ngoại tiếp tam giác đều
∆𝐴𝐵𝐶 đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp ⟹ O là trọng tâm ∆𝐴𝐵𝐶.
AO cắt BC tại E ⟹ AE là đường cao đồng thời là trung tuyến ∆𝐴𝐵𝐶. ⟹ 𝑅 = 𝐴𝑂 = 2 3𝐴𝐸 = 2 3. 𝑡√3 2 = 𝑡√3 3 Trường hợp 2 Hình 2.8. Trường hợp đường tròn nội tiếp tam giác đều
∆𝐴𝐵𝐶 đều có O là tâm đường tròn nội tiếp ⟹ O là trọng tâm ∆𝐴𝐵𝐶, 𝑂𝐻 ⊥ 𝐴𝐶 tại H là trung điểm của AC. Xét ∆𝐴𝑂𝐻 vuông tại H: 𝐴𝑂2 = 𝐴𝐻2+ 𝑂𝐻2 𝑂𝐻2 = 𝐴𝑂2− 𝐴𝐻2 𝑂𝐻2 = (𝑡√3 3 ) 2 − (𝑡 2) 2 𝑟 = 𝑂𝐻 =𝑡√3 6 Câu hỏi 2:
Hình 2.9. Trường hợp đường tròn và tam giác cắt nhau tại 6 điểm nhau tại 6 điểm
Phiếu số 3: 1,7 < 𝑟1 < 3,4 𝑡√3 6 < 𝑟1 < 𝑡√3 3 Hình vuông – hình tròn: Câu hỏi 1: Trường hợp 1: Hình 2.10. Trường hợp đường tròn ngoại tiếp hình vuông
Hình vuông ABCD cạnh a, có AC là đường chéo ⟹ 𝐴𝐶 = 𝑎√2
AC là đường kính đường tròn (O, R)
⟹ 𝑅 = 𝐴𝑂 =𝐴𝐶
2 =
𝑎√2 2
Trường hợp 2
Đường tròn (O, 𝑟) nội tiếp hình vuông ABCD.
EF là đường kính đường tròn (O, 𝑟) ⟹ 𝐸𝐹 = 𝐴𝐵 = 𝑎
𝑟 =𝐸𝐹
2 =𝑎
Hình 2.11. Trường hợp đường tròn nội tiếp hình vuông tiếp hình vuông
Câu hỏi 2:
Hình 2.12. Trường hợp đường tròn cắt hình vuông tại 8 điểm tại 8 điểm Phiếu số 3: 2 < 𝑟1 < 2,8 𝑎 2 < 𝑟1 < 𝑎√2 2
Tam giác đều – hình vuông:
Câu hỏi 1:
Hình 2.13. Trường hợp tam giác lớn nhất chứa trong giác lớn nhất chứa trong
hình vuông
∆𝐵𝐸𝐹 đều, có BD là trục đối xứng, H là trung điểm EF
a. Xét ∆𝐵𝐴𝐸 vuông tại A và ∆BCF vuông tại C có: BE = BF (∆𝐵𝐸𝐹 đều) BA = BC (ABCD là hình vuông) ⟹ ∆𝐵𝐴𝐸 = ∆𝐵𝐶𝐹(ch – cgv) ⟹ 𝐴𝐵𝐸̂ = 𝐹𝐵𝐶̂ (cgtu) 𝐴𝐵𝐸̂ +𝐸𝐵𝐹̂ + 𝐹𝐵𝐶̂ = 900 ⟹ 𝐴𝐵𝐸̂ = 𝐹𝐵𝐶̂ = 150 b. Xét ∆BCF vuông tại C: 𝑐𝑜𝑠𝐹𝐵𝐶̂ = 𝐵𝐶 𝐵𝐹=𝑎 𝑡 ⟹ 𝑐𝑜𝑠(150) =𝑎 𝑡 ⟹ 𝑡 = 𝑎 cos(150) Câu hỏi 2:
Hình 2.14. Trường hợp tam giác không chứa trong hình vuông không chứa trong hình vuông
Phiếu số 3: 𝑡 > 4,1
𝑡 > 𝑎
Hình vuông – tam giác đều:
Câu hỏi 1:
Hình 2.15. Trường hợp tam giác đều nhỏ nhất chứa được hình đều nhỏ nhất chứa được hình
vuông a. Xét ∆BCG vuông tại C tan𝐵𝐺𝐶̂ =𝐵𝐶 𝐶𝐺 = 𝑎 𝐶𝐺 ⟹ 𝐶𝐺 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝐵𝐺𝐶̂ = 𝑎 tan(600) = 𝑎√3 3 b. 𝐹𝐺 = 𝐹𝐷 + 𝐷𝐶 + 𝐶𝐺 𝐹𝐺 = 2𝐶𝐺 + 𝐷𝐶 = 2𝑎√3 3 + 𝑎 = 𝑎 ( 2√3 3 + 1) Câu hỏi 2:
Hình 2.16. Trường hợp tam giác đều không chứa được hình vuông không chứa được hình vuông
Phiếu số 3: 𝑡 < 8,6 𝑡 < 𝑎 (2√3
3 + 1)
2.5.3. Phân tích kịch bản
Buổi thứ nhất của kịch bản có mục đích như đã nêu, là cho học sinh làm quen với một số thao tác trên phần mềm Geogebra, biết vẽ đường tròn, đa giác đều, di chuyển và thay đổi kích thước của hình. Việc yêu cầu thực hiện vẽ con gà như trong phiếu là để các em thuần thục hơn với các thao tác đã được hướng dẫn trước đó.
Buổi làm việc thứ hai là trọng tâm của thực nghiệm, trong đó giai đoạn 1 tạo cơ hội cho học sinh tiếp cận và hiểu được ý nghĩa của trò chơi, hiểu được vì sao cần phải
tính toán để có được các số đo phù hợp. Giai đoạn 2 là để học sinh thấy được tính hữu dụng của phần mềm Geogebra trong việc tìm ra vị trí đồng tâm của các hình, đọc được giá trị khoảng chặn và dự đoán được bất đẳng thức.
Trong giai đoạn 1:
- Yêu cầu cắt hình và đặt vào lỗ trong Phiếu số 1 có tác dụng đặt học sinh vào tình huống cắt các hình quen thuộc (vuông, tròn, tam giác đều), và cho biết các hình đó có bỏ lọt vào lỗ khác hình dạng với hình hay không. Ở pha 1 này, học sinh vẫn chưa biết vì sao mình phải cắt các hình như vậy, và việc bỏ lọt hình vào các lỗ có ý nghĩa gì.
- Việc giới thiệu mô hình trò chơi trong pha 2 phần nào đã giải đáp các thắc mắc trên của học sinh. Các nhóm hiểu được vì sao trước đó nhóm mình lại bỏ lọt hình tam giác vào lỗ vuông, bỏ lọt hình tròn vào lỗ tam giác, v…v.
- Ở pha 3, khi đặt câu hỏi cho các nhóm “Vì sao nhóm em đưa ra được các số đo này?”, sẽ có nhóm học sinh nhớ lại các số đo khi cắt lúc nãy và điều chỉnh, chẳng hạn “cạnh tam giác đều lúc nãy là 6cm, bán kính đường tròn là 1,5cm thì đường tròn bỏ lọt vào tam giác đều nên em giữ lại cạnh tam giác đều, tăng bán kính đường tròn lên một chút, cứ như vậy em làm với hình vuông”. Chiến lược này có thể xảy ra ở đa số các nhóm học sinh, nhưng chúng tôi không cung cấp thước cho các nhóm nên việc điều chỉnh số đo chỉ là ước chừng, không có căn cứ kiểm chứng. Khi đặt câu hỏi “Liệu các số đo này có hợp lý không?, Dựa vào đâu để chúng ta biết rằng các số đo trên là hợp lý?”, học sinh phải nghĩ đến việc cần phải có sự tính toán tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng cạnh và bán kính, phải có một công thức mà ta thay số đo vào thấy hợp lý. Chúng tôi mong muốn học sinh hiểu rằng các số đo không phải ngẫu nhiên thoả yêu cầu trò chơi mà phải có sự tính toán tìm được mối liên hệ giữa các cạnh với nhau.
Trong giai đoạn 2:
- Pha 4 đóng vai trò quan trọng nhất vì nó được thiết kế trên phần mềm để học sinh khi thao tác, tìm ra vị trí tới hạn của từng cặp hình.
Môi trường tin học (Geogebra) và môi trường giấy bút có 3 sự khác biệt chính và lợi ích tương ứng như sau:
1. Khả năng điều chỉnh kích thước hình vẽ linh hoạt: giúp học sinh tiết kiệm nhiều thời gian vẽ lại hình nếu phạm sai lầm. Ngoài ra, nó còn giúp học sinh thay đổi kích
thước liên tục để nhận ra các vị trí tương quan giữa các hình (chứa trong, chứa được hoặc ngược lại).
2. Khả năng di chuyển hình vẽ linh hoạt: Trong môi trường giấy bút, để di chuyển hình, học sinh buộc phải cắt rời 2 hình đó ra. Điều này gây mất rất nhiều thời gian. Thêm vào đó, nếu hình đã vẽ không phù hợp (về kích thước hoặc điều kiện khác) thì học sinh sẽ phải vẽ và cắt rời hình lại từ đầu.
3. Khả năng hiển thị các yếu tố cần thiết. Trong trường hợp này là hiển thị tâm của hình tròn, hình tam giác và đường chéo hình vuông.
Kết hợp cả 3 yếu tố này hiển thị tâm tam giác đều và tâm đường tròn đã được hiển thị, học sinh di chuyển để tìm vị trí đặc biệt (tâm trùng nhau). Điều này rất hạn chế trong môi trường giấy bút do khi đặt 2 hình (đã cắt rời) lên nhau, hình nằm trên vô tình che đi hình phía dưới khiến học sinh khó nhận ra sự trùng tâm.
Tiếp theo, khả năng thay đổi kích thước linh hoạt từ vị trí đặc biệt nêu trên, học sinh có thể nhận ra sự tương quan giữa các hình với nhau. Điều này không thể thực hiện trong môi trường giấy bút (hoặc có thể nhưng mất rất nhiều thời gian vẽ và cắt rời các hình). Điều này đã được chứng minh thực tế trong thực nghiệm do có ít nhất 2 nhóm (nhóm 3, nhóm 4 – phân tích hậu nghiệm) đã phạm sai lầm về kích thước khi nghĩ rằng “chỉ cần vẽ đường kính hình tròn bằng với cạnh của tam giác là 2 hình không thể bỏ lọt vào nhau”. Từ đó, học sinh vẽ hình, nhận ra sai lầm, vẽ lại hình khác khi không thể xác định được kích thước chính xác mà mình muốn vẽ. Việc này lặp lại nhiều lần đến khi (vô tình) thành công.
Chúng tôi không yêu cầu học sinh gọi chính xác tên các vị trí tới hạn, học sinh có thể mô tả vị trí đó như thế nào. Chẳng hạn đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình vuông, các đỉnh của tam giác nằm trên đường tròn, v…v. Mục đích là để học sinh nhìn ra được các vị trí tới hạn. Tại các vị trí đó, các hình cần đồng tâm hoặc có cùng trục đối xứng với nhau thì mới có thể tính toán được ở pha tiếp theo. Chúng tôi yêu cầu học sinh dựa vào số đo hiển thị trên phần mềm, ước lượng độ dài của bán kính đường tròn (hoặc cạnh tam giác đều) để các hình không bỏ lọt vào nhau, với mục đích bước đầu hình thành bất đẳng thức cho các nhóm. Mấu chốt ở pha này là học sinh nhận ra vấn đề các hình lọt hay không lọt được biểu thị bằng mệnh đề đại số là các bất đẳng thức chứ không
phải đẳng thức. Nếu học sinh nhận ra và nói lên được điều này thì mục đích của thực nghiệm này của chúng tôi được xem như đã thành công.
- Pha 5 đi đến việc chứng minh mối quan hệ giữa các đại lượng cạnh – bán kính dựa vào hình vẽ chúng tôi đã cung cấp sẵn. Các hình vẽ này có được nhờ vào việc thể chế cuối pha 4. Dựa vào khoảng chặn với giá trị cụ thể ở pha 4, chúng tôi đặt vấn đề cho các nhóm “nếu cạnh tam giác là 𝑡 thì bán kính đường tròn 𝑟 (tính theo 𝑡) sẽ như thế nào để tam giác và hình tròn không bỏ lọt vào nhau?”.
- Pha 6, pha giáo viên sẽ tổng kết, yêu cầu nhóm học sinh trình bày bài làm trên bảng, cả lớp cùng thảo luận và giáo viên chốt lại kết quả cuối cùng.
2.5.4. Phân tích hậu nghiệm
Thực nghiệm này diễn ra tại lớp 11C5 của trường THPT An Mỹ gồm 24 học sinh được chia thành 6 nhóm. Học sinh trường này sử dụng bộ sách Đại số 10 Cơ bản.
Dữ liệu thu được gồm đó:
- Phiếu số 1, phiếu số 2, phiếu số 3, phiếu số 4 và các sản phẩm cắt hình của học sinh.
- Protocole của buổi thực nghiệm.
- Đoạn phim ghi hình một số hoạt động của buổi thực nghiệm, ghi hình thao tác thực hiện của học sinh trên phần mềm Geogebra.
Về buổi làm việc thứ nhất, mọi việc diễn ra như đã dàn dựng. Sau đây là diễn tiến và các kết quả đạt được của buổi thứ hai này. Giai đoạn 1
Pha 1:
Kết quả sau khi cắt, thử bỏ các hình vào các lỗ và hoàn thành phiếu 1 của các nhóm được chúng tôi thống kê như sau:
Bảng 2.2. Thống kê câu trả lời phiếu 1 của các nhóm
Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4 Nhóm 5 Nhóm 6 Hình tròn – lỗ
tròn Có Có Có Có Có Có
Hình tròn – lỗ
vuông Không Có Có Không Không Không
Hình tròn – lỗ
tam giác đều Không Không Có Có Không Không Hình vuông – lỗ
vuông Có Có Có Có Có Có
Hình vuông – lỗ
tròn Có Không Có Không Không Không
Hình vuông – lỗ
tam giác đều Không Không Có Không Có Không Hình tam giác
đều – lỗ tam giác đều
Có Có Có Có Có Có
Hình tam giác
đều – lỗ vuông Không Có Không Có Có Không Hình tam giác
đều – lỗ tròn Không Không Không Không Có Không
Như vậy, chỉ có nhóm 6 cắt được các hình chỉ bỏ vào đúng lỗ có cùng hình dạng. Sau đây là sản phẩm và kích thước hình của một số nhóm:
Cạnh tam giác đều: 3,6cm Cạnh hình vuông: 3cm Bán kính hình tròn: 2cm
Hình 2.18. Pha 1 – sản phẩm của nhóm 3
Cạnh tam giác đều: 5,8cm Cạnh hình vuông: 6cm Bán kính hình tròn: 2,75cm
Chúng tôi nhận thấy khó khăn của các nhóm ở pha này là không biết cách cắt để lấy ra nguyên vẹn hình mà không cắt lấn sang phần bìa còn lại. Vì vậy, giáo viên đã hướng dẫn các nhóm đặt bìa lên tấm mica, dùng dao rọc giấy rạch theo viền của hình, khi đó sẽ nhận được hình nguyên vẹn.
Các diễn tiến tiếp theo của pha 1 gần như theo đúng với hoạch định từ trước. Các nhóm trình bày kết quả của nhóm mình, giáo viên vấn đáp hình nào đặt lọt vào lỗ nào, số đo của mỗi nhóm là được lấy ngẫu nhiên, không tuân theo yêu cầu nào cả.
Pha 2: Các diễn tiến tiếp theo của pha 2 gần như theo đúng với hoạch định từ trước. Giáo viên giới thiệu về trò chơi “thả khối” cho các em bé 2 tuổi, vừa nói vừa diễn tả hoạt động “thả khối” với các mô hình trò chơi đã chuẩn bị sẵn, cho học sinh thấy được nhu cầu và yêu cầu của trò chơi này, thấy được vì sao cần tính toán sao cho khối bỏ lọt được vào lỗ có cùng hình dạng với đáy. Ngoài ra, giáo viên cũng cho một số học sinh thử trò chơi này.
Với câu hỏi “Các em đã biết vì sao nhóm mình khi nãy cắt hình chưa thoả yêu cầu trò chơi chưa?”, các nhóm đều trả lời với ý là các số đo hình vẽ của nhóm chưa được
tính toán cẩn thận, cũng như chưa biết mục đích vì sao cần phải cắt các hình này nên cho các số đo ngẫu nhiên.
Pha 3:
Với yêu cầu viết các số đo cụ thể để một nhóm học sinh lớp khác có thể thiết kế trò chơi thoả yêu cầu, kết quả chúng tôi nhận được từ các nhóm như sau:
Bảng 2.3. Thống kê số đo cung cấp bởi các nhóm ở phiếu 3
Kích thước Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4 Nhóm 5 Nhóm 6 Cạnh hình vuông 6cm 4cm 5cm 7cm 4,5cm 5cm Cạnh tam giác đều 6cm 5cm 6cm 7,5cm 5cm 6cm Hình tròn Bán kính: 3cm Đường kính: 5cm Đường kính: 5,4cm Đường kính: 7,2cm Đường kính 5cm Đường kính: 5,5cm Yêu cầu viết số đo cụ thể khiến các nhóm học sinh phải xem xét lại các số đo ở pha 1 của mình. Nói cách khác, có thể nói là hầu như các nhóm đều phải điều chỉnh số đo đã có ở pha 1 của nhóm mình để phù hợp với yêu cầu trò chơi.
Với câu hỏi “Vì sao nhóm em đưa ra được các số đo này?”, hầu hết các nhóm đều trả lời với nội dung là điều chỉnh số đo ở pha 1, ví dụ một học sinh nhóm 2 trả lời chúng tôi như sau: “HS07: Hồi nãy thì nhóm em làm được tam giác đều và hình tròn lọt vô hình vuông nên em điều chỉnh hình vuông đi chút xíu.” (Protocole, 161).
Với câu trả lời này, chúng tôi nhận thấy rằng các nhóm nhận ra cần phải tính toán, căn chỉnh số đo sao cho phù hợp chứ không thể ghi ngẫu nhiên một số đo bất kỳ như ở pha 1. Vì vậy, bước đệm cắt hình ở pha 1 phần nào giúp các nhóm nhận ra được cần phải tính toán chính xác mới có thế có được các số đo phù hợp.
Với câu hỏi “Em đã điều chỉnh số đo của nhóm em như thế nào?”, chúng tôi nhận được câu trả lời như sau của nhóm 3:
HS11: Em vẽ theo đúng số đo mà em làm lúc này. Rồi em vẽ chồng 3 hình lên nhau. Hình vuông là 5cm, lấy tâm hình vuông, 1 cạnh hình vuông là 5 cm thì em đặt bán kính là 2,5 rồi đặt đúng tâm tam giác đều em vẽ hình tròn. 3 hình em vẽ em đều đặt cùng tâm xong em vẽ.
(Protocole 163)
Chúng tôi quan sát giấy nháp của các nhóm, đặc biệt chú ý giấy nháp của nhóm 3 như sau:
Hình 2.19. Pha 3 – Giấy nháp của nhóm 3
Chúng tôi nhận thấy rằng đầu tiên nhóm vẽ tam giác đều, rồi vẽ hình tròn và hình vuông có kích thước căn chỉnh dựa vào cạnh tam giác đều sao cho các hình không bỏ lọt vào nhau (hình bên trái).
Ngoài ra, có 1 thành viên của nhóm 3 đã tính thử để các hình không bỏ lọt vào nhau thì kích thước hình phải như thế nào. Chẳng hạn để tam giác không bỏ lọt vào hình tròn ( ↛) thì kích thước hình tròn lớn hơn kích thước tam giác ( > ), v..v (hình bên phải)
Ở nhóm 4, chúng tôi nhận thấy nhóm đã xác định được các hình đồng tâm với nhau (hình vuông – tròn – tam giác đều có cùng tâm), vẽ trước một hình, rồi các hình còn lại