Trong trường hợp tổng quát, giả thiết rằng có D nguồn tín hiệu s(t) = [s1(t), s2(t), . . . , sD(t)]T tại các hướng tương ứngθ = [θ1, φ1, . . . , θD, φD]T (vớiθd¯và
φd¯tương ứng là góc ngẩng và góc phương vị của nguồnd¯) đến mảng anten gồmM
phần tử. Vector dữ liệu thu thập bởi mảng anten x(t) = [x1(t), x2(t), . . . , xM(t)]T được tính bởi:
trong đóA(θ) = [a(θ1, φ1), . . . ,a(θD, φD)]∈CM×D là ma trận chứa các vector đáp ứng mảng a(θd¯, φd¯) ∈ CM, và n(t) = [n1(t), n2(t), . . . , nM(t)]T ∈ CM là vector tạp âm.
Do luận án chỉ xét trong mặt phẳng góc phương vị nên khi đó, θ = [φ1, . . . , φD]T và A(θ) = [a(φ1), . . . ,a(φD)].
Với môi trường truyền sóng vô tuyến, phân bố của tín hiệu nguồn và tạp âm có thể mô hình như sau:
- Tín hiệu nguồn s(t): các tín hiệu nguồn có thể không tương quan, tương quan một phần hoặc tương quan hoàn toàn; có thể là tín hiệu số hoặc tín hiệu tương tự. Trong trường hợp tổng quát, tín hiệu nguồn s(t) được mô hình toán học bởi vector ngẫu nhiên phân bố Gauss, dừng (phân bố của quá trình ngẫu nhiên không phụ thuộc vào thời gian), trung bìnhµs =E{s}=0, hiệp phương sai Cs = E{(s−µs)(sH −µHs )} = Rs, với Rs = E{ssH} là ma trận tương quan của các tín hiệu nguồn. Tùy thuộc vào môi trường vô tuyến (số thành phần đa đường), hạng của ma trận Rs có thể thay đổi. - Tạp âm n(t): tạp âm vật lý trong các mô hình kênh vô tuyến cũng thường
được mô hình bởi vector ngẫu nhiên phân bố Gauss, dừng, trung bình
µn =0, hiệp phương sai Cn =Rn=σ2nI [55].
Thực chất, các biến ngẫu nhiên Gauss trung bình bằng 0 rất phổ biến và quan trọng do [55]:
- Chúng được coi là xấp xỉ tổng của các biến ngẫu nhiên trung bình bằng 0 độc lập (định lý giới hạn trung tâm).
- Chúng được coi như mô hình tạp âm phổ biến.
- Dễ phân tích tính toán chỉ với một số thành phần đơn giản.
Trong quá trình mô phỏng, đối với trường hợp tổng quát (áp dụng với mọi kỹ thuật điều chế), vector ngẫu nhiên s(t) và n(t) được biểu diễn dưới dạng các biến ngẫu nhiên phức. Các biến ngẫu nhiên phức này có phân bố Gauss đối xứng
đó phần thực và phần ảo sẽ có phương sai bằng một nửa phương sai của biến ngẫu nhiên phức [55].
Trong mô hình dữ liệu được biểu diễn bởi phương trình (1.1), tại mỗi phần tử anten, tạp âm nm(t) được giả thiết có phân bố Gauss đối xứng vòng, trung bình bằng 0, hiệp phương sai σn2; trong khi đó, tín hiệu nguồn sd¯(t) có thể giả thiết thuộc một trong hai loại sau [49]:
- Xác định: sd¯(t) là chuỗi xác định không biết trước, d¯= 1, . . . , D.
- Ngẫu nhiên: sd¯(t) là chuỗi ngẫu nhiên có phân bố Gauss vòng trung bình bằng không và hiệp phương sai σ2
sd¯.
Với các giả thiết về tạp âm và tín hiệu nguồn như trên, K mẫu thu thập từ mảng anten X = [xT(1), . . . ,xT(K)]T được coi là có phân bố Gauss đối xứng vòng với kỳ vọng µx và hiệp phương sai Cx tương ứng như sau:
- Mô hình xác định: µx = [[As(1)]T, . . . ,[As(K)]T]T, Cx =σn2I.
- Mô hình ngẫu nhiên: µx =0, Cx =Rx.