bằng ngôn ngữ đại số, sau đó SGK đưa ra một hoạt động dùng biểu diễn hình học để minh hoạ lại bất đẳng thức đó. Vì vậy chúng tôi đưa ra một ví dụ ở phần 1.3, nhằm dùng biểu diễn hình học để học sinh có thể tham gia vào quá trình khám phá, chứng minh bất đẳng thức.
1.3. Một ví dụ dùng biểu diễn hình học kết hợp môi trường tin học trong dạy học bất đẳng thức Cô-si bất đẳng thức Cô-si
Sau khi phân tích cả 2 SGK cơ bản và nâng cao, chúng tôi nhận thấy rằng: - Tiến trình dạy học định lý về bất đẳng thức Cô-si trong cả 2 sách là theo tiến trình “suy diễn”, học sinh không có quá trình tìm kiếm bất đẳng thức này, chỉ vận dụng bất đẳng thức vào việc giải các bài tập.
- Mặc dù SGK10NC có giới thiệu một chứng minh hình học bất đẳng thức Cô-si mà chúng tôi xem như là một biểu diễn hình học, nhưng biểu diễn này được trình bày sau khi SGK đã giới thiệu và chứng minh bất đẳng thức trong đại số.
Vì vậy, trong phần này, chúng tôi sẽ kết hợp giữa tiến trình dạy học “thực nghiệm – suy luận”, có sự hỗ trợ của phần mềm công nghệ Geogebra thiết kế một diễn tiến các hoạt động trong buổi học dạy về định lý bất đẳng thức Cô-si. Nhằm giúp học sinh tham gia vào quá trình tìm kiếm bất đẳng thức từ một biểu diễn hình học và chứng minh nó bằng đại số. Đây là một ví dụ về dùng CNTT dạy học, CNTT có cơ hội tạo điều kiện cho học sinh phát hiện và chứng minh bất đẳng thức.
Các bước của tiến trình thực nghiệm – suy luận gồm:
Bước 1: nghiên cứu thực nghiệm qua các ví dụ, các đối tượng cụ thể (số, hình, đồ thị,…).
Bước 2: Phỏng đoán (phát hiện một mệnh đề). Bước 3: Bác bỏ hay khẳng định phỏng đoán.
Bước 4: Phát biểu định lí (nếu mệnh đề phỏng đoán được chứng minh là đúng). Bước 5: Củng cố và vận dụng định lí.
(Lê Văn Tiến, 2005)
Chúng tôi lựa chọn tiến trình này là vì trong SGK 10ĐS, tiến trình dạy học định lí về bất đẳng thức theo tuần tự các bước của tiến trình suy diễn, nghĩa là định lí được phát biểu ngay từ đầu, nhiệm vụ của học sinh chỉ là chứng minh định lí (đúng), sau đó vận dụng định lí vào giải các bài tập. Như N. Balacheff (1982) đã phê bình:
Các tình huống dạy học chứng minh đã tước đi ở học sinh trách nhiệm về “cái đúng”. Thông thường các bài toán về chứng minh đều được trình bày dưới dạng
“Chứng minh rằng…” . Nói cách khác, mệnh đề cần chứng minh luôn được khẳng
định là đúng. Vấn đề còn lại đối với học sinh chỉ là tìm ra một chứng minh.
Chúng tôi chọn phần mềm Geogebra để thiết kế vì đây là một trong những phần mềm có nhiều ưu điểm trong việc dạy học môn toán. Không chỉ có giao diện dễ sử dụng, Geogebra còn giúp học sinh mô phỏng lại yêu cầu của bài toán, từ đó đưa ra những dự đoán thông qua việc tương tác với phần mềm – tính động của các đối tượng hình học biểu diễn giúp học sinh có được sự phản hồi trong việc tìm ra hướng giải quyết bài toán. Các tiến trình được thực hiện với giả thiết học sinh đã biết sử dụng Geogebra với các nút công cụ vẽ hình cơ bản.
Chúng tôi sẽ sử dụng lại bài toán chứng minh hình học bất đẳng thức Cô-si được đề cập trong SGK10NC.
1.3.1. Hoạt động 1: Nghiên cứu thực nghiệm
Giáo viên chia lớp thành các nhóm (2 – 3 em) hoặc cá nhân học sinh thực hiện các yêu cầu sau trên máy tính có cài đặt phần mềm Geogebra:
- Khởi động phần mềm Geogebra, chọn ẩn lưới và ẩn hệ trục toạ độ. - Vẽ đường tròn tâm O, có bán kính tuỳ ý.
- Dựng AB là đường kính của đường tròn tâm O.
- Lấy điểm C (khác A và B) trên đường tròn, dựng tam giác ABC có đường cao CH (𝐻 ∈ 𝐴𝐵).
- Dựng OD vuông góc với AB tại O, D thuộc nửa đường tròn đường kính AB chứa điểm C.
Màn hình có thể hiển thị như sau:
Hình 1.1. Minh hoạ hình vẽ trên Geogebra
Dùng công cụ cho phép hiển thị độ dài đoạn OD và HC, so sánh độ dài 2 đoạn thẳng trên.
- Kéo chuột để di chuyển điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB, khi đó kết quả so sánh trên còn đúng không?
- Câu hỏi tương tự với việc kéo chuột để thay đổi bán kính (hoặc đường kính) của đường tròn.
𝐻𝐶 ≤ 𝑂𝐷.
1.3.2. Hoạt động 2: Phỏng đoán
Cho 𝐴𝐻 = 𝑎, 𝐵𝐻 = 𝑏. Hãy tính các đoạn OD và HC theo 𝑎 và 𝑏 rồi so sánh độ
dài các đoạn đó (theo 𝑎 và 𝑏).
- Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa OD và HC cần được so sánh ở hình vẽ trên khi:
Di chuyển điểm C trên đường tròn. Thay đổi bán kính đường tròn. Thay đổi giá trị 𝑎, 𝑏.
- OD có bằng với HC không? Khi nào?
Từ nhận xét trên, yêu cầu học sinh (hoặc nhóm học sinh) nêu lên một phỏng đoán. Phỏng đoán mong đợi:
“Với hai số 𝑎, 𝑏 không âm thì 𝑎+𝑏
2 ≥ √𝑎𝑏, dấu “=” xảy ra khi 𝑎 = 𝑏”.
1.3.3. Hoạt động 3: Khẳng định phỏng đoán
Giáo viên hướng dẫn, vấn đáp học sinh tìm ra cách chứng minh phỏng đoán: - Tính OD và HC theo 𝑎 và 𝑏?
𝑂𝐷 =𝑎 + 𝑏
2 ; 𝐻𝐶 = √𝑎𝑏
- So sánh OD và HC?
Vì 𝑂𝐷 ≥ 𝐻𝐶 (OD là bán kính đường tròn tâm O) nên 𝑎+𝑏
2 ≥ √𝑎𝑏.
1.3.4. Hoạt động 4: Phát biểu định lí
Giáo viên phát biểu định lí về bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.
Bài toán hình học trên là một cách chứng minh bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số dương bằng hình học. OD – bán kính đường tròn, đại diện cho trung bình cộng của hai số dương (𝑎+𝑏
2 ), còn CH – đường cao của tam giác vuông,
đại diện cho trung bình nhân của hai số dương (√𝑎𝑏). Đây có thể gọi là một biểu diễn hình học của bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số dương. Dù cho đường tròn có bán kính là bao nhiêu đi nữa thì bán kính OD vẫn luôn lớn hơn CH (đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giác vuông nội tiếp nửa đường tròn), không thể nhỏ hơn CH. CH lớn nhất khi CH trùng với OD, khi đó tam giác ABC là tam giác vuông cân tại C.
1.3.5. Hoạt động 5: Củng cố, vận dụng định lí
Ví dụ 4 trang 107 SGK10NC: Chứng minh rằng nếu 𝑎, 𝑏, 𝑐 là ba số dương bất kì
thì: 𝑎+𝑏 𝑐 +𝑏+𝑐 𝑎 +𝑐+𝑎 𝑏 ≥ 6 Giải: Ta có 𝑎+𝑏 𝑐 +𝑏+𝑐 𝑎 +𝑐+𝑎 𝑏 =𝑎 𝑐+𝑏 𝑐 +𝑏 𝑎+𝑐 𝑎+𝑐 𝑏+𝑎 𝑏= (𝑎 𝑏+𝑏 𝑎) + (𝑏 𝑐+𝑐 𝑏) + (𝑎 𝑐 +𝑐 𝑎) ≥ 2√𝑎 𝑏.𝑏 𝑎+ 2√𝑏 𝑐.𝑐 𝑏+ 2√𝑐 𝑎.𝑎 𝑐 = 6
(Đoàn Quỳnh, et al., 2010)