Phương pháp tuyến tính hĩa tương đương theo tiêu chuẩn năng lượng

hệ đặc biệt và đưa ra tiêu chuẩn năng lượng cho phương pháp tuyến tính hĩa tương đương. Dưới đây ta sẽ trình bày những nét cơ bản nhất của tiêu chuẩn dựa trên năng lượng.

1.4 Phương pháp tuyến tính hĩa tương đương theo tiêu chuẩn năng lượng lượng

1.4.1 Cách tiếp cận theo khái niệm năng lượng

Năng lượng là một khái niệm gắn liền với đặc tính vật lý của hệ khi chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác. Năng lượng của hệ cĩ thể dự trữ trong một thành phần hệ nào đĩ và cĩ thể khai thác phục vụ mục đích nhất định. Trong các hệ cơ học, năng lượng xuất hiện dưới ba dạng quen biết là động năng, thế năng, và năng lượng hao tán. Động năng phụ thuộc vào khối lượng và vận tốc chuyển động của hệ. Một hệ chuyển động với vận tốc lớn sẽ cĩ một động năng lớn tương ứng. Thế năng là cơng thực hiện để đưa một vật từ vị trí cân bằng đến vị trí đang xét. Năng lượng hao tán thường xuất hiện trong các hệ cơ học cĩ cản. Năng lượng hao tán trong thực tế cĩ thể là nhân tố cĩ ích hoặc khơng cĩ ích tùy vào mục đích sử dụng.

Một lớp các hệ động lực ngẫu nhiên phi tuyến đã được khảo sát dựa trên khái niệm năng lượng khi tính tốn đáp ứng của hệ sử dụng phương pháp tuyến tính hĩa tương đương. Điển hình trong những phát triển đĩ là tiêu chuẩn năng lượng được đưa ra bởi Zhang và đồng nghiệp (1990). Ý tưởng của phương pháp năng lượng là thay vì ta sử dụng sai số giữa các đáp ứng của hệ như phương pháp tuyến tính hĩa thơng thường thì ta sử dụng sai số giữa năng lượng của hệ gốc và năng lượng của hệ tuyến tính hĩa. Sau đĩ áp dụng tiêu chuẩn bình phương trung bình (hoặc một tiêu chuẩn thích hợp) cho sai số này. Năng lượng được đề cập ở đây là năng lượng của đáp ứng vị trí. Vì thế ta hạn chế áp dụng tiêu chuẩn này cho một lớp các hệ mà hàm phi tuyến chỉ phụ

thuộc vào đáp ứng vị trí (hàm phi tuyến khơng phụ thuộc vào đáp ứng vận tốc

hay gia tốc) (Zhang và đồng nghiệp, 1990). Tuy nhiên đối với những hệ mà

hàm phi tuyến phụ thuộc vào đáp ứng vận tốc, tiêu chuẩn năng lượng được tiếp cận dựa trên khái niệm hàm hao tán năng lượng (Elishakoff và Colombi,

1993). Một số quan điểm khác về tiêu chuẩn năng lượng cũng được đề xuất

và giải quyết một số bài tốn cụ thể, chẳng hạn như tiêu chuẩn về đẳng thức năng lượng nghiên cứu bởi Elishakoff và Zhang (1992).

1.4.2 Tiêu chuẩn bình phương trung bình cho thế năng hệ

Để đơn giản cho việc trình bày, ta xét hệ một bậc tự do cĩ thế năng V x 

của đáp ứng vị trí x. Tiêu chuẩn bình phương trung bình cho thế năng của hệ phát biểu rằng sai số giữa thế năng của hệ phi tuyến ban đầu và thế năng của hệ tuyến tính hĩa được cực tiểu hĩa theo hệ số độ cứng tương đương theo nghĩa bình phương trung bình

   22 min, e e k E V x k x    (1.4.1)

trong đĩ ke là hệ số tuyến tính hĩa. Chú ý rằng, thế năng V x  trong (1.4.1) là thế năng đàn hồi của lị xo. Nếu lực đàn hồi phi tuyến là hàm bậc ba của đáp ứng thì biểu thức thế năng V x  là một đa thức bậc bốn. Đối với hệ nhiều bậc tự do, ta gọi Ve là thế năng của hệ tuyến tính hĩa, khi đĩ tiêu chuẩn (1.4.1) cĩ dạng tổng quát E V  Ve 2min,     e K q q (1.4.2) trong đĩ q là đáp ứng vị trí, e

K là ma trận độ cứng tương đương của hệ tuyến tính hĩa. Kết quả của hai tiêu chuẩn (1.4.1) và (1.4.2) khi khảo sát một số hệ phi tuyến sở hữu thế năng cĩ thể được tìm thấy trong cơng bố của

Zhang và đồng nghiệp (1990). Một số hệ cĩ chứa các hàm hao tán năng

lượng, Elishakoff và Colombi (1993) đưa ra tiêu chuẩn tuyến tính hĩa dựa

trên ý tưởng của (1.4.1).

1.4.3 Tiêu chuẩn năng lượng dựa trên hàm hao tán năng lượng

Tiêu chuẩn dựa trên hàm hao tán năng lượng áp dụng cho hệ một bậc tự do cĩ dạng sau đây:

    2 2 1 min, 2 s e s e c Es x W x  c x              (1.4.3)

trong đĩ ces là hệ số cản tương đương ứng với hàm trọng s x  của đáp ứng vận tốc. Dạng của hàm trọng s x  thường được chọn từ thực nghiệm thơng qua mơ phỏng Monte-Carlo (Roberts và Spanos, 1990), tùy thuộc vào hệ phi tuyến đã cho. Tổng quát hĩa của (1.4.3) cho hệ nhiều bậc tự do như sau

       2 min, s e E s W W     x x x  Ce (1.4.4) trong đĩ e 

W x là hàm hao tán của hệ tuyến tính hĩa, s

e

C là hệ số tuyến tính hĩa ứng với hàm trọng s x .

Tiêu chuẩn năng lượng được đánh giá là một tiêu chuẩn hiệu quả khi nghiên cứu đáp ứng của các hệ mà hàm phi tuyến phụ thuộc chỉ vào đáp ứng vị trí hoặc vận tốc. Tuy nhiên việc đề xuất tiêu chuẩn năng lượng khơng cĩ nghĩa là nĩ đều cho kết quả mong muốn đối với tất cả các hệ như vậy. Người ta cần nhiều khảo sát nhiều hệ phi tuyến hơn để khẳng định tính khả thi và ưu việt của nĩ (Falsone và Elishakoff, 1994).

Phương pháp tuyến tính hĩa tương đương dựa trên các tiêu chuẩn khác nhau sẽ cho các nghiệm xấp xỉ khác nhau của hệ phi tuyến. Để đánh giá độ chính xác của nghiệm thu được, người ta cần biết nghiệm chính xác của hệ phi tuyến nếu nghiệm chính xác đĩ là tìm được. Trong trường hợp khĩ tìm nghiệm chính xác, người ta đưa ra một giải pháp thay thế là sử dụng các phương pháp mơ phỏng số cho hệ phi tuyến. Việc tìm nghiệm chính xác chỉ được thực hiện thành cơng cho rất ít các trường hợp. Tuy nhiên nĩ khá hữu ích cho việc hiểu sâu hơn về những ứng xử của hệ phi tuyến. Trong trình bày tiếp theo ta nêu một số ngắn gọn cho cách tiếp cận nghiệm chính xác dựa trên phương trình Fokker-Planck tương ứng của hệ phi tuyến.