Nghiệm số cho bài tốn dao động ngẫu nhiên của dầm

Trong phần này ta tính tốn nghiệm số cho bài tốn dao động của dầm đã xét trong phần 3.1 của Chương 3. Hai trường hợp được trình bày là trường

hợp đơn mode và trường hợp hai mode dao động.

4.3.1 Nghiệm số trong trường hợp đơn mode

Trong trường hợp đơn mode, ta đánh giá kết quả thu được từ phương pháp tuyến tính hĩa theo tiêu chuẩn đối ngẫu cho đáp ứng biên độ mode

2 1

E w  của dầm (3.3.28) so với kết quả thu được từ hai phương pháp nghiệm chính xác (3.3.26). Nhằm mục đích so sánh, hai kết quả thu được từ phương pháp tuyến tính hĩa thơng thường (3.3.29) và phương pháp năng lượng (3.3.30) cũng được trình bày. Các kết quả số được trình bày trong các Bảng 4.8 và 4.9. Tham số hệ được lấy là 0 1, c0.1, A1.

Bảng 4.8 Đáp ứng bình phương trung bình (đơn vị: m2) của w1của dầm tựa giản đơn trong trường hợp đơn mode với các tham số 0 1,  1,  0.1, A1, S0 1 và các giá trị khác nhau của 1/R (Ký hiệu: CX-Chính xác, TT-Thơng thường, NL-Năng lượng, DN- Đối ngẫu) 1/R 2 1 CX,1 E w  2 1 TT,1 E w  Sai số (%) 2 1 NL,1 E w  Sai số (%) 2 1 DN,1 E w  Sai số (%) 10 0.5251 0.4510 14.1093 0.4934 6.0421 0.5322 1.3564 20 0.2652 0.2272 14.3484 0.2487 6.2385 0.2684 1.2092 50 0.1067 0.0913 14.4932 0.0999 6.3581 0.1079 1.1190 100 0.0535 0.0457 14.5418 0.0501 6.3982 0.0541 1.0886 200 0.0268 0.0229 14.5661 0.0250 6.4183 0.0271 1.0733 300 0.0178 0.0152 14.5742 0.0167 6.4250 0.0180 1.0682 500 0.0107 0.0092 14.5807 0.0100 6.4304 0.0108 1.0641 Bảng 4.8 so sánh sai số tương đối giữa kết quả đáp ứng bình phương trung bình E w 12 của các phương pháp xấp xỉ so với nghiệm chính xác (3.3.26) với các giá trị khác nhau của tham số 1/R. Giá trị của 1/R được lấy từ 10 đến giá trị 500, trong khi đĩ tham số độ cứng nền đàn hồi  và tham số mật độ phổ năng lượng S0 được cố định bằng 1 (1,S0 1).

Hình 4.4 Đồ thị của đáp ứng bình phương trung bình E w 12 (đơn vị: m2) thay đổi theo 1/R trong trường hợp đơn mode với các phương pháp khác nhau

Dáng điệu của E w 12 phụ thuộc 1/R được minh họa trong Hình 4.4. Khi giá trị tần số 0 1 khơng đổi thì đại lượng 1/R đại diện cho tham số của thành phần phi tuyến trong phương trình dao động mode của dầm (3.3.25). Sai số của phương pháp tuyến tính hĩa thơng thường khá lớn, ở mức 14-15%.

Giá trị lớn của 1/R thể hiện mức phi tuyến mạnh của hệ. Trong trường hợp

này sai số của phương pháp đối ngẫu nhỏ hơn khá nhiều so với tuyến tính hĩa thơng thường, chẳng hạn khi 1/R10 thì sai số thu được từ phương pháp đối ngẫu là 1.3564% nhỏ hơn khoảng 10 lần tuyến tính hĩa thơng thường. Trong phạm vi miền 1/R khảo sát, ta cĩ thấy rằng sai số của phương pháp đối ngẫu giảm dần và mở mức dưới 2%, trong khi đĩ sai số của phương pháp năng lượng cao hơn một chút, ở mức 6.0-6.5%. Điều đĩ cho thấy trong trường hợp hệ dao động đơn mode là phi tuyến mạnh, mức độ cải thiện về sai số đáp ứng của biên độ mode khi sử dụng tiêu chuẩn đối ngẫu so với các phương pháp cịn lại đã được minh chứng rõ ràng.

Bảng 4.9 đánh giá sai số của các phương pháp khác nhau khi cĩ sự thay

đổi tham số nền đàn hồi . Giá trị  được nghiên cứu trong miền từ 0 đến 10.0. Khi tăng giá trị tham số nền đàn hồi  thì biên độ dao động mode giảm dần. Dáng điệu nghiệm E w 12 thu được từ các phương pháp khác nhau theo sự thay đổi của  được minh họa trên Hình 4.5. Khi  0, tức khơng hệ

khơng cĩ nền đàn hồi, nghiệm chính xác của đáp ứng bình phương trung bình

2 1

E w  là 0.026778 (đơn vị: m2), cịn khi  10 thì E w 12 bằng 0.026642 (đơn vị: m2).

Bảng 4.9 Đáp ứng bình phương trung bình (đơn vị: m2) của w1trong trường hợp đơn mode với các tham số 0 1,  0.1, A1, S0 1, R1/ 200 và các giá trị khác nhau của tham số nền đàn hồi .

 2 1 CX,1 E w  2 1 TT,1 E w  Sai số (%) 2 1 NL,1 E w  Sai số (%) 2 1 DN,1 E w  Sai số (%) 0 0.026778 0.022874 14.578 0.025056 6.4284 0.027063 1.0657 1 0.026764 0.022866 14.566 0.025046 6.4183 0.027051 1.0733 2 0.026751 0.022857 14.554 0.025036 6.4083 0.027040 1.0809 3 0.026737 0.022849 14.542 0.025026 6.3982 0.027028 1.0886 4 0.026723 0.022841 14.530 0.025016 6.3882 0.027016 1.0962 5 0.026710 0.022832 14.517 0.025006 6.3781 0.027005 1.1038 6 0.026696 0.022824 14.505 0.024996 6.3681 0.026993 1.1114 7 0.026683 0.022816 14.493 0.024986 6.3581 0.026982 1.1190 8 0.026669 0.022807 14.481 0.024976 6.3481 0.026970 1.1266 9 0.026656 0.022799 14.469 0.024966 6.3381 0.026958 1.1341 10 0.026642 0.022791 14.457 0.024957 6.3281 0.026947 1.1417

Hình 4.5 Đáp ứng bình phương trung bình E w 12 (đơn vị: m2) thay đổi theo tham số độ cứng  trong trường hợp đơn mode với các phương pháp khác nhau

Trong Bảng 4.9, các giá trị 0, ,c A S, 0 được lấy tương tự Bảng 4.8,

trong khi ta lấy giá trị 1/R cố định bằng 200 (1/R200). Mức độ ảnh hưởng của nền đàn hồi cũng cĩ thể đánh giá thơng qua nghiệm xấp xỉ thu được từ phương pháp tuyến tính hĩa và phương pháp năng lượng. Ta thấy rằng đối với tất cả các phương pháp xấp xỉ đề cập, tính chất ảnh hưởng của nền đàn hồi đến biên độ mode của đáp ứng vẫn được đảm bảo, tức là nền đàn hồi tăng dẫn đến sự suy giảm về biên độ mode của dao động. Về mặt sai số tương đối thu được, phương pháp tuyến tính hĩa thơng thường cho sai số giảm dần nhưng khơng đáng kể khi giá trị tham số độ cứng tăng, giảm từ 14.578% xuống 14.457%. Sai số của phương pháp năng lượng và phương pháp tuyến tính hĩa đối ngẫu khá ổn định, lần lượt ở mức 6.0-6.5% và 1.0-1.5%. Cĩ thể thấy rằng, về mặt nào đĩ thì sai số vài phần trăm là cĩ thể chấp nhận được đối với một phương pháp xấp xỉ. Qua đây ta thấy rằng phương pháp tiêu chuẩn đối đối ngẫu cĩ thể cho ta một dự báo tốt về đáp ứng bình phương trung bình của biên độ mode trong trường hợp nghiên cứu hệ đơn mode. Phần tiếp theo ta tính tốn đáp ứng trong trường hợp hai mode dao động.

4.3.2 Nghiệm số trong trường hợp hai mode

Bởi vì trong trường hợp nhiều mode dao động, phương trình đĩng kín để tìm hệ số tuyến tính hĩa tương đương cĩ dạng khá phức tạp. Trong tính tốn ở phần này, ta dừng lại ở hai mode dao động đầu tiên. Theo đĩ ta phải giải các hệ:

- Hệ (3.3.33) và (3.3.34) trong phương pháp tuyến tính hĩa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu.

- Hệ (3.3.36) trong phương pháp tuyến tính hĩa theo tiêu chuẩn năng lượng.

Kết quả số cho E w 12 thu được từ phương pháp tuyến tính hĩa đối ngẫu (3.3.33), tuyến tính hĩa thơng thường (3.3.35), tuyến tính hĩa theo tiêu chuẩn năng lượng (3.3.36) và nghiệm chính xác (3.3.38) được cho trong Bảng 4.10.

Bảng 4.10 Đáp ứng bình phương trung bình của w1theo sự thay đổi của tham số 1/R trong trường hợp hai mode (0 1,  1,  0.1, A1, S0 1)

1/R 2 1 CX,2 E w  2 1 TT,2 E w  Sai số (%) 2 1 NL,2 E w  Sai số (%) 2 1 DN,2 E w  Sai số (%) 10 0.44144 0.39227 11.140 0.45103 2.1725 0.45223 2.4426 20 0.22217 0.19715 11.262 0.22716 2.2464 0.22747 2.3837 50 0.089214 0.079104 11.332 0.091263 2.2968 0.091312 2.3523 100 0.044708 0.039593 11.441 0.045698 2.2150 0.045710 2.2428 200 0.022337 0.019806 11.329 0.022866 2.3664 0.022869 2.3804 300 0.014948 0.013207 11.652 0.015247 2.0011 0.015249 2.0103 500 0.009002 0.007925 11.959 0.009150 1.6527 0.009151 1.6583

Trong Bảng 4.10, các tham số được lấy là 0 1, 1,  0.1, A1,

0 1

S  . Ta cĩ thể thấy rằng sai số của đáp ứng bình phương trung bình E w 12

của phương pháp đối ngẫu khá nhỏ chỉ khoảng vài phần trăm và khá tương đồng so với phương pháp năng lượng. Khi tham số phi tuyến 1/R lớn ta thấy sai số của cả hai phương pháp này đều nhỏ hơn phương pháp tuyến tính hĩa thơng thường. Quan sát này là tương tự như trường hợp tính tốn đơn mode. Giá trị của đáp ứng E w 12 thu được trong trường hợp hai mode nhỏ hơn một chút so với trường hợp đơn mode ở tất cả các phương pháp đã tính tốn trong miền 1/R khảo sát từ 10 đến 500. Sự thay đổi này là hệ quả của việc giải phương trình đại số hai ẩn keq,1 và keq,2 thay vì giải hệ một ẩn trong trường hợp đơn mode. Sự thay đổi nhỏ này phản ảnh một thực tế rằng sự đĩng gĩp của mode thứ hai nhỏ hơn đáng kể so với mode thứ nhất.

4.3.3 Đánh giá đáp ứng bình phương trung bình của đáp ứng trong trường hợp nhiều mode hợp nhiều mode

Để minh chứng cho vai trị đĩng gĩp của những mode dao động đầu tiên, trong Bảng 4.11 ta tính tốn giải hệ đại số của hệ số tuyến tính hĩa tương

đương của phương pháp đối ngẫu (3.3.11) trong trường hợp 5 mode dao động, sau đĩ ta tính các tỉ số E w 12/E w 22, E w 12/E w 32,

2 2

1 / 4

Bảng 4.11 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của biên độ mode dao động của mốt thứ

nhất so với mốt thứ hai, thứ ba, thứ tư và thứ năm trong trường hợp năm mode (M 5) sử dụng tiêu chuẩn đối ngẫu với sự thay đổi của 1/R

1/R 10 20 50 100 200 300 500

mode 1/ mode 2 4.0749 4.0372 4.0148 4.0074 4.0037 4.0025 4.0015 mode 1/ mode 3 9.5369 9.2655 9.1055 9.0526 9.0263 9.0175 9.0105 mode 1/ mode 4 17.907 16.939 16.372 16.185 16.092 16.062 16.037 mode 1/ mode 5 29.944 27.419 25.954 25.475 25.237 25.158 25.095

Tỉ số mode giảm dần nhưng khơng đáng kể khi tăng giá trị 1/R. Khi 1/R=10 thì mode dao động thứ nhất gấp khoảng 4 lần mode dao động thứ hai, khoảng 10 lần mode dao động thứ ba và 30 mode dao động thứ năm. Dáng điệu của tỉ số này được minh họa trên Hình 4.6.

Hình 4.6 Tỉ số giữa đáp ứng bình phương trung bình của biên độ mode thứ nhất với

các mode từ hai đến năm theo sự thay đổi của 1/R

Hình 4.6 cho thấy sự thay đổi của tỉ số bình phương trung bình của mode

thứ nhất so với mode thứ ba trở đi là khá lớn, và lớn hơn nhiều so với nút thứ hai. Điều đĩ cho thấy tính tốn với hai mode đầu tiên của dao động cũng cĩ thể cho ta một kết quả xấp xỉ hợp lý nhất định. Nếu lấy một mode dao động, ta cĩ thể thu được một ước lượng thơ cĩ độ chính xác nhất định.