7. Cấu trúc khóa luận
1.6. Biểu diễn số hữu tỉ dƣới dạng thập phân
1.6.1. Phân số thập phân
Cho các phân số sau
Các phân số trên đều có mẫu số là luỹ thừa của 10 với số mũ tự nhiên. Các phân số dạng này ta thƣờng gặp trong các phép đo đại lƣợng. Chẳng hạn:
+ Chiều dài cạnh bàn là 1m25cm hay 1m m + Gói hàng nặng 560g hay
kg
Để tiện lợi trong tính tốn và sử dụng, ngƣời ta đƣa ra một cách biểu diễn riêng cho các phân số loại này.
Định nghĩa 5.1: Phân số gọi là phân số thập phân, nếu mẫu số b là luỹ thừa của 10 với số mũ tự nhiên
Ví dụ:
Các phân số
là phân số thập phân.
Phân số không phải là phân số thập phân nhƣng =
là phân số thập phân.
Ta gọi là phân số biểu diễn đƣợc dƣới dạng thập phân.
Vậy phân số gọi là biểu diễn đƣợc dƣới dạng thập phân nếu nó bằng một phân số thập phân nào đấy.
Chẳng hạn,
là những phân số biểu diễn đƣợc dƣới dạng thập phân. Các phân số
không biểu diễn đƣợc dƣới dạng thập phân.
1.6.2. Số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn
Trong các mục trƣớc, chúng ta đã biết rằng với mỗi số hữu tỉ ( tối giản) có hai khả năng:
- Nếu mẫu số b không chứa ƣớc nguyên tố khác 2 và 5 thì r là một số thập phân.
- Nếu mẫu số b chứa ƣớc ngun tố khác 2 và 5 thì r khơng phải là số thập phân. Trong trƣờng hợp này, ta có thể xấp xỉ r bởi một số thập phân với sai số nhỏ tuỳ ý.
Trong mục này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng số hữu tỉ nhƣ vậy có thể biểu diễn bởi một số thập phân theo nghĩa rộng.
Trƣớc hết ta bắt đầu bằng bài tốn cụ thể. Tìm các số thập phân là xấp xỉ của số hữu tỉ
Ta có:
- Nếu sai số khơng vƣợt q
thì ta đƣợc số 1,18 - Nếu sai số không vƣợt quá
thì ta đƣợc số 1,181 - Nếu sai số không vƣợt quá thì ta đƣợc số 1,181818
Cứ tiếp tục quá trình trên đây ta đi đến kết quả sau:
- Không bao giờ đƣợc một số thập phân “xấp xỉ” mà lại bằng
Thành thử, cứ tiếp tục mãi ta nhận đƣợc số thập phân có vơ số chữ số ở phần thập phân.
- Các chữ số ở phần thập phân lặp lại một cách tuần hồn, trong đó mỗi chu kì gồm hai chữ số “18”. Trong trƣờng hợp này ta viết:
= 1,181818... hay = 1,(18) và gọi là số thập phân vô hạn tuần hồn đơn với chu kì bằng 18 (số viết trong dấu ngoặc để chỉ chu kì của số thập phân đó).
- Tiếp theo ta xét bài toán tƣơng tự đối với số hữu tỉ
. Ta nhận đƣợc kết quả sau:
- Nếu sai số khơng vƣợt q thì ta đƣợc số 12,954 - Nếu sai số không vƣợt quá thì ta đƣợc số 12,95454 Vậy:
= 12,95454...
Ta nhận đƣợc số thập phân vơ hạn tuần hồn, nhƣng chu kì (là 54) khơng bắt đầu ngay từ chữ số thập phân thứ nhất (bằng 9) mà bắt đầu từ chữ số thập phân thứ hai. Những số nhƣ thế ta gọi là số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp. Trong trƣờng hợp này ta viết:
= 12,9(54)
Một cách tổng quát, giả sử số hữu tỉ nó khơng phải là số thập phân.
Ta thực hiện liên tiếp phép chia a cho b (bằng cách thêm chữ số 0 vào bên phải số dƣ sau mỗi phép chia và lại tiếp tục chia). Ta sẽ thấy rằng sau một số bƣớc (tối đa là b bƣớc) ta sẽ gặp lại số dƣ r nào đó mà ta đã gặp ở bƣớc trƣớc đó. Khi đó q trình sẽ lặp lại. Các thƣơng bộ phận sẽ lặp lại một cách tuần hồn. Số thập phân nhận đƣợc có vơ số chữ số ở phần thập phân, trong đó có một nhóm
chữ số ở phần thập phân lặp đi lặp lại một cách tuần hồn. Nhóm chữ số lặp lại đó đƣợc gọi là chu kì của số thập phân vơ hạn tuần hoàn.
TIỂU KẾT CHƢƠNG 1
Trong chƣơng 1, trƣớc hết chúng tôi đã tổng hợp đƣợc các kiến thức cơ bản liên quan đến cách xây dựng tập số hữu tỉ, các phép toán trên tấp số hữu tỉ, quan hệ thứ tự trên tập số hữu tỉ và biểu diễn số hữu tỉ dƣới dạng thập phân. Tiếp theo, chúng tơi đã phân tích, làm rõ thơng qua các ví dụ minh họa, mở rộng tính chất và đƣa ra một số mơ hình về biểu diễn số hữu tỉ.
CHƢƠNG : KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ HỮU TỈ
2.1. Khai thác dạng tốn về khái niệm và tính chất của số hữu tỉ