Hệ đĩng các phương trình ma trận hệ số tuyến tính hĩa

2.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu

2.2.3 Hệ đĩng các phương trình ma trận hệ số tuyến tính hĩa

Từ biểu thức (2.2.17) ta cĩ thể nhận thấy rằng kỳ vọng của các đáp ứng vị trí và vận tốc bằng khơng. Các quá trình q t , q t là các quá trình

Gaussian, nên các mơ men bậc cao E T

qΦ , E T

qΦ , E T

ΦΦ đều biểu diễn được thơng qua mơ men bậc hai E q q i j, E q q i j. Điều này cĩ thể

được thấy rõ hơn thơng qua kết quả định lý trình bày ở phần 1.3.1 (Lute và

Sarkani, 1976).

Từ (2.2.20) và (2.2.21), ta cĩ thể thấy rằng các mơ men bậc hai E q q i j,

i j

E q q   phụ thuộc vào các phần tử kije,cije, dij tương ứng của Ke,Ce, D. Do đĩ, từ các phương trình (2.2.13), (2.2.20) và (2.2.21), ta đã thiết lập được một hệ kín của Ke,Ce, D. Nĩi chung, hệ kín này là một hệ đại số phi tuyến. Việc tìm nghiệm chính xác của nĩ là rất khĩ. Người ta phải dùng phương pháp số để tìm ra kije,cije, dij. Một trong những phương pháp hay được sử dụng là phương pháp lặp điểm cố định. Ta thiết lập một sơ đồ lặp cho hệ kín của các ẩn e, e,

K C D như sau:

i. Gán giá trị ban đầu cho các ma trận e, e,

K C D, từ đĩ thu được: hàm ma trận đáp ứng - tần số H  [phương trình (2.2.14)], các ma trận E T qq , E T qq  [xem các phương trình (2.2.20), (2.2.21)], EqΦT, EqΦ T và EΦΦT.

ii. Thế các giá trị thu được vào phương trình (2.2.13), ta thu được các giá trị mới của Ke,Ce,D.

iii. Sử dụng các giá trị này và quay trở lại bước i.

iv. Lặp lại các bước i., ii. và iii. cho đến khi thu được kết quả với sai số mong muốn.

Ta cĩ thể minh họa sơ đồ giải lặp trên bằng sơ đồ khối như Hình 2.1

Trong Hình 2.1, ta kết thúc vịng lặp khi mà sai số ở bước thứ j nào đĩ của kết quả thu được nhỏ hơn ε1 2 3T cho trước:

   1 1, j j     e e K K (2.2.22)    1 2, j j     e e C C (2.2.23)    1 3. j j     e D D (2.2.24)

Chuẩn được sử dụng ở (2.2.22)-(2.2.24) là chuẩn Euclid. Với phép lặp đơn điểm cố định cho trường hợp nhiều biến ở trên, mức độ tính tốn sẽ phức tạp hơn nhiều so với trường hợp một biến, nhưng nĩi chung nĩ cĩ một số ưu điểm sau đây mà ta đã biết ở lặp đơn một biến:

o Xấp xỉ ban đầu Ke 0 ,Ce 0, D 0 khơng nhất thiết phải gần với nghiệm chính xác (thực tế tìm nghiệm chính xác là khơng thể được bằng phương pháp giải tích).

o Phép lặp đơn cĩ khả năng tự sửa sai, nếu xấp xỉ thứ j nào đĩ mắc sai số thì người ta cĩ thể coi đĩ như là xấp xỉ ban đầu.

o Cĩ thể đánh giá sai số tiền nghiệm, hậu nghiệm một cách dễ dàng

o Sơ đồ khối dễ lập trình tính tốn, áp dụng cho đa số các hệ mà yêu cầu về tính hội tụ được đảm bảo (như chú ý ở phần trình bày trên).

o Một ưu điểm khác là trong trường hợp hệ đang xét cĩ số bậc tự do khá lớn thì người ta cũng vẫn rất dễ dàng xây dựng tính tốn song song trên các máy tính lớn.

Trong thực tế, người ta cĩ thể sử dụng các ma trận hệ số tuyến tính hĩa hoặc sử dụng đáp ứng để thực hiện một sơ đồ lặp như trên. Trong trường hợp tuyến tính hĩa thơng thường ( 0), thuật tốn được ứng dụng giải một số hệ phi tuyến (Foster, 1968; Iwan và Yang, 1972; Atalik và Utku, 1976). Các hệ

phi tuyến đĩ cĩ tính phi tuyến thuộc vào loại ổn định, chẳng hạn như các hệ lị xo cĩ độ cứng phi tuyến... điều này đảm bảo tính hội tụ của thuật tốn. Các kết quả ứng dụng đĩ đã chỉ ra rằng tốc độ hội tụ của phép lặp là khá nhanh. Trong trường hợp tuyến tính hĩa theo tiêu chuẩn đối ngẫu, vì sự xuất hiện của ma trận D, nĩ đã làm phức tạp đáng kể các biểu thức đại số của hệ kín so với tuyến tính hĩa thơng thường. Tuy nhiên q trình tính tốn số thực hiện phép lặp khơng gặp trở ngại gì đáng kể. Các kết quả thực hiện tính tính tốn cho một số hệ nhằm minh họa cho tiêu chuẩn đối ngẫu trình bày ở các phần sau đã minh chứng cho tính hội tụ của phép lặp ở trên. Về khía cạnh giải tích, việc chứng minh tốc độ hội tụ của thuật tốn là khá khĩ bởi vì các biểu thức đại số chứa các ma trận hệ số tuyến tính hĩa dưới dạng ẩn và khá phức tạp. Điều này cần được xem xét kỹ hơn trong các nghiên cứu sau này.

Trong thực tế ta cĩ thể bắt gặp các hệ cĩ cả cản và độ cứng phi tuyến xuất hiện trong phương trình chuyển động. Trong trường hợp đặc biệt hơn, sau đây ta xét phương trình xác định các ma trận hệ số tuyến tính hĩa trong hai trường hợp hệ phi tuyến ban đầu chỉ cĩ độ cứng phi tuyến hoặc chỉ cĩ cản phi tuyến.