4.4 Đáp ứng dao động của dầm mang khối lượng tập trung
4.4.1 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình phụ thuộc độ mảnh của dầm
Kết quả số của (4.4.5), (4.4.6) và (4.4.7) được cho trong Bảng 4.12. Tham số D/ được lấy là D/0.001. Tỉ số khối lượng lấy là M0/m0 5. Ta xét dầm chiều dài L, cĩ tiết diện hình chữ nhật cĩ bề dày h và bề rộng b, từ đĩ
tính tốn được hệ số 12L h/ 2. Tỉ số L h/ cịn gọi là tỉ số độ mảnh của dầm. Nếu dầm càng mảnh thì giá trị của tham số càng nhỏ. Bởi vì gắn liền với thành phần phi tuyến của phương trình (3.4.4) nên nĩ được coi là một tham số phi tuyến. Điều đĩ cho thấy độ mảnh cho ta về thơng tin của hệ số phi tuyến này.
Bảng 4.12 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của T theo phương pháp tuyến tính hĩa kinh điển và tuyến tính hĩa sử dụng tiêu chuẩn đối ngẫu
L h/ CX TT Sai số (%) DN Sai số (%) 10 0.9860 0.9859 0.0126 0.9898 0.3889 20 0.9492 0.9477 0.1519 0.9616 1.3060 50 0.7936 0.7792 1.8201 0.8237 3.7929 100 0.5842 0.5538 5.2019 0.6114 4.6689 200 0.3701 0.3374 8.8449 0.3847 3.934 500 0.1735 0.1526 12.0107 0.1779 2.5474
Từ Bảng 4.12, ta cĩ thể quan sát ảnh hưởng của tham số L h/ đến đáp ứng của hệ. Khi tham số tăng, tức là tính phi tuyến tăng lên thì đáp ứng bình phương trung bình của hệ giảm. Khi độ mảnh nhỏ, tức là phi tuyến yếu, phương pháp tuyến tính hĩa kinh điển cho kết quả chính xác hơn phương
pháp tiêu chuẩn đối ngẫu, chẳng hạn như khi độ mảnh bằng 10 thì sai số của phương pháp đối ngẫu vào khoảng 0.4% trong khi phương pháp kinh điển là 0.0126%. Khi độ mảnh tăng, thì phương pháp tuyến tính hĩa kinh điển cĩ sai số khá lớn, trong khi phương pháp tiêu chuẩn đối ngẫu cĩ sai số vào khoảng 5%. Sai số này là chấp nhận được trong các tính tốn thực tế (dưới 10%). Khi độ mảnh khá lớn, L h/ 500, hệ sở hữu tính phi tuyến mạnh, và lúc này sai số thu được từ phương pháp tiêu chuẩn đối ngẫu là 2.5474%, cịn phương pháp kinh điển là 12.0107%. Một điều dễ nhận thấy là một mặt phương pháp tiêu chuẩn đối ngẫu cĩ độ chính xác cao (khoảng vài phần trăm), mặt khác kết quả thu được vẫn phản ảnh được tính chất ứng xử của đáp ứng khi cĩ sự thay đổi của tính chất phi tuyến, nghĩa là khi hệ cĩ tính chất phi tuyến tương đối lớn thì đáp ứng của hệ sẽ giảm, khá phù hợp về mặt vật lý. Điều này là dễ cảm nhận đối với các hệ phi tuyến đơn giản như hệ Duffing ở trên. Tuy nhiên khi ta xét hệ nhiều mode thì cĩ thể xảy ra các hiện tượng tương tác mode, và khi thay đổi độ mảnh, các hiệu ứng vật lý thu được sẽ phức tạp hơn.
Hình 4.7 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của ba phương pháp so với đáp ứng
bình phương trung bình của hệ tuyến tính với các giá trị khác nhau của độ mảnh L h/ (tỉ số khối lượng M0/m0 5)
Kết quả của Bảng 4.12 cịn được minh họa trên Hình 4.7. Kết quả sai số từ phương pháp đối ngẫu cĩ giá trị lớn hơn kết quả thu được từ phương pháp tuyến tính hĩa kinh điển khi độ mảnh nhỏ nhưng lại gần hơn so với nghiệm chính xác hơn khi độ mảnh tăng. Tỉ số đáp ứng luơn cĩ giá trị nhỏ hơn 1, điều này phản ánh một thực tế rằng, hầu hết các hệ phi tuyến đều cĩ đáp ứng nhỏ
hơn hệ tuyến tính. Hiện tượng này cho thấy rằng tính chất phi tuyến của hệ cĩ vai trị như các nhân tố cản trở chuyển động của hệ, làm cho hệ dao động với biên độ nhỏ hơn so với hệ tuyến tính.