6. Cấu trúc luận văn
2.3.1. Khái niệm tích phân
Hoạt động 1. Gợi động cơ học tập
GV chiếu video clip về giai thoại cân voi to – đo giấy mỏng (Lƣơng Thế Vinh,1441 – 1496), phƣơng pháp vét cạn của ngƣời Hy Lạp cổ.
GV vấn đáp:
+ Sau khi xem video em hiểu thông điệp gửi tới ngƣời xem là gì? + Bài toán tính diện tích, thể tích xuất phát từ nhu cầu nào?
Hoạt động 2. Tạo tình huống gợi vấn đề - HS trải nghiệm đo diện tích bộ mẫu một số hình
GV thực hiện các thao tác:
+ Chia lớp thành 6 nhóm.
+ Phát bộ mẫu học tập gồm 3 tấm bìa hình dạng khác nhau (hình thang, hình tổng hợp gồm: hình chữ nhật, các hình tam giác và hình thang cong) và phiếu học tập cho các nhóm.
+ Yêu cầu đo đạc bằng bất kì phƣơng pháp thực nghiệm nào.
+ Yêu cầu đại diện từng nhóm lên thuyết trình và báo cáo kết quả sau khi hết giờ.
HS thực hiện các thao tác:
+ Bàn bạc, thống nhất rồi nêu các bƣớc tính diện tích các hình đó vào phiếu học tập.
+ Đại diện 6 nhóm lần lƣợt thuyết trình cách đo từng mẫu. + Các nhóm còn lại bình luận, chấm bài cho nhóm vừa báo cáo.
GV đặt vấn đề.
- Vì sao ở 2 mẫu đầu các nhóm có kết quả xấp xỉ giống nhau, còn ở mẫu số 3 (hình thang cong) các nhóm có kết quả xấp xỉ khác nhau?
- Nếu chỉ dùng thực nghiệm có thu đƣợc kết quả chính xác không? Vì sao?
Hoạt động 3. Hình thành khái niệm hình thang cong và các cách ƣớc lƣợng xấp xỉ diện tích hình thang cong bằng hình chữ nhật
HS ghi nhớ khái niệm hình thang cong
Miền hình phẳng đƣợc giới hạn bởi đồ thị hàm số y ( ), trục hoành, 2 đƣờng thẳng đƣợc gọi là hình thang cong (H. 2.1)
Hình 2.1
Ƣớc lƣợng xấp xỉ diện tích hình thang cong bằng các hình chữ nhật Bài toán 1. Sử dụng hình chữ nhật tính xấp xỉ diện tích hình thang cong giới hạn bởi đƣờng cong 𝑦 trục hoành và các đƣờng thẳng
, 1 với 𝑛 1 (H. 2.2). Hình 2.2 Cách 1. Tính diện tích xấp xỉ hình bằng những hình chữ nhật (HCN) “ngoài” (H. 2.3). Hình thang cong
Hình 2.3 Vì 1 , chiều rộng mỗi HCN là 𝑛 1 1 ,1 Ta tính tổng diện tích của 10 HCN nhƣ sau:
Mỗi HCN có chiều rộng là ,1
Chiều cao của HCN số 1: ( ,1) ( ,1) , 1 Chiều cao của HCN số 2: ( ,2) ( ,2) , 4 ...
Chiều cao của HCN số 10: (1) (1) 1 Tổng diện tích 10 HCN ∑ ( , 1 , 4 , 9 ,16 ,25 ,36 ,49 ,64 ,81 1) ,1 3,85 ,1 ,385 Cách 2. Tính diện tích xấp xỉ hình bằng những HCN “trong” (H. 2.4)
Hình 2.4
Tổng diện tích của 10 HCN trong (HCN thứ 1 có chiều cao bằng nên có diện tích bằng ) ∑ ( , 1 , 4 , 9 ,16 ,25 ,36 ,49 ,64 ,81) ,1 2,85 ,1 = 0,285
Chú ý: Để tìm giá trị trung bình tốt hơn ta có thể lấy trung bình cộng của kết quả.
Giá trị trung bình 2 kết quả
,385 ,285
2 ,335
Cách 3. Để tính diện tích mỗi HCN ta xác định điểm giữa mỗi cạnh HCN ấy (H. 2.5).
Hình 2.5
Chẳng hạn chiều cao của HCN số 1 là: ( , 5) ( , 5) , 25 Chiều cao HCN số 2 là: ( ,15) ( ,15) , 225 Diện tích thu đƣợc là ∑ ( , 25 , 225 , 625 ,1225 ,2 25 ,3 25 ,4225 ,5625 ,7225 ,9 25) ,1 3,325 ,1 ,3325 HS thực hiện các thao tác:
+ Ở cả 3 cách, HS phải tính đƣợc chiều rộng, chiều cao của các hình chữ nhật.
+ Tính đƣợc xấp xỉ diện tích hình thang cong bằng tổng diện tích 1 hình
chữ nhật nhỏ.
GVvấn đáp HS
+ Tại sao với 3 cách đo lại cho 3 kết quả khác nhau?
+ Vậy để tính diện tích chính xác diện tích hình thang cong ta không thể thực hiện bằng thực nghiệm đo đạc. Phải làm thế nào để tính chính xác tổng diện tích các hình chữ nhật?
Hoạt động 4. Hình thành khái niệm tích phân
HS tiếp cận khái niệm tích phân thông qua việc tính chính xác diện tích hình thang cong
Hình 2.6
Ta chia đoạn [ 1] thành n phần bằng nhau bởi các điểm , , , sao cho: , , 1 tức là mỗi đoạn [ ] có độ dài là . Điểm đƣợc chọn làm mút trái của các đoạn [ ], tức là = Khi đó chiều cao các HCN là
( ) ( ) , 1, 2, , 𝑛 (H. 2.6)
Kí hiệu là diện tích hình thang cong, là diện tích của HCN thứ ta có ∑ ( )( ) ∑ ( )1 𝑛 *(1 𝑛) ( 2 𝑛) ( 𝑛 1 𝑛 ) + 1 𝑛 = (1 2 (𝑛 1) ) = ( )( ) = ( )( ) Xấp xỉ càng chính xác khi tất cả các hiệu càng nhỏ (tức là các HCN
có chiều rộng cành mỏng).
Vì chia đều đoạn [ 1] nên max( ) 𝑛 . Vậy ∑ ( )( ) ( )( )
GV khẳng định:
+ là diện tích chính xác của mẫu hình thang cong vừa đo đạc bằng thực nghiệm.
GV: Em hiểu giới hạn trên thực chất là gì?
HS: Là tổng chính xác diện tích của những HCN vô cùng nhỏ.
GV: Giới hạn trên ( ) gọi là tích phân từ đế 1 của hàm số 𝑦 . Kí hiệu :∫ 𝑑
Nhƣ vậy ∫ 𝒙 𝒅𝒙 =
GV: Em hiểu tích phân ∫ 𝑑 nghĩa là gì?
HS: Là diện tích hình thang cong bị giới hạn bởi đƣờng cong 𝑦 , trục hoành và các đƣờng thẳng , 1
GV: Chiếu vi deo về nguồn gốc của tích phân. HS thực hiện các thao tác:
+ Tìm đúng chiều cao, chiều rộng của HCN thứ 1,2, , + Tính đúng tổng diện tích của những hình chữ nhật.
+ Nhận ra đƣợc tổng càng chính xác khi các hình chữ nhật càng mỏng, tức là 𝑛 càng lớn (𝑛 ) Từ đó hiểu đƣợc bài toán có kết quả chính xác khi chuyển qua tìm giới hạn.
+ Hiểu đƣợc bản chất tích phân.
Hoạt động 5. Hình thành định nghiã tích phân
ĐỊNH NGHĨA
nguyên hàm của ( ) trên đoạn [ ].
Hiệu số ( ) ( ) đƣợc gọi là tích phân từ đến (hay tích phân xác định trên đoạn [ ]) của hàm số ( ), kí hiệu là:
∫ ( ) 𝑑 Kí hiệu ( )| để chỉ hiệu số ( ) ( ).
Vậy
GV thực hiện các thao tác:
+ Nhắc lại ý nghĩa các thành phần trong kí hiệu ∫ ( )𝑑 .
+ Khẳng định: trong định nghĩa xuất hiện khái niệm mới “nguyên hàm”. Vậy nguyên hàm ( ) của hàm ( ) là gì các em sẽ tìm hiểu trong tiết sau.