Ồn trắng và ồn màu

1.2 Một số khái niệm cơ bản

1.2.7 Ồn trắng và ồn màu

Gọi D T  là khơng gian hàm thử, nghĩa là các hàm khả vi vơ hạn lần

1

:T

 R và đồng thời triệt tiêu bên ngồi một khoảng đĩng hữu hạn nào đĩ. D T  là một khơng gian véc tơ topo. Gọi H là một khơng gian Hilbert của các biến ngẫu nhiên tương đương P xác định trên  , ,P cĩ mơ men hữu hạn.

Định nghĩa

Ánh xạ tuyến tính liên tục :D T H được gọi là quá trình ngẫu nhiên tổng quát hĩa. Giá trị của q trình  tại  kí hiệu là , hoặc

 

 .

Ưu điểm của quá trình ngẫu nhiên tổng quát hĩa là sự tồn tại đạo hàm của nĩ, đồng thời đạo hàm này cũng là một quá trình ngẫu nhiên tổng quát hĩa.

Định nghĩa

Đạo hàm  theo thời gian t của quá trình ngẫu nhiên tổng quát hĩa 

trên D T  được xác định như sau:

 ,  d , dt         với mọi D T . (1.2.20) Áp dụng định nghĩa đạo hàm tổng quát hĩa cho quá trình Wiener ta thu được một quá trình ngẫu nhiên tổng quát hĩa mới.

Định nghĩa

Đạo hàm tổng quát hĩa của quá trình Wiener  t (t0,) được ký hiệu bởi  t  t , nghĩa là:  ,   , d , dt              với mọi D T  (1.2.21) Quá trình  t  t được gọi là quá trình ồn trắng.

Đẳng thức (1.2.21) cĩ thể được ký hiệu dưới dạng hình thức sau:

   

d t  t dt (1.2.22) Ta cĩ các tính chất sau cho q trình ngẫu nhiên ồn trắng

  0

E t  (1.2.23) - Hàm tương quan là một hàm Dirac-delta

 1, 2  2 1, const>0

K t t c t t c (1.2.24) - Hàm tự tương quan của ồn trắng bằng vơ hạn

 ,  0

K t t c   (1.2.25) - Hàm mật độ phổ năng lượng bằng hằng số

 

S  c (1.2.26) Trong hệ vật lý thực, các nhiễu thường là ồn màu, cĩ thể được mơ hình như là các quá trình ngẫu nhiên dừng bậc hai cĩ trung bình bằng khơng. Chúng được đặc trưng hĩa bởi hàm tương quan R  hoặc hàm mật độ phổ năng lượng tương ứng S  . Một tiêu chuẩn để xác định mức độ tương quan của quá trình x t  là thơng qua giá trị thời gian tương quan tc xác định như sau:

   

0 0 .

c x x

t R  d R  d (1.2.27) Nếu thời gian quan sát tob0,T thỏa mãn bất đẳng thức tc tob thì thời gian tương quan cĩ thể bỏ qua và quá trình x t  cĩ thể được xử lý như là một xấp xỉ ồn trắng, các trường hợp cịn lại là ồn màu.

Một xấp xỉ khác của ồn trắng cĩ thể được xử lý như là quá trình dải rộng với hàm mật độ phổ năng lượng xác định bởi

    0 khi , 0 khi , , a b a b S S               (1.2.28) trong đĩ  a, b là các tần số cố định.