Sau khi đã phân tích 2 SGK cơ bản và nâng cao, chúng tôi sẽ thống kê các tổ chức tri thức toán để có thể đưa ra kết luận phạm vi đại số được thể chế ưu tiên chọn trình bày bất đẳng thức. Ngoài ra, các bài tập về bất đẳng thức thuộc các tổ chức tri thức toán này có gợi cho học sinh nhu cầu tìm kiếm bất đẳng thức không, có giúp học sinh thấy được rằng bất đẳng thức có hiện hữu trong thực tiễn không, hay chỉ cung cấp bất đẳng thức và nhiệm vụ còn lại của học sinh là tìm một chứng minh?
Sau khi phân tích các SGK, SBT Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao, chúng tôi nhận thấy rằng có 7 kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm bất đẳng thức.
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝟏: Tìm khẳng định đúng (sai) về bất đẳng thức
Đặc trưng: được cho dưới hình thức câu hỏi trắc nghiệm khác quan, chỉ có 1 đáp án thoả câu hỏi đề bài.
Bài 1 trang 79 SGK10CB: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với
mọi giá trị của 𝑥?
a) 8𝑥 > 4𝑥 b) 4𝑥 > 8𝑥
c) 8𝑥2 > 4𝑥2 d) 8 + 𝑥 > 4 + 𝑥
Giải:
a) Sai với mọi 𝑥 ≤ 0 b) Sai với mọi 𝑥 ≥ 0
c) Sai khi 𝑥 = 0 d) Đúng với mọi giá trị của 𝑥.
(Trần Văn Hạo, et al., 2013)
Kỹ thuật 𝜏1:
- Bước 1: Xét tính đúng (sai) của từng khẳng định (đáp án).
+ Khẳng định là đúng nếu thoả các tính chất hoặc hệ quả của bất đẳng thức.
+ Khẳng định là sai khi chỉ ra được 1 phản ví dụ. - Bước 2: Chọn khẳng định (đáp án) thoả câu hỏi đề bài. Công nghệ 𝜃11: Các tính chất, hệ quả của bất đẳng thức.
Kiểu nhiệm vụ 𝑇2: 𝑇𝐶𝑀 𝐵Đ𝑇: Chứng minh bất đẳng thức 𝑨 > 𝑩 (𝒉𝒂𝒚 𝑨 ≥ 𝑩)
Bài 3 trang 109 SGK10NC: Chứng minh rằng 𝑎2 + 𝑏2+ 𝑐2 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 với
mọi số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 𝑎 = 𝑏 = 𝑐.
Giải:
𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ⟺ 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 − 𝑐𝑎 ≥ 0
⟺ 2𝑎2 + 2𝑏2+ 2𝑐2− 2𝑎𝑏 − 2𝑏𝑐 − 2𝑐𝑎 ≥ 0
⟺ (𝑎 − 𝑏)2+ (𝑏 − 𝑐)2+ (𝑐 − 𝑎)2 ≥ 0
(Đoàn Quỳnh, et al., 2013)
Kỹ thuật 𝜏2𝑎:
- Bước 1: Chuyển vế đưa về dạng 𝐴 − 𝐵 > 0 (hay 𝐴 − 𝐵 ≥ 0, … ).
- Bước 2: Nhóm thành các tổng hoặc tích các bình phương, hoặc bình phương của các tổng (hiệu, tích).
- Bước 3: So sánh các tổng (tích) hoặc các bình phương trên với 0. - Bước 4: Kết luận bất đẳng thức được chứng minh.
- Bước 5: Tìm giá trị của biến để dấu “=” xảy ra (nếu đề hỏi: đẳng thức xảy ra khi nào?)
* Có thể dùng phép biến đổi tương đương ở các bước trên. Công nghệ 𝜃2𝑎: Các tính chất, hệ quả của bất đẳng thức.
Ví dụ 1 trang 105 SGK10NC: Chứng minh rằng nếu 𝑎, 𝑏, 𝑐 là độ dài ba cạnh của
một tam giác thì (𝑏 + 𝑐 − 𝑎)(𝑐 + 𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) ≤ 𝑎𝑏𝑐
Giải:
Ta có các bất đẳng thức hiển nhiên sau:
𝑎2 ≥ 𝑎2− (𝑏 − 𝑐)2 = (𝑎 − 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
𝑏2 ≥ 𝑏2− (𝑐 − 𝑎)2 = (𝑏 − 𝑐 + 𝑎)(𝑏 + 𝑐 − 𝑎)
𝑐2 ≥ 𝑐2− (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑐 − 𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑎 − 𝑏)
Do 𝑎, 𝑏, 𝑐 là độ dài ba cạnh của một tam giác nên tất cả các vế của các bất đẳng thức
trên đều dương. Nhân các vế tương ứng của ba bất đẳng thức trên ta được
𝑎2𝑏2𝑐2 ≥ (𝑏 + 𝑐 − 𝑎)2(𝑐 + 𝑎 − 𝑏)2(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)2
Lấy căn bậc hai của hai vế, ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
(Đoàn Quỳnh, et al., 2010)
Bài 1 trang 109 SGK10NC: Chứng minh rằng, nếu 𝑎 > 𝑏 và 𝑎𝑏 > 0 thì 1
𝑎< 1 𝑏. Giải: Nếu 𝑎 > 𝑏 và 𝑎𝑏 > 0 thì 𝑏 < 𝑎 và 1 𝑎𝑏> 0 nên 1 𝑎 = 1 𝑎𝑏. 𝑏 ≤ 1 𝑎𝑏. 𝑎 =1 𝑏
(Đoàn Quỳnh, et al., 2013)
Kỹ thuật 𝜏2𝑏: Biến đổi hệ quả
- Bước 1: Xuất phát từ giả thiết hoặc bất đẳng thức đúng đã biết (hoặc bất đẳng thức có thể chứng minh dễ dàng).
- Bước 2: Sử dụng các tính chất và hệ quả của bất đẳng thức suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
- Bước 3: Kết luận bất đẳng thức được chứng minh. Công nghệ 𝜃2𝑏: Các tính chất, hệ quả của bất đẳng thức.
Ví dụ 4 trang 107 SGK10NC: Chứng minh rằng nếu 𝑎, 𝑏, 𝑐 là ba số dương bất kì
thì: 𝑎+𝑏 𝑐 +𝑏+𝑐 𝑎 +𝑐+𝑎 𝑏 ≥ 6 Giải: Ta có 𝑎+𝑏 𝑐 +𝑏+𝑐 𝑎 +𝑐+𝑎 𝑏 =𝑎 𝑐+𝑏 𝑐 +𝑏 𝑎+𝑐 𝑎+𝑐 𝑏+𝑎 𝑏= (𝑎 𝑏+𝑏 𝑎) + (𝑏 𝑐+𝑐 𝑏) + (𝑎 𝑐 +𝑐 𝑎) ≥ 2√𝑎 𝑏.𝑏 𝑎+ 2√𝑏 𝑐.𝑐 𝑏+ 2√𝑎𝑐.𝑎 𝑐 = 6
(Đoàn Quỳnh, et al., 2010)
Bài 11 trang 110 SGK10NC: Chứng minh rằng:
a) Nếu 𝑎, 𝑏 là hai số cùng dấu thì 𝑎
𝑏+𝑏
𝑎≥ 2
b) Nếu 𝑎, 𝑏 là hai số trái dấu thì 𝑎
𝑏+𝑏
𝑎≤ −2
Giải:
a) Nếu 𝑎, 𝑏 là hai số cùng dấu thì 𝑎
𝑏 và 𝑏
𝑎 là hai số dương nên 𝑎
𝑏+𝑏
𝑎≥ 2√𝑎
𝑏.𝑏
𝑎= 2
b) Nếu 𝑎, 𝑏 là hai số trái dấu thì −𝑎
𝑏+ (−𝑏
𝑎) ≥ 2 và vì vậy 𝑎
𝑏+𝑏
𝑎≤ −2
(Đoàn Quỳnh, et al., 2013)
- Bước 1: Biến đổi vế có chứa tổng thành các tổng của các biểu thức không âm và nghịch đảo của từng biểu thức.
- Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho từng tổng đó.
- Bước 3: Kết luận bất đẳng thức được chứng minh. Công nghệ 𝜃2𝑐:
- Các tính chất, hệ quả của bất đẳng thức.
- Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với hai số không âm: “Với mọi 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0 ta có: 𝑎+𝑏
2 ≥ √𝑎𝑏. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 𝑎 = 𝑏.” (Đoàn
Quỳnh, et al., 2010).
- Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với ba số không âm: “Với mọi 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0, 𝑐 ≥ 0 ta có 𝑎+𝑏+𝑐
3 ≥ √𝑎𝑏𝑐3 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 𝑎 =
𝑏 = 𝑐.” (Đoàn Quỳnh, et al., 2010).
Bài 10 trang 110 SGK10NC:
a) Chứng minh rằng, nếu 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 0 thì 𝑥
1+𝑥 ≥ 𝑦
1+𝑦
b) Chứng minh rằng đối với hai số tuỳ ý 𝑎, 𝑏 ta có: |𝑎−𝑏|
1+|𝑎−𝑏|≤ |𝑎| 1+|𝑎|+ |𝑏| 1+|𝑏| Giải: a) Với 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 0 ta có: 𝑥 1+𝑥≥ 𝑦 1+𝑦⟺ 𝑥(1 + 𝑦) ≥ 𝑦(1 + 𝑥) ⟺ 𝑥 + 𝑥𝑦 ≥ 𝑦 + 𝑥𝑦 ⟺ 𝑥 ≥ 𝑦 (Đúng) b) Vì |𝑎−𝑏| 1+|𝑎−𝑏|≤ |𝑎|+|𝑏| 1+|𝑎|+|𝑏|= |𝑎| 1+|𝑎|+|𝑏|+ |𝑏| 1+|𝑎|+|𝑏|≤ |𝑎| 1+|𝑎|+ |𝑏| 1+|𝑏|
(Đoàn Quỳnh, et al., 2013)
Bài 4.12 trang 104 SBT10CB: Chứng minh rằng
|𝑥 − 𝑧| ≤ |𝑥 − 𝑦| + |𝑦 − 𝑧|, ∀𝑥, 𝑦 , 𝑧.
Gợi ý giải trong SBT10CB như sau:
(Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài, 2011)
Kỹ thuật 𝜏2𝑑: Biến đổi hệ quả
- Bước 1: Xuất phát từ giả thiết hoặc bất đẳng thức đúng đã biết (hoặc bất đẳng thức có thể chứng minh dễ dàng).
- Bước 2: Sử dụng các tính chất và hệ quả của bất đẳng thức (bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối hoặc bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
- Bước 3: Kết luận bất đẳng thức được chứng minh. Công nghệ 𝜃2𝑑:
- Tính chất của giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối. - Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với hai cặp số thực.
Kiểu nhiệm vụ 𝑇3: 𝑇𝐺𝑇𝐿𝑁: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số, biểu thức
trên tập D.
Kiểu nhiệm vụ đặc biệt 𝑡3𝑎: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑨(𝒙). 𝑩(𝒙) với A(x), B(x) là các đa thức không âm bậc 1, 𝑨(𝒙) + 𝑩(𝒙) = 𝑺
không đổi, x thuộc D.
Bài 12 trang 110 SGK10NC: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)(5 − 𝑥) với −3 ≤ 𝑥 ≤ 5
Giải:
Vì −3 ≤ 𝑥 ≤ 5 nên 𝑥 + 3 và 5 − 𝑥 là hai số không âm có tổng bằng 8 và do đó tích
của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. Do 𝑥 + 3 = 5 − 𝑥 khi và chỉ khi 𝑥 =
1 nên giá trị lớn nhất của 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)(5 − 𝑥) là 𝑓(1) = 16
(Đoàn Quỳnh, et al., 2013)
Kỹ thuật 𝜏3𝑎:
- Bước 1: Viết 𝐴(𝑥)𝐵(𝑥) ≤ (𝑆
- Bước 2: Tính (𝑆
2)2
- Bước 3: Giải phương trình 𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) với 𝑥 ∈ 𝐷.
- Bước 4: Nếu phương trình có nghiệm thì kết luận hàm số đạt GTLN bằng (𝑆
2)2 đạt được tại nghiệm của phương trình.
Công nghệ 𝜃3𝑎: Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với 2 số không âm.
- Định nghĩa GTLN của hàm số: Giả sử hàm số 𝑓 xác định trên tập hợp 𝒟 (𝒟 ∈ ℝ). Nếu tồn tại một điểm 𝑥0 ∈ 𝒟 sao cho 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0) với mọi 𝑥 ∈ 𝒟 thì số 𝑀 = 𝑓(𝑥0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 𝑓 trên 𝒟, kí hiệu là 𝑀 = max
𝑥∈𝒟 𝑓(𝑥). (Đoàn
Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, 2010)
Kiểu nhiệm vụ đặc biệt 𝑡3𝑏: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑨(𝒙). 𝑩(𝒙) với A(x), B(x) là các đa thức không âm bậc 1, 𝑨(𝒙) + 𝑩(𝒙) ≠ 𝑺
(không đổi), x thuộc D.
Bài 15 trang 222 SGK10NC: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
𝑓(𝑥) = (2 − 𝑥)(2𝑥 + 1) trên khoảng (−0,5; 2 )
Giải:
𝑔(𝑥) = (2 − 𝑥)(2𝑥 + 1) = −2𝑥2+ 3𝑥 + 2, đây là hàm số bậc hai, đồ thị của nó
là một parabol có đỉnh tại điểm (3
4;25
8) và hướng bề lõm xuống dưới. Do đó, hàm
số có giá trị lớn nhất bằng 25
8 tại 𝑥 =3
4. Vì 3
4 ∈ (−0,5; 2) nên đó cũng chính là giá
trị lớn nhất của hàm số trên khoảng đã cho.
(Đoàn Quỳnh, et al., 2013)
Kỹ thuật 𝜏3𝑏:
- Bước 1: Thực hiện phép nhân hai đa thức 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥):
𝑓(𝑥) = 𝐴(𝑥). 𝐵(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0)
- Bước 3: Nếu 𝑎 < 0 và 𝑥0 ∈ 𝐷 thì parabol hướng bề lõm xuống dưới, kết luận hàm số có GTLN bằng 𝑦0 tại 𝑥0 ∈ 𝐷 .
Công nghệ 𝜃3𝑏: Tính chất về đồ thị hàm số bậc hai: “Đồ thị của hàm số 𝑦 =
𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm 𝐼 (−𝑏
2𝑎;−∆
4𝑎), có trục đối xứng là đường thẳng 𝑥 = − 𝑏
2𝑎 . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu 𝑎 > 0, xuống dưới nếu 𝑎 < 0.” (Trần Văn Hạo, et al., 2011)
Kiểu nhiệm vụ đặc biệt 𝑡3𝑐: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑨(𝒙). 𝑩(𝒙), f(x) có bậc lớn hơn 2, ∑𝒏𝒊=𝟏𝑨𝒊(𝒙) + 𝑩𝒊(𝒙) = 𝑺 không đổi, 𝒙 ∈
D.
Bài 4.10 trang 104 SBT10CB: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
𝑦 = 4𝑥3− 𝑥4 với 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 Giải: 𝑦 = 4𝑥3− 𝑥4 = 𝑥3(4 − 𝑥) ⟹ 3𝑦 = 𝑥. 𝑥. 𝑥(12 − 3𝑥) ≤ (𝑥+𝑥 2 )2. (𝑥+12−3𝑥 2 )2 ⟹ 𝑦 ≤64 48= 27, ∀𝑥 ∈ [0; 4] 𝑦 = 27 ⟺ { 𝑥 = 𝑥 𝑥 = 12 − 3𝑥 2𝑥 = 12 − 2𝑥 𝑥 ∈ [0; 4] ⟺ 𝑥 = 3
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 27 đạt được khi 𝑥 = 3
(Vũ Tuấn, et al., 2011)
Kỹ thuật 𝜏3𝑐:
- Bước 1: Phân tích đa thức 𝑓(𝑥) thành nhân tử:
𝑓(𝑥) = 𝐴(𝑥). 𝐵(𝑥) = 𝐴1(𝑥). 𝐵1(𝑥) … . 𝐴𝑛(𝑥). 𝐵𝑛(𝑥) (1) với giả thiết ∑𝑛𝑖=1𝐴𝑖(𝑥) + 𝐵𝑖(𝑥)= 𝑆 không đổi
- Bước 2: Viết 𝑃 = 𝐴1(𝑥). 𝐵1(𝑥) … . 𝐴𝑛(𝑥). 𝐵𝑛(𝑥) ≤ (𝑆
𝑛)𝑛 - Bước 3: Tính (𝑆
𝑛)𝑛
- Bước 5: Nếu hệ phương trình có nghiệm thuộc D thì kết luận GTLN của hàm số 𝑓(𝑥) là (𝑆
𝑛)𝑛, đạt được tại các nghiệm của hệ phương trình.
Nếu hệ phương trình vô nghiệm, phân tích (1) theo cách khác và lặp lại quy trình các bước như trên.
Công nghệ 𝜃3𝑐: Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với 3 số không âm.
- Định nghĩa GTLN của hàm số.
Kiểu nhiệm vụ đặc biệt 𝑡3𝑑: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số𝒚 = 𝒇(𝒙) =
√𝑨(𝒙) + √𝑩(𝒙) với A(x), B(x) là các đa thức không âm bậc 1, 𝑨(𝒙) +
𝑩(𝒙) = 𝑺 không đổi, 𝒙 ∈ D.
Bài 4.11 trang 104 SBT10CB: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau trên tập xác định của nó
𝑦 = √𝑥 − 1 + √5 − 𝑥
Giải:
Vế phải có nghĩa khi 1 ≤ 𝑥 ≤ 5
Ta có 𝑦2 = (√𝑥 − 1 + √5 − 𝑥)2 = 4 + 2√(𝑥 − 1)(5 − 𝑥)
⟹ 𝑦2 ≤ 4 + 𝑥 − 1 + 5 − 𝑥 = 8 ⟹ 𝑦 ≤ 2√2 ∀𝑥 ∈ [1; 5]
Hơn nữa, 𝑦 = 2√2 ⟺ 𝑥 − 1 = 5 − 𝑥 ⟺ 𝑥 = 3
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 2√2 khi 𝑥 = 3.
(Vũ Tuấn, et al., 2011)
Kỹ thuật 𝜏3𝑑:
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số (nếu đề chưa cho tập D) - Bước 2: Tính [𝑓(𝑥)]2
[𝑓(𝑥)]2 = 𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) + 2√𝐴(𝑥). 𝐵(𝑥) = 𝑆 + 2√𝐴(𝑥). 𝐵(𝑥)
- Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với hai số 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥) không âm:
2√𝐴(𝑥). 𝐵(𝑥) ≤ 𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) - Bước 4: Viết
[𝑓(𝑥)]2 = 𝑆 + 2√𝐴(𝑥). 𝐵(𝑥) ≤ 𝑆 + 𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) = 2𝑆 ⟹ 𝑓(𝑥) ≤ √2𝑆
- Bước 5: Giải phương trình 𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥)
- Bước 6: Nếu phương trình có nghiệm thuộc D thì kết luận hàm số đạt GTLN bằng √2𝑆 tại nghiệm của phương trình.
Công nghệ 𝜃3𝑑:
- Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với 2 số không âm. - Định nghĩa GTLN của hàm số.
Kiểu nhiệm vụ 𝑇4: 𝑇𝐺𝑇𝑁𝑁: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số, biểu thức
trên tập D.
Kiểu nhiệm vụ đặc biệt 𝑡4𝑎: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) là tổng
của các phân thức. Đặc trưng 1: Dạng 𝒚 = 𝒂
𝑨(𝒙)+ 𝒃
𝑩(𝒙) với x ∈ 𝑫 (𝑨(𝒙), 𝑩(𝒙) là các đa thức không âm trên D)
Bài 4.9 trang 104 SBT10CB: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
𝑦 =4 𝑥+ 9 1−𝑥 với 0 < 𝑥 < 1 Giải: 𝑦 =4(𝑥+1−𝑥) 𝑥 +9(𝑥+1−𝑥) 1−𝑥 = 4 + 9 +4(1−𝑥) 𝑥 + 9𝑥 1−𝑥≥ 13 + 2. √4.1−𝑥 𝑥 . 9. 𝑥 1−𝑥 = 25⟹ 𝑦 ≥ 25, ∀𝑥 ∈ (0; 1)
Đẳng thức 𝑦 = 25 xảy ra khi và chỉ khi {
4(1−𝑥) 𝑥 = 9𝑥 1−𝑥= 5 𝑥 ∈ (0; 1) hay 𝑥 = 2 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đạt tại 𝑥 =2
5
(Vũ Tuấn, et al., 2011)
- Bước 1: Biến đổi: 𝑦 = 𝑎
𝐴(𝑥)+ 𝑏
𝐵(𝑥) =𝑎𝐵(𝑥)
𝐴(𝑥) +𝑏𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥) + 𝑐 (𝑐 không đổi)
- Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với hai số 𝑎𝐵(𝑥) 𝐴(𝑥) ,𝑏𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) không âm: 𝑎𝐵(𝑥) 𝐴(𝑥) + 𝑏𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) ≥ 2√ 𝑎𝐵(𝑥) 𝐴(𝑥) . 𝑏𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) = 2√𝑎𝑏 - Bước 3: Viết: 𝑦 = 𝑎𝐵(𝑥) 𝐴(𝑥) + 𝑏𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) + 𝑐 ≥ 2√𝑎𝑏 + 𝑐
- Bước 4: Giải hệ phương trình {
𝑎𝐵(𝑥)
𝐴(𝑥) =𝑏𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥) = √𝑎𝑏
𝑥 ∈ 𝐷
- Bước 5: Nếu hệ phương trình có nghiệm thuộc D thì kết luận hàm số đạt GTNN bằng 2√𝑎𝑏 + 𝑐 tại nghiệm của hệ phương trình.
Công nghệ 𝜃4𝑎.1:
- Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với 2 số không âm. - Định nghĩa GTNN của hàm số: “Giả sử hàm số 𝑓 xác định trên tập hợp 𝒟 (𝒟 ∈ ℝ). Nếu tồn tại một điểm 𝑥0 ∈ 𝒟 sao cho 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0) với mọi 𝑥 ∈ 𝒟 thì số 𝑚 = 𝑓(𝑥0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑓 trên 𝒟, kí hiệu là 𝑚 = min
𝑥∈𝒟 𝑓(𝑥).” (Đoàn Quỳnh, et al., 2010).
Đặc trưng 2: Dạng 𝒚 = 𝑨(𝒙) + 𝒂
𝑩(𝒙) với x ∈ 𝑫 (𝑨(𝒙), 𝑩(𝒙) là các đa thức không
âm trên D)
Bài 13 trang 110 SGK10NC: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2
𝑥−1 với 𝑥 > 1 Giải: Vì 𝑥 > 1 nên 𝑥 − 1 và 2 𝑥−1 là hai số dương. Do đó 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 1 + 𝑥 − 1 + 2 𝑥 − 1≥ 1 + 2√(𝑥 − 1). 2 𝑥 − 1= 1 + 2√2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 𝑥 − 1 = 2
𝑥−1 và 𝑥 > 1, tức là khi 𝑥 = 1 + √2
Vậy giá trị nhỏ nhất của 𝑓(𝑥) là 𝑓(1 + √2) = 1 + 2√2
(Đoàn Quỳnh, et al., 2010)
Kỹ thuật 𝜏4𝑎.2:
- Bước 1: Biến đổi: 𝑦 = 𝐴(𝑥) + 𝑎
𝐵(𝑥)= 𝐵(𝑥) + 𝑎
𝐵(𝑥)+ 𝑐 (𝑐 không đổi)
- Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với hai số 𝐵(𝑥), 𝑎 𝐵(𝑥) không âm: 𝐵(𝑥) + 𝑎 𝐵(𝑥)≥ 2√𝐵(𝑥). 𝑎 𝐵(𝑥) = 2√𝑎 - Bước 3: Viết: 𝑦 = 𝐵(𝑥) + 𝑎 𝐵(𝑥)+ 𝑐 ≥ 2√𝑎 + 𝑐
- Bước 4: Giải hệ phương trình {𝐵(𝑥) =
𝑎
𝐵(𝑥)= √𝑎
𝑥 ∈ 𝐷
- Bước 5: Nếu hệ phương trình có nghiệm thuộc D thì kết luận hàm số đạt GTNN bằng 2√𝑎 + 𝑐 tại nghiệm của hệ phương trình.
Công nghệ 𝜃4𝑎.2:
- Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với 2 số không âm. - Định nghĩa GTNN của hàm số.
Kiểu nhiệm vụ đặc biệt 𝑡4𝑏: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝒚 = |𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏| + |𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐| + |𝒂𝟑𝒙 − 𝒃𝟑| trong đó 𝒂𝟏+ 𝒂𝟐 − 𝒂𝟑 = 𝟎
Bài 4.88 trang 116 SBT10NC: Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) 𝑃 = |𝑥 + 1| + |2𝑥 + 5| + |3𝑥 − 18| b) 𝑄 = |𝑥 − 1| + |𝑦 − 2| + |𝑧 − 3| với |𝑥| + |𝑦| + |𝑧| = 2006 Giải: a) Ta có thể viết: