Trung vị của các từ trực cảm

2.2 Toán tử gộp các từ trực cảm

2.2.2 Trung vị của các từ trực cảm

Định nghĩa 2.6. [CT 6] Xét (a˜1, . . . , ˜an) là bộ các ILL trongS. Giả sử b˜1, . . . , ˜bn là một hoán vị của(a˜1, . . . , ˜an)thỏa mãn b˜1 ≥ b˜2 ≥ · · · ≥b˜n.

1. Trung vị: Trung vịcủa (a˜1, . . . , ˜an), ký hiệu làILL−MED(a˜1, . . . , ˜an), được định nghĩa bởi: ILL−MED(a˜1, . . . , ˜an) =    ˜ bn 2 nếu nchẵn ˜ bn+1 2 nếu nlẻ . 2. Trung vị có trọng số: Xét bộ((w1, ˜a1), . . . ,(wn, ˜an)), trong đów = (w1, . . . ,wn) là véc-tơ trọng số với wi là trọng số củaa˜i (i =1, . . . ,n).

Ta sắp xếp ((w1, ˜a1), . . . ,(wn, ˜an)) thành u1, ˜b1

, . . . , un, ˜bn

sao cho b˜j là phần tử lớn thứ j của các a˜i và uj = wi nếu b˜j = a˜i. Ký hiệu Ti = ∑i

j=1 uj

(i = 1, . . . ,n). Trung vị có trọng số của các ILLđược ký hiệu làILL−WMED

và được định nghĩa như sau:

ILL−WMED((w1, ˜a1), . . . ,(wn, ˜an)) = b˜k.

Trong đó,klà số nguyên dương nhỏ nhất màTk ≥ 0.5.

Ví dụ 2.6. Xét a˜1 = (s0,s4), a˜2 = (s2,s4),a˜3 = (s3,s1), a˜4 = (s1,s5), a˜5 = (s4,s2),

và w = (0.2, 0.3, 0.15, 0.22, 0.13) với wi là trọng số của a˜i (i = 1, . . . , 5). Sắp xếp

(a˜1, ˜a2, ˜a3, ˜a4, ˜a5)theo thứ tự giảm dần, ta được b˜1 = a˜5 > b˜2 = a˜3 > b˜3 = a˜2 > b˜4 = ˜ a4 >b˜5 = a˜1. Ta có: • ILL−MED(a˜1, ˜a2, ˜a3, ˜a4, ˜a5) = b5+1˜ 2 = b˜3 = a˜2 = (s2,s4). • Vì u1 = w5 = 0.13, u2 = w3 = 0.15, u3 = w2 = 0.3, u4 = w4 = 0.22, u5 = w1 = 0.2, nên T1 = u1 = 0.13, T2 = u1 +u2 = 0.28, T3 = u1+u2+ u3 = 0.58> 0.5. Do đó: ILL−WMED(a˜1, ˜a2, ˜a3, ˜a4, ˜a5) = b˜3 = a˜2.

Định lý 2.3. [CT 6] Tốn tửILL−WMEDcó các tính chất sau:

1. Lũy đẳng: Với mọi a˜ ∈ Svà véc-tơ trọng sốw = (w1, . . . ,wn), ta có:

ILL−WMED((w1, ˜a), . . . ,(wn, ˜a)) = a;˜

2. Bị chặn: Với (a˜1, . . . , ˜an) là bộ các từ trực cảm trong S và w = (w1, . . . ,wn) là véc-tơ trọng số, ta có:

min(a˜1, . . . , ˜an) ≤ILL−WMED((w1, ˜a1), . . . ,(wn, ˜an)) ≤max(a˜1, . . . , ˜an);

3. Giao hoán: Với (a˜1, . . . , ˜an) là bộ các từ trực cảm trong S, w = (w1, . . . ,wn) là véc-tơ trọng số vàσlà một hốn vị trên{1, . . . ,n}, ta có:

ILL−WMED((w1, ˜a1), . . . ,(wn, ˜an))

=ILL−WMEDwσ(1), ˜aσ(1), . . . ,wσ(n), ˜aσ(n);

4. Đơn điệu: Với (a˜1, . . . , ˜an), (c˜1, . . . , ˜cn) là hai bộ từ trực cảm trên S thỏa mãn

˜

ai ≤ c˜i với mọii =1, . . .nvàw = (w1, . . . ,wn)là véc-tơ trọng số, ta có:

Chứng minh. Các tính chất 1 và 2 là hiển nhiên. Ta chứng minh 3 và 4.

3. Vì phần tử lớn thứ j của bộ (a˜1, . . . , ˜an) cũng là phần tử lớn thứ j của bộ

˜

aσ(1), . . . , ˜aσ(n), nên ta có ngay điều phải chứng minh.

4. Dễ dàng chứng minh được phần tử lớn thứ j của bộ (c˜1, . . . , ˜cn) lớn hơn hoặc bằng phần tử lớn thứ j của bộ (a˜1, . . . , ˜an). Từ đây, ta có điều phải chứng minh.