Khái niệm về hệ phi tuyến yếu và phi tuyến mạnh

1.2 Một số khái niệm cơ bản

1.2.8 Khái niệm về hệ phi tuyến yếu và phi tuyến mạnh

Để đơn giản, ta trình bày sự phân loại tính phi tuyến mạnh hay yếu của một hệ cho trường hợp hệ cơ học một bậc tự do. Ta xét một hệ cĩ phương trình chuyển động được biểu diễn như sau:

 

2

0 , ,

xhx xg x x t

   (1.2.29)

trong đĩ h,0 là các hằng số;  là một tham số bé; g x x t , ,  là một hàm phi tuyến gắn với tham số bé . Tham số  đặc trưng cho sự gần gũi của hệ

(1.2.29) so với hệ tuyến tính. Trong nhiều trường hợp, khi tham số này đủ nhỏ, người ta cĩ thể bỏ qua các số hạng từ bậc 1 trở đi. Ta nêu một số khái niệm sau cho hệ phi tuyến yếu và mạnh (xem: Babitsky và Krupenin, 2001): - Hệ phi tuyến yếu: Với một giá trị  nhỏ cho trước, hệ (1.2.29) được gọi là

hệ phi tuyến yếu.

- Hệ thực sự phi tuyến: Nếu trong phương trình chuyển động của hệ cĩ ít nhất một số hạng phi tuyến khơng thể biểu diễn được theo tham số bé  thì hệ đĩ được gọi là hệ thực sự phi tuyến.

Ví dụ hệ thực sự phi tuyến: Hệ (1.2.29) cĩ thêm thành phần lực đàn hồi phi

tuyến  x như sau:

   

2

0 , ,

xhx x x g x x t

   (1.2.30)

- Hệ phi tuyến mạnh: Nếu trong phương trình chuyển động của hệ thực sự phi tuyến cĩ ít nhất một số hạng phi tuyến biểu diễn được thơng qua một tham số lớn  O

 với 0 thì hệ được gọi là phi tuyến mạnh.

Để hình dung, ta xét một phương trình Duffing chịu kích động ngồi ngẫu nhiên ồn trắng  t :   2 3 0 xhx xx  t   (1.2.31)

trong đĩ  là hệ số phi tuyến,  là một tham số ồn. Thơng thường trong hầu hết nghiên cứu, nếu tham số  cĩ giá trị nhỏ cỡ  O  thì hệ (1.2.31) được xem là phi tuyến yếu; cịn nếu  lớn hơn nhiều , chẳng hạn ở mức

 1

O

 

 thì hệ (1.2.31) được xem là phi tuyến mạnh.

Các đặc tính phi tuyến yếu và mạnh ở trên sau này ta cũng áp dụng trong trường hợp hệ nhiều bậc tự do của luận án.