+1 và tính conv(Di+1) thì số cung tăng lên nhiều nhất là hai cung, cụ thể ta có bổ đề sau.
Bổ đề 3.4.2 (xem [35]). Ta có
f(Di+1)≤f(Di) + 2,
trong đó f(Di) và f(Di+1) tương ứng là số cung của conv(Di) và conv(Di+1). Định lý dưới đây đánh giá số hình trịn cực biên trung bình của một tập hợp các hình trịn.
Định lý 3.4.3. Cho tập D gồm n hình trịn có tâm thuộc tập C được chọn theo phân bố xác suất ∆ bất kỳ. Khi đó trung bình số hình trịn cực biên là
O log2n
.
Chứng minh. Trong chứng minh này ta cũng giả sử các hình trịn trong tập D được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của bán kính r1 ≥ r2 ≥ . . . ≥ rn. Đặt Di ={d1, d2, . . . , di} là tập hợp i hình trịn đầu tiên của D sau khi đã được sắp xếp, Ci = {c1, c2, . . . , ci} là tập tâm tương ứng của tập hình trịn Di, f(Di) và Ef(Di) tương ứng là số cung và kỳ vọng của số cung của conv(Di).
Trong tập Di+1 thì hình trịn di+1 có bán kính nhỏ nhất. Do đó, để di+1 là hình trịn cực biên của Di+1 thì tâm ci+1 phải là điểm cực biên của tập Ci+1.
Theo Bổ để 3.4.1 ta có xác suất để ci+1 là điểm cực biên của tập Ci+1 là Pci+1 ≤4 log(i+ 1) i+ 1 .
Do đó xác suất để hình trịn di+1 là hình trịn cực biên của Di+1 là Pdi+1 ≤4 log(i+ 1) i+ 1 .
Theo Bổ đề 3.4.2, khi thêm hình trịn di+1 và tính conv(Di+1) thì số cung tăng lên nhiều nhất là hai cung. Do đó ta có
Ef(Di+1)≤2Pdi+1 +Ef(Di), (3.3)
Cộng từng vế các bất đẳng thức (3.3) với i= 0,1, . . . , n−1 ta có Ef(D)≤2 n−1 X i=0 Pdi+1 = 2 n−1 X i=0 4 log(i+ 1) i+ 1 = 8 n X i=1 logi i ≤8 n X i=1 logn i =O(log2n).
Do số cung f(D)của conv(D) bằng số các hình trịn cực biên của D xuất hiện trong CH(D) nên ta cũng có số hình trịn cực biên trung bình nhiều nhất là O(log2n).
Định lý 3.4.4. Độ phức tạp tính tốn trung bình của Thuật tốn 3.1 cho tập
D gồm n hình trịn có tâm thuộc tập C được chọn theo phân bố xác suất ∆ bất kỳ là O(nlog2n).
Chứng minh. Định lý 3.4.3 đã chỉ ra rằng số hình trịn cực biên trung bình củaD nhiều nhất làO(log2n). Mặt khác, như đã biết từ Mục 3.4.1, thuật tốn QuickhullDisk 3.1 u cầu khơng q 3h lần phép gọi Findhull với h là số đường tròn cực biên của tập CH(D). Mỗi phép gọi Findhull có độ phức tạp tính tốn là O(n). Do đó độ phức tạp trung bình của thuật tốn QuickhullDisk tìm bao lồi của tậpD gồm n hình trịn là O(nlog2n).
3.4.3 Độ phức tạp tính tốn theo nghĩa smoothed analysis
Trước tiên chúng tơi sẽ trình bày lại về độ phức tạp tính tốn theo nghĩa smoothed analysis (xem [53]) và lý do tại sao chúng tôi sử dụng cách đánh giá này để đo độ phức tạp tính tốn cho thuật tốn QuickhullDisk.
Giới thiệu độ phức tạp tính tốn theo nghĩa smoothed analysis
Thơng thường ta có hai cách đánh giá thuật toán là cách đánh giá trong trường hợp xấu nhất và cách đánh giá trung bình. Tuy nhiên, hai cách đánh giá này lại thể hiện những hạn chế nhất định. Cách đánh giá thuật toán trong trường hợp xấu nhất thì q "bi quan", thực tế tính tốn khơng hay gặp phải trường hợp xấu nhất. Trong khi đó cách đánh giá trung bình lại hơi "lạc quan" vì các ví dụ cụ thể có thể tệ hơn trung bình rất nhiều. Để khắc phục các hạn chế này thì cách đánh giá thuật toán theo nghĩa smoothed analysis ra đời [19], nó là sự kết hợp hai cách đánh giá trung bình và xấu nhất.
Để hiểu rõ hơn về cách đánh giá theo nghĩa smoothed analyis cũng như mối quan hệ với hai cách đánh giá trong trường hợp xấu nhất và trung bình ta sẽ trình bày lại các định nghĩa sau.
Định nghĩa 3.4.5 (xem [53]). Cho một thuật toán A và dữ liệu vào x. Khi đó ký hiệu CA(x) là một phép đo độ phức tạp (complexity measure) của thuật toán A trên bộ dữ liệu x. Cho Xn là tập các bộ dữ liệu đầu vào có kích thước n của thuật tốn A. Ta nói
i) Thuật tốn A có độ phức tạp trong trường hợp xấu nhất (worst-case complexity) f(n) nếu
max
x∈Xn(CA(x)) = f(n).
ii) TrênXncho phân bốµn, ta nói rằngAcó độ phức tạp trung bình (average- case complexity) f(n) nếu
Eµn[CA(x)] = f(n),
trong đó Eµn[CA(x)] là kỳ vọng với trọng số µn của CA(x). iii) Thuật tốn A có độ phức tạp smoothed analysis f(n, s) nếu
max
x∈XnEs[CA(˜x)] =f(n, s),
trong đóx˜=x+s với s là biến ngẫu nhiên nào đó (thành phần gây nhiễu cho bộ dữ liệu đầu vào x), Es là kỳ vọng của CA(˜x).
Một trong những thành công của cách đánh giá theo nghĩa smoothed anal- ysis là kết quả của việc đánh giá theo nghĩa này cho thuật tốn đơn hình.
Thuật tốn đơn hình giải bài tốn qui họach tuyến tính tổng qt có dạng: max cTx
s.t. Ax≤b, (3.4)
trong đócTxđược gọi là hàm mục tiêu, Alà ma trận hệ số và x, b là các vector. Ta biết rằng thực tế thuật toán thực hiện rất tốt nhưng có độ phức tạp theo hàm mũ trong trường hợp xấu nhất. Để giải thích cho điều này D. A. Spielman và S.-H. Teng trong [53] đã xét bài toán
max cTx
s.t. Ax˜ ≤˜b, (3.5)
trong đó A˜=A+G, ˜b =b+h với G và h là ma trận và vector có các phần tử được chọn từ phân bố Gaussian có độ lệch chuẩn δ và kỳ vọng 0.
Các tác giả đã chỉ ra được khi đánh giá theo nghĩa smoothed analysis thì thuật tốn đơn hình có thời gian đa thức. Cụ thể, các tác giả đã chứng minh được kết quả là tồn tại đa thức P và một hằng số δ0 sao cho mọi n > d ≥ 3,