1.2 Tốn tử gộp thơng tin cho bằng từ
1.2.3 Gộp dựa trên chỉ số của các từ
Q trình gộp có sử dụng tốn tử gộp dựa trên chỉ số của các từ được mô tả như dưới đây [20]:
Sn −→c [0,g]app−→ {0, 1, . . . ,2(·) g} −→S. (1.5) Trong đó:
• c là tốn tử gộp chỉ số của các từ, cho tương ứngn chỉ số với một số thực thuộc đoạn[0,g];
• app2(·) là một phép xấp xỉ, cho tương ứng mỗi số thực thuộc đoạn [0,g] với số nguyên thuộc tập {0, 1, . . . ,g}, số nguyên này ứng với một từ trong S.
Dựa trên toán tửOWA[62] và tổ hợp lồi của các từ [15], năm 1993, Herrera và Herrera-Viedma [18] đưa ra toán tử OWA cho các từ (linguistic ordered weighted
averaging operator,LOWA1). Từ Định nghĩa 1.13 trở đi, véc-tơ trọng sốđược hiểu là véc-tơ với các thành phần khơng âm, có tổng các thành phần bằng1.
Định nghĩa 1.12. Véc-tơ w = (w1, . . . ,wn) ∈ Rn được gọi là véc-tơ trọng số nếu wk ≥ 0, với mọi k =1, . . . ,nvà ∑n
k=1
wk = 1.
Định nghĩa 1.13. [18] Toán tử OWA cho các từ, ký hiệu bởi LOWA1, với véc-tơ trọng sốwlà ánh xạSn → S, được định nghĩa bởi:
LOWA1(a1, . . . ,an) = Cn{wk,bk;k =1, . . . ,n}.
Trong đó,bk là phần tử lớn thứ kcủa các ai.Cn là tổ hợp lồi của ntừ, được định nghĩa bằng quy nạp như sau.
1. Vớin> 2:
Cn{wk,bk;k =1, . . . ,n}
= w1⊗b1⊕(1−w1)⊗Cn−1{γh,bh;h =2, . . . ,n}. Trong đó,γh = wh
2. Vớin= 2:
C2{wk,bk;k =1, 2} = w1⊗sj ⊕w2⊗si = sk.
Trong đó,sj = b1,si =b2 vàk= i+round[w1(j−i)]vớiroundlà hàm làm trịn thơng thường.
Có nhiều cách xác định trọng số cho tốn tửLOWA1, tổng quan về vấn đề này được nêu trong bài báo của Xu [55] vào năm 2005. Herrera và Herrera-Viedma [19] chứng minh tốn tử LOWA1 thỏa mãn các tính chất: đơn điệu tăng, giao hoán và bị chặn bởi các toán tửmaxvà min. Toán tử LOWA1 chủ yếu được ứng dụng trong các bài tốn ra quyết định với thơng tin cho bằng từ [16].
Ví dụ 1.4. Xét S = {s0,s1,s2,s3,s4}. Ta sẽ gộp các từ a1 = s2, a2 = s4, a3 = s1 và
a4 =s3 bằng toán tửLOWA1 với véc-tơ trọng số làw = (0.3, 0.4, 0.1, 0.2).
Sắp xếp cácai theo thứ tự giảm dần ta đượcb1 =s4,b2 =s3,b3 =s2 vàb4 = s1. Ta có: LOWA1(a1,a2,a3,a4) = C4{wk,bk;k =1, 2, 3, 4} = w1⊗b1 ⊕(1−w1)⊗C3{γh,bh;k =2, 3, 4} = 0.3⊗s4⊕0.7⊗C3{γh,bh;k =2, 3, 4}. (1.6) Vớiγh = wh 1−w1 (h =2,3,4), ta cóγ2 = 47,γ3 = 17,γ4 = 27. Do đó: C3{γh,bh;k =2, 3, 4} =γ2⊗b2⊕(1−γ2)⊗C2γh0,bh;k =3, 4 = 4 7⊗b2⊕ 3 7⊗C 2 γh0,bh;k =3, 4 . (1.7)
Tương tự như tính các γh (h = 2, 3, 4), ta cũng tính được γ30 = γ3
1−γ2 = 13, γ04 = γ4 1−γ2 = 23. Suy ra: C2γ0h,bh;k =3, 4 = 1 3 ⊗s2 ⊕ 2 3 ⊗s1 = s1+round[13(2−1)] = s1. (1.8)
Lấy kết quả ở (1.8) thay vào (1.7), ta được:
C3{γh,bh;k=2, 3, 4} = 4
7 ⊗s3⊕ 3
7 ⊗s1 = s1+round[47(3−1)] = s2. (1.9)
Cuối cùng, lấy kết quả ở (1.9) thay vào (1.6):
1.2.4 Gộp dựa trên biểu diễn theo cặp ngơn ngữ
Ta thấy các nhóm tốn tử gộp dựa trên Ngun lý Suy rộng và dựa trên chỉ số đều có nhược điểm là làm mất thông tin, dẫn đến kết quả cuối cùng kém chính xác. Để khắc phục điều này, Herrera và Martínez [20] đề xuất biểu diễn theocặp ngơn ngữ (linguistic 2-tuples). Theo đó thì thơng tin cho bằng từ được biểu diễn
bằng một cặp có dạng(si,e), vớisi ∈ Slà một từ và sốelàhệ số sai khác(symbolic
translation), eđược dùng để đo sự khác giữa thông tin ngôn ngữ và từsi.
Định nghĩa 1.14. [20] Xét S là một tập từ, β ∈ [0,g] là kết quả gộp chỉ số của các từ theo Sơ đồ 1.5 (Trang 16). Cặp ngôn ngữ (si,e), biểu diễn thông tin tương
đương vớiβ, được xác định nhờ hàm∆như sau:
∆ : [0,g] → S×[−0.5, 0.5),β7→ (si,e).
Trong đó,i = round(β)và e = β−i. Sốe được gọi làhệ số sai khácgiữa βvà từ si.
Ví dụ 1.5. Xétβ= 4.45. Ta cói =round(β) = 4vàβ−i =4.45−4=0.45. Do đó,
cặp ngơn ngữ tương ứng là∆(β) = (s4, 0.45).
Rõ ràng,∆có hàm ngược∆−1 cho phép xác định thông tin tương đương bằng số cho mỗi cặp ngơn ngữ(si,e):
∆−1 :S×[−0.5, 0.5) → [0,g],∆−1(si,e) = i+e. (1.10)
Ví dụ 1.6. ∆−1(s3, 0.3) = 3+0.3 = 3.3.
Herrera và Martínez [20] định nghĩa quan hệ thứ tự và các tốn tử gộp trên cặp ngơn ngữ:
1. Quan hệ thứ tự: Xét hai cặp ngôn ngữ(si,e1)và sj,e2.(si,e1)được gọi là
nhỏ hơn sj,e2, ký hiệu (si,e1) < sj,e2, nếu (a) si <sj; hoặc
(b) si =sj vàe1 < e2.
2. Phép phủ định:Phủ định của cặp ngơn ngữ (si,e)được định nghĩa như sau:
3. Tốn tử trung bình: Tốn tử trung bình cho cặp ngơn ngữ (2-tuple averaging
operator) được ký hiệu làTAMvà được định nghĩa như sau:
TAM((r1,e1), . . . ,(rn,en)) =∆ 1 n n ∑ i=1 ∆−1(ri,ei) ! . Trong đó,(ri,ei)là những cặp ngôn ngữ (i =1, . . . ,n).
4. Tốn tử trung bình có trọng số:Tốn tử trung bình có trọng số cho cặp ngơn ngữ (2-tuple weighted averaging operator) được ký hiệu làTWAvà được định nghĩa bởi: TWA((r1,e1), . . . ,(rn,en)) = ∆ ∑n i=1 wi∆−1(ri,ei) ! . Trong đó,(ri,ei)là những cặp ngơn ngữ (i = 1, . . . ,n), w = (w1, . . . ,wn)là véc-tơ trọng số. Ta thấy, toán tửTAMlà toán tửTWAkhiw =1n, . . . ,n1. 5. Toán tửOWA:Toán tử OWA cho cặp ngôn ngữ (2-tupleOWA) được ký hiệu
làTOWAvà được định nghĩa như sau:
TOWA((r1,e1), . . . ,(rn,en)) = ∆ ∑n j=1
wjβ∗j
!
,
Trong đó, w = (w1, . . . ,wn) là véc-tơ trọng số. β∗j là phần tử lớn thứ j của các βi =∆−1(ri,ei).
1.2.5 Gộp các từ với chỉ số liên tục
Năm 2004, Xu [54] mở rộng tập từ rời rạc với chỉ số đối xứng (tập từ gốc) S= ns−g 2, . . . ,s0, . . . ,sg 2 o thành tập từ với chỉ số liên tụcS¯ = sα|α ∈
−g2,2g . Với mỗi sα ∈ S, nếu¯ sα ∈ S thì ta nóisαlà từ gốc (original linguistic term), ngược lại thì ta nóisαlà từ ảo (virtual
linguistic term). Người ta cũng mở rộng các tập từ rời rạc khác thành tập từ với
chỉ số liên tục bằng cách cho chỉ số của từ nhận các giá trị thực bắt đầu từ chỉ số nhỏ nhất đến chỉ số lớn nhất của các phần tử trong tập từ rời rạc.
Ví dụ 1.7. Ở Hình 1.2, tập từ gốcS = {s−3, . . . ,s0, . . . ,s3}được mở rộng thành tập từ mở rộngS¯ = {sα|α ∈ [−3, 3]}. Ta thấy s−0.3 ∈ S¯ là từ ảo.
Hình 1.2: Tập từ mở rộng
Với cải tiến này, thông tin sẽ được bảo tồn trong q trình gộp. Xu cho rằng, “nói chung, người ra quyết định sử dụng các từ gốc để đánh giá các phương án, và từ
ảo chỉ xuất hiện trong q trình tính tốn”. Sau đây là một số toán tử gộp cho các từ
mở rộng.
Định nghĩa 1.15. [56]Tốn tử trung bình cho các từ mở rộnglà ánh xạLA : ¯Sn → S,¯ được định nghĩa như sau:
LA(sα1, . . . ,sαn) = sα¯,∀αj ∈ S,¯ j =1, . . . ,n, vớiα¯ = 1n ∑n
j=1
αj.
Định nghĩa 1.16. [56] Tốn tử trung bình có trọng số cho các từ mở rộng là ánh xạ
LWA : ¯Sn → S, được định nghĩa như sau:¯
LWA(sα1, . . . ,sαn) = sα˙¯,∀αj ∈ S,¯ j = 1, . . . ,n, vớiα˙¯ = ∑n
j=1
wjαj,w = (w1, . . . ,wn)là véc-tơ trọng số.
Định nghĩa 1.17. [56]Toán tử OWA cho các từ mở rộngđược ký hiệu làLOWA2và được định nghĩa như sau:
LOWA2(sα1, . . . ,sαn) = sβ¯,∀αi ∈ S,¯ i = 1, . . . ,n. Trong đó, β¯ = ∑n
j=1
wjβj, vớisβj là phần tử lớn thứ j của các sαi (i = 1, . . . ,n) và w = (w1, . . . ,wn)là véc-tơ trọng số.
1.2.6 Gộp thơng tin cho bằng từ có yếu tố trực cảm
Thơng tin cho bằng từ có yếu tố trực cảm, là sự kết hợp giữa CW truyền thống
thông tin từ trực cảm bao gồm thành phần từ ngôn ngữ, độ thuộc và độ không thuộc. Ta quan tâm đến hai khái niệm được đề xuất trong những năm gần đây:
giá trị ngôn ngữ trực cảm(intuitionistic fuzzy linguistic value, ILV) và số ngôn ngữ trực cảm(intuitionistic linguistic number, ILN).
1.2.6.1 Giá trị ngôn ngữ trực cảm
Năm 2012, Zhang và các cộng sự [71] quan tâm đến bài toán ra quyết định tập thể như sau:
• Các phương án khó có thể được đánh giá một cách chính xác và bản thân các chuyên gia cũng không hiểu biết thực sự đầy đủ về bài tốn đang xét. Ngồi ra, khi đưa ra đánh giá, con người bao giờ cũng có một sự lưỡng lự cố hữu. Trong những tình huống như thế, đánh giá các phương án bằng một tham số (độ thuộc) là không hợp lý. Vì vậy, nên sử dụng giá trị mờ trực cảm (Định nghĩa 1.8, Trang 12);
• Trong nhiều tình huống, các chun gia khơng thể đưa ra đánh giá của mình bằng giá trị số. Do đó, một cách tiếp cận thực tế hơn là sử dụng đánh giá bằng từ.
Trong bài tốn với các đặc điểm nói trên, Zhang đề xuất sử dụng ILV. Mỗi ILV là hai cặp ngôn ngữ (xem Định nghĩa 1.14, Trang 18) lần lượt đặc trưng cho độ thuộc và độ khơng thuộc. Cụ thể ta có khái niệm sau.
Định nghĩa 1.18. [71] Mỗi ILV là một cặp có dạngΓ= (si,e), sj,δ. Trong đó, (si,e), sj,δlà các cặp ngơn ngữ thỏa mãn (si,e) ≤ neg sj,δ
, với neg là phép phủ định của cặp ngôn ngữ (Công thức 1.11, Trang 18) . Ký hiệuΠlà tập hợp tất cả các ILV.
Nhằm so sánh các ILV, cũng giống như với giá trị mờ trực cảm, Zhang [71] sử dụng điểm và độ chắc chắn.
Định nghĩa 1.19. [71] Với Γ = (si,α), sj,δ ∈ Π là một ILV, điểm và độ chắc chắncủaΓlần lượt được định nghĩa như sau.
2. Độ chắc chắn:H(Γ) = ∆−1(si,e) +∆−1 sj,δ.
Trong đó,∆−1 là hàm chuyển cặp ngôn ngữ thành số (Công thức 1.10, Trang 18). Các ILV được so sánh dựa vào điểm và độ chắc chắn như trong Định nghĩa 1.20.
Định nghĩa 1.20. [71] Với Γvà Γ0 ∈ Π là hai ILV. Ta nóiΓ nhỏ hơn Γ0 và ký hiệu
Γ< Γ0 nếu:
1. h(Γ)< h(Γ0); hoặc
2. h(Γ) = h(Γ0)vàH(Γ)< H(Γ0).
Zhang [71] đề xuấttốn tử trung bình số học vàtốn tử trung bình số học có trọng số cho các ILVđể giải quyết bài toán ra quyết định tập thể với các đánh giá là ILV.
Định nghĩa 1.21. [71] Ta xét Γ(1), . . . ,Γ(n) là một bộ các ILV, giả sử Γ(i) =
r(i)1 ,ei
,r(i)2 ,δi
, với mọii = 1, . . . ,n.Tốn tử trung bình số học cho các ILV là ánh xạILV−AA :Πn → Πđược xác định bởi:
ILV−AAΓ(1), . . . ,Γ(n) = ∆ 1 n n ∑ i=1 ∆−1r1(i),ei ! ,∆ 1 n n ∑ i=1 ∆−1r(i)2 ,δi !! .
Định nghĩa 1.22. [71] Giả sử rằng Γ(1), . . . ,Γ(n)là một bộ các ILV, với Γ(i) =
r(i)1 ,ei
,r(i)2 ,δi
,i = 1, . . . ,n.Tốn tử trung bình số học có trọng số cho các ILV
là ánh xạILV−WAA : Πn → Πđược cho như sau:
ILV−WAAwΓ(1), . . . ,Γ(n) = ∆ ∑n i=1 wi∆−1r1(i),ei ! ,∆ ∑n i=1 wi∆−1r2(i),δi !! . (1.12) Trong đó,w = (w1, . . . ,wn)là véc-tơ trọng số.
1.2.6.2 Số ngôn ngữ trực cảm
Một khái niệm khác cũng được sử dụng để biểu diễn thơng tin bằng từ có yếu tố trực cảm là ILN, được Wang và Li [46] đưa ra vào năm 2010. Ở định nghĩa dưới đây,S¯ ={sθ|θ ∈ [0,g]} là tập từ mở rộng củaS =s0,s1, . . . ,sg .
Định nghĩa 1.23. [46] Mỗi ILN có dạng α = Dsθ(α),µ(α),ν(α)E. Trong đó, sθ(α) ∈ S¯ là một từ có chỉ số là θ(α) ∈ [0,g]. µ(α) ∈ [0, 1] và ν(α) ∈ [0, 1] lần lượt là độ thuộc và độ không thuộc vào từsθ(α)của đối tượng cần đánh giá.µ(α) và ν(α) thỏa mãn điều kiện µ(α) +ν(α) ≤ 1. Tập hợp tất cả các ILN được ký
hiệu làΩ.
Định nghĩa 1.24 cung cấp các phép toán cơ bản, làm cơ sở để định nghĩa các toán tử gộp cho các ILN.
Định nghĩa 1.24. [46] Với các ILNα, β∈ Ω, ta có các định nghĩa sau:
1. Phép cộng: Với điều kiệnθ(α) +θ(β) ≤ g, ta định nghĩa:
α⊕β= sθ(α)+θ(β),θ(α)µ(α) +θ(β)µ(β) θ(α) +θ(β) ,θ(α)ν(α) +θ(β)ν(β) θ(α) +θ(β) ; 2. Phép nhân: Vớiλ ∈ [0, 1],λα = Dsλθ(α),µ(α),ν(α)E.
Giống như đối với IFv và ILV, Wang [47] (2014) cũng so sánh các ILN nhờ điểm và độ chắc chắn.
Định nghĩa 1.25. [47] Xétα ∈ Ωlà một ILN. Điểmvà độ chắc chắncủa αlần lượt được ký hiệu là h(α) và H(α), được định nghĩa trong các Công thức (1.13) và (1.14).
h(α) = θ(α) (µ(α)−ν(α)); (1.13)
H(α) = θ(α) (µ(α) +ν(α)). (1.14)
Định nghĩa 1.26. [47] Xét α, β ∈ Ω là hai ILN. α được gọi làlớn hơn β, ký hiệu
bởiα > β, nếu:
1. h(α) >h(β); hoặc
Các Định nghĩa 1.27, 1.28 và 1.29 nêu các toán tử gộp cho các ILN.
Định nghĩa 1.27. [47] Tốn tử trung bình số học có trọng số cho các ILN là ánh xạ
ILN−WAA : Ωn → Ωđược định nghĩa như sau:
ILN−WAAw(α1, . . . ,αn) = w1α1⊕ · · · ⊕wnαn. (1.15) Trong đó,w = (w1, . . . ,wn)là một véc-tơ trọng số.
Định nghĩa 1.28. [47]Toán tử OWA cho các ILNlà ánh xạILN−OWA :Ωn → Ω
được định nghĩa như sau:
ILN−OWAw(α1, . . . ,αn) = w1β1⊕ · · · ⊕wnβn. (1.16) Trong đó,w = (w1, . . . ,wn) và một véc-tơ trọng số vàβj là phần tử lớn thứ jcủa cácαi.
Định nghĩa 1.29. [47] Toán tử gộp lai cho các ILN ứng với véc-tơ trọng số ω = (ω1, . . . ,ωn)là ánh xạILN−HA : Ωn → Ωthỏa mãn:
ILN−HAw,ω(α1, . . . ,αn) = ω1β01⊕ · · · ⊕ωnβ0n.
Trong đó,β0j là phần tử lớn thứ j của bộ các số ngôn ngữ trực cảm (nw1α1,nw2α2, . . . ,nwnαn),
với(w1, . . . ,wn)là véc-tơ trọng số của(α1, . . . ,αn).
Trong [47], các tác giả cũng chứng minh cơng thức tường minh cho các tốn tử
ILN−WAA, ILN−OWA và ILN−HA. Chẳng hạn, với (α1, . . . ,αn) là các ILN vàwlà một véc-tơ trọng số, ta có:
ILN−WAAw(α1, . . . ,αn) = α.¯ (1.17) Trong đó,α¯ ∈ Ω là số ngơn ngữ trực cảm xác định bởi:
θ(α) =¯ n ∑ i=1 wiθ(αi), (1.18) µ(¯α) = n ∑ i=1 wiθ(αi)µ(αi) n ∑ i=1 wiθ(αi) , (1.19)
và ν(¯α) = n ∑ i=1 wiθ(αi)ν(αi) n ∑ i=1 wiθ(αi) . (1.20)
Dựa vào các toán tửILN−HAvàILN−WAA, Wang [47] phát triển một tiếp
cận cho bài toán ra quyết định tập thể, trong đó các đánh giá là ILN.
1.2.7 Ra quyết định với thông tin cho bằng từ
Ra quyết định là quá trình chọn một hay một số phương án trong các phương án, dựa vào các đánh giá của các chuyên gia. Trong bài tốnra quyết định đa tiêu chí
(multi-criteria decision making, MCDM), các chuyên gia cần đánh giá mỗi phương án theo tất cả các tiêu chí. Tính khơng chắc chắn và tính mờ trong suy nghĩ của con người dẫn đến yêu cầu ra quyết định với thông tin cho bằng từ trong nhiều bài toán thực tế. Năm 2000, Herrera và Herrera-Viedma [22] đề xuất mơ hình giải bài tốn ra quyết định tập thể với các đánh giá được cho bằng từ. Mơ hình gồm các bước như sau (xem các Hình 1.3 và 1.4, Trang 26):
1. Xác định tập từ cùng với ngữ nghĩa của các từ. Trong bước này, biến ngôn ngữ [70] cùng với ngữ nghĩa được thiết lập, cung cấp cơ sở để đánh giá các phương án theo nhiều tiêu chí khác nhau;
2. Lựa chọn các tốn tử gộp thích hợp cho bài tốn đang quan tâm.Bước này phụ thuộc vào các đặc trưng của bài toán và cách biểu diễn các từ;
3. Chọn ra một hay nhiều phương án tốt nhất.Bước này được chia thành hai bước nhỏ:
(a) Gộp:Đưa ra đánh giá chung của tập thể chuyên gia cho từng phương án;
(b) Chọn: Tập các phương án sẽ được sắp xếp, sau đó chọn ra một hay nhiều phương án.
Ta nói qua về cách mà chuyên gia thường dùng để đánh giá các phương án. Tanino [43] cho rằng có thể đánh giá các phương án theo ba cách:
Hình 1.3: Các bước của bài tốn ra quyết định tập thể
Hình 1.4: CW trong bài toán ra quyết đinh tập thể
2. Sử dụngquan hệ mờ về độ ưa thích hơn(fuzzy preference relation); và 3. Sử dụnghàm lợi ích(utility function).
Tùy theo bài tốn và thói quen đánh giá, chun gia có thể sử dụng cách này hay cách khác; trong cùng một bài toán mỗi một chuyên gia có thể đánh giá theo những cách khác nhau. Thành thử, việc quy các đánh giá về một dạng chung là cơng việc đầu tiên để giải bài tốn ra quyết định tập thể. Chiclana và các cộng