1.3 Phương pháp tuyến tính hĩa tương đương thơng thường
1.3.1 Phương trình chuyển động của hệ phi tuyến
Trước tiên ta xét phương trình chuyển động của một hệ phi tuyến dạng tổng quát chịu kích động ngẫu nhiên Q t như sau:
Mx + Cx + Kx + Φ x, x x = Q , t , (1.3.1) trong đĩ ij , ij , ij n n n n n n m c k M C K lần lượt là các ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng; véc tơ hàm phi tuyến Φ x, x x , phụ thuộc cả vào đáp ứng gia tốc x, vận tốc x và chuyển dịch x;
t Q1 Q2 QnT
Q là quá trình ngẫu nhiên Gaussian ồn trắng trung bình khơng và cĩ ma trận mật độ phổ Sij n n
S trong đĩ Sij là hàm mật độ phổ chéo của hai phần tử Qi và Qj tương ứng.
Trong nhiều lớp bài tốn véc tơ hàm phi tuyến Φ cĩ thể chỉ phụ thuộc vào tọa độ vị trí hoặc vận tốc, hoặc cả hai. Biểu thức của hàm Φ cũng khá đa dạng tùy thuộc vào lĩnh vực nghiên cứu cụ thể. Trong trường số bậc tự do nhỏ (một, hai, hoặc ba bậc tự do) người ta khá quan tâm đến nghiệm giải tích của hệ (1.3.1). Các nghiệm giải tích này cĩ thể tìm được bằng các phương pháp xấp xỉ, chẳng hạn như phương pháp nhiễu (Crandal, 1963), phương pháp trung bình ngẫu nhiên (Spanos, 1992). Khi số bậc tự do khá lớn thì việc tìm nghiệm giải tích là khĩ khả thi, thậm chí nếu tìm được thì nĩ khá cồng kềnh và phức tạp. Do đĩ phương pháp tuyến tính hĩa tương đương là một lựa chọn thích hợp để giải quyết các hệ phi tuyến nhiều bậc tự do (Roberts và Spanos,
1990).
Trường hợp hay gặp nhất của phương trình (1.3.1) là hệ mà các ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng đều là hằng số. Các ma trận này thơng thường là các ma trận đối xứng. Trong trường hợp tổng quát người ta cĩ thể nghiên cứu các hệ mà ở đĩ các ma trận hệ số này là các hàm phụ thuộc
thời gian, thậm chí chúng cịn phụ thuộc vào đáp ứng chuyển dịch hoặc vận tốc của hệ. Những hệ như thế nĩi chung khĩ tìm được nghiệm giải tích chính xác, người ta cĩ thể sử dụng các chiến lược tính tốn mơ phỏng số. Tuy nhiên trong hệ động lực ngẫu nhiên, mơ phỏng số vẫn là một vấn đề khĩ khăn về mặt nội tại, trong đĩ cĩ vấn đề về thời gian mơ phỏng là khá lớn mặc dù cơng nghệ máy tính đã rất phát triển hiện nay. Giải pháp tính tốn giải tích xấp xỉ vẫn là một giải pháp được ưu tiên hơn cả vì nĩ tiết kiệm chi phí mà vẫn diễn đạt gần đúng ứng xử của hệ phi tuyến ban đầu. Vấn đề giải số hệ phi tuyến ngẫu nhiên sẽ được đề cập sau này trong phần tính tốn số cho các hệ phi tuyến cụ thể.