7. Cấu trúc khóa luận
3.3.3. Mối liên hệ giữa đọc, viết phân số và hình thành khái niệm phân
Đọc, viết phân số là một khâu tỏng việc hình thành khái niệm ban đầu về phân số. Đọc, viết phân số đồng thời với việc làm xuất hiện phân số.
Để xuất hiện phân số, mẫu sỗ xuất hiện trƣớc, tử số xuất hiện sau dấu gạch ngang có tác dụng phân các mẫu số với tử số. Tuy niên khi đọc hoặc viết phân số, ta đọc hoặc viết tử số trƣớc, tiếp theo đọc “phần” hoặc viết dấu gạch ngang, sau đó đọc hoặc viết mẫu số. Lƣu ý và nắm vững về sự khác biệt này học sinh sẽ nắm đƣợc kiến thức một cách chính xác, mang lại hiệu quả học tập.
3.4. Mối liên hệ với nội dung dạy học các tính chất của phân số
3.4.1. Phân số bằng nhau
Phân số bằng nhau (giáo trình):
Phân số bằng nhau (chƣơng trình lớp 4): =
Hình thành qua chia bằng giấy = từ đó khái quát bằng suy luận quy nạp Nếu khai thác bằng cơ sở toán học = đƣợc chứng minh theo các bƣớc sau:
; So sánh và
Vì 2 phân số trên cùng mẫu nên nếu muốn chúng bằng nhau thì cần điều kiện là 2 tử số bằng nhau, nghĩa là
Nhƣ vậy định nghĩa 2 phân số bằng nhau ở tiểu học có cơ sở toán học giống nhƣ toán cao cấp nhƣng đƣợc trình bày giảm nội dung và gắn liền với tình huống thực tiễn. Việc giảm nội dung thể hiện ở chỗ: từ ta cho định nghĩa các phân số có dạng
=
là phân số xuất phát các phân số sau là . Nhƣ vậy {
Theo cách hình thành này thì ta dễ dàng so sánh và Ta không thể so sánh trực tiếp mà phải hoán đổi
Đó là sự khác nhau giữa các định nghĩa trong toán cao cấp
Bài toán (tr.111): Có 2 băng giấy như nhau. Chia băng giấy thứ nhất thành 4 phần bằng nhua và tô màu 3 phần. Băng giấy thứ hai chia thành 8 phần bằng nhau và tô màu 6 phần
Khái niệm “phân số bằng nhau” đƣợc hình thành thông qua mô hình trực quan.
Giáo viên gợi ý để học sinh phát hiện ra:
- Băng giấy thứ nhất chia làm 4 phần, ta đã tô màu 3 phần, hay ta đã tô màu băng giấy.
- Băng giấy thứ nhất chia làm 8 phần, ta đã tô màu 6 phần, hay ta đã tô màu băng giấy.
- 3 phần băng giấy thứ nhất bằng 6 phần băng giấy thứ 2 hay = Giáo viên nêu: và là hai phân số bằng nhau
Hƣớng dẫn học sinh biết cách biến đổi để thấy đƣợc sự bằng nhau: =
= = =
Trên cơ sở này xây dựng một quy tắc tổng quát gọi là tính chất cơ bản của phân số: (Tr.111)
- Nếu ta nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng mộ số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
- Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
3.4.2. Rút gọn phân số
Bài toán (Tr.1112): Cho phân số
. Tìm phân số bằng phân số đó nhưng có tử số và mẫu số bé hơn.
Giáo viên gợi ý cho học sinh nhận thấy 10 và 15 cùng chia hết cho 5
Yêu cầu học sinh nhắc lại tính chất cơ bản của phân số, từ đó hƣớng dẫn học sinh biến đổi:
Rút ra kết luận: Phân số
đƣợc rút gọn thành thân số hay là phân số rút gọn của
. Từ đó rút ra quy tắc rút gọn phân số
- Xét tử số và mẫu số có cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1 - Chia cả tử số và mẫu số của phân số cho số đó
- Thực hiện như vậy đến khi nhận được phân số tối giản
3.5. So sánh phân số
3.5.1. So sánh hai phân số cùng mẫu số
Bài toán (Tr.119): So sánh hai phân số và
Giáo viên hƣớng dẫn học sinh thao tác, quan sát hình vẽ và nhận xét: < ; >
Từ đó, rút ra kết luận: Trong hai phân số cùng mẫu số - Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn
- Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn
- Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1 - Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1
3.5.2. So sánh hai phân số khác mẫu số
Bài toán (Tr.121): So sánh hau phân số và
- Thao tác trên băng giấy để học sinh thấy đƣợc và rút ra kết quả so sánh: < ; >
- Hƣớng dẫn học sinh tiến hành so sánh thông qua bƣớc tính: Bƣớc 1: Quy đồng mẫu số hai phân số
= =
; = =
Bƣớc 2: So sánh hai phân số cùng cùng mẫu số, kết luận hai phân số cần so sánh.
Vì <
( 8 < 9 ) nên <
Quy tắc:
- Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của hai phân số đó. Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại.
Cơ sở toán học
Vận dụng liên hệ
(1)Phân tích từ cơ sở toán học và biến đổi
(2)So sánh 2 phân số cùng mẫu (3)Chỉ so sánh tử số
Trên cơ sở này khi dạy học ở tiểu học ta làm theo các bƣớc: (1)So sánh 2 phân số cùng mẫu
(2)So sánh 2 phân số khác mẫu bằng quy đồng
Nhƣ vậy cách thức hình thành hoàn toàn thống nhất nhƣ nội dung toán cáo cấp đã khai thác và phân tích nhƣ trên
3.5.3. Đề xuất một số phương pháp so sánh phân số
Khi so sánh phân số, học sinh thƣờng quen với cách quy đồng mẫu số ( SGK giới thiệu). Trong thực tế có nhiều cách so sánh phân số mà ta cần hƣớng dẫn học sinh tìm ra những thủ thuật riêng và áp dụng một cách linh hoạt sáng tạo vào quá trình giải toán.
Sau đây là một số phƣơng pháp so sánh phân số:
(i) Phương pháp so sánh phân số bằng cách quy đồng tử số
Các phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn và ngƣợc lại.
Ví dụ: so sánh phân số và
Ở ví dụ này, quy đồng mẫu số sẽ khó hơn quy đồng tử số Bƣớc 1: Quy đồng tử số các phân số
Ta có: = =
Bƣớc 2 : So sánh hai phân số cùng tử số, kết luận hai phân số cần so sánh
< ( vì 14 > 13) nên
>
(ii) Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh phần bù (với những phân số nhỏ hơn 1)
Trong các phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngƣợc lại.
Ví dụ 1: So sánh phân số và Bƣớc 1: Tìm phần bù
Phần bù của phân số là 1 - = Phần bù của phân số là 1 - =
Bƣớc 2: So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh Vì > nên <
Ví dụ 2: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: ;
Ta nhận xét dãy các phần bù với 1 của mỗi phân số này lần lƣợt là > > > nên < < <
Chú ý: Đặt A = mẫu 1 – tử 1 B = mẫu 2 – tử 2
Cách so sánh phần bù đƣợc dùng khi A = B. Nếu trong trƣờng hợp A ≠ B ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đƣa về hai phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số đó bằng nhau.
(iii) Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh phần thừa (với những phân số lớn hơn 1và hiệu giữa tỉ số và mẫu số bằng nhau)
Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn Ví dụ: So sánh phân số và
Bƣớc 1: Tìm phần thừa
Phần thừa của phân số :
– 1 =
Bƣớc 2: So sánh phần hơn, kết luận hai phân số cần so sánh Vì > nên >
Chú ý: Đặt C = tử 1 – mẫu 1 D = tử 2 – mẫu 2
Cách so sánh phần thừa đƣợc dùng khi A = B. Nếu trong trƣờng hợp A ≠ B ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đƣa về hai phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số đó bằng nhau.
(iv) Phương pháp so sánh phân số với 1
Ví dụ: So sánh phân số và Vì > 1; < 1 nên >
(v) So sánh phân số với phân số trung gian
Ví dụ: So sánh phân số
và
Chọn phân số trung gian:
hoặc Vì < < nên <
(vi) So sánh phân số bằng cách so sánh phần nguyên
Khi các phân số đƣợc viết theo hỗn số có cùng phần nguyên thì phân số nào có phần phân số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn
; ; ;
Khi phân tích các phân số trên thành hỗn số ta thấy ngoài phần nguyên bằng 1 thì phần phân số lần lƣợt là:
; ; ;
Vì > > > nên > > >
3.6. Mối liên hệ với nội dung dạy học các phép toán về phân số
Khi dạy bốn phép toán về phân số, SGK Toán đều sử dụng cách lựa chọn thống nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán. Qua phân tích trên các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút ra cho học sinh quy tắc thực hiện phép tính. Có thể khái quát các bƣớc nhƣ sau:
Bƣớc 1: Nêu tình huống thực tiễn có nhu cầu sử dụng phép tính
Bƣớc 2: Thao tác trên phƣơng diện trực quan để tìm kết quả bằng trực giác
Bƣớc 3: Nhận xét kết quả, rút ra cách làm (trên cơ sở so sánh thành phần các phép tính) và trực quan
Bƣớc 4: Chính xác hóa cách làm, quy tắc.
3.6.1. Phép cộng phân số
3.6.1.1. Phép cộng hai phân số cùng mẫu số
Bài toán (Tr.126): Có một băng giấy, bạn Nam tô màu băng giấy, sau
đó Nam tô màu tiếp băng giấy. Hỏi bạn Anm đã tô màu bao nhiêu phần của
băng giấy.
Mô hình trực quan:
Dựa trên phƣơng tiện trực quan ta thấy Nam đã tô màu băng giấy. Nhƣ vậy + =
Giáo viên gợi ý để HS nhận xét về tử số của phân số chỉ kết quả với tử số của hai phân số ban đầu ( 5 = 3 + 2); nhận xét về mẫu số của phân số chỉ kết quả với hai phân số ban đầu (mẫu số giữ nguyên)
Từ đó, giúp học sinh rút ra quy tắc:
Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.
3.6.1.2. Phép cộng hai phân số khác mẫu số
Bài toán (Tr.127): Có một băng giấy màu, bạn Hà lấy băng giấy, bạn An lấy
băng giấy. Hỏi cả hai bạn đã lấy bao nhiều phần của băng giấy?
Giáo viên hƣớng dẫn học sinh cộng hai phân số khác mẫu số bằng cách đƣa về hai phân số cùng mẫu số
- Quy đồng mẫu số hai phân số: Ta có: = = ; = = - Cộng hai phân số: + = + = - Hƣớng dẫn HS rút ra quy tắc:
Muốn cộng hai phân số khác mẫu số ta quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi cộng hai phân số đó
3.6.2. Phép trừ phân số
3.6.2.1. Trừ hai phân số cùng mẫu số
Bài toán (Tr.129): Từ băng giấy màu, lấy băng giấy để cắt chữ. Hỏi còn lại bao nhiêu phần của băng giấy?
Để tìm số phần băng giấy còn lại ta phải thực hiện phép tính: -
Giáo viên mô tả bài toán bằng hình vẽ, sau đó hƣớng dẫn HS quan sát đếm số phần băng giấy còn lại là:
băng giấy
Giáo viên gợi ý để HS nhận xét về tử số của phân số chỉ kết quả với tử số của hai phân số ban đầu ( 2 = 5 - 3); nhận xét về mẫu số của phân số chỉ kết quả với hai phân số ban đầu (mẫu số giữ nguyên)
Từ đó, giúp học sinh rút ra kết luận:
Muốn trừ hai phân số cùng mẫu số, ta trừ tử số của phân số thứ nhất cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.
3.6.2.2. Trừ hai phân số khác mẫu số
Bài toán (Tr.130): Một cửa hàng có tấn đường, cửa hàng đã bán
tấn đường. Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu tấn đường?
Để tính đƣợc số đƣờng còn lại ta thực hiện phép trừ: -
GV hƣớng dẫn HS quy đồng mẫu số hai phân số để đƣa về phép trừ hai phân số cùng mẫu số.
Ta có: = = ; = =
Trừ hai phân số:
- = - = GV hƣớng dẫn HS rút ra kết luận:
Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi trừ hai phân số đó.
3.6.3. Phép nhân phân số
Bài toán (Tr.132): Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài m và chiều rộng m?
Để tính diện tích hình chữ nhật ta thực hiện phép nhân: GV thực hiện trên hình vẽ trực quan để HS thấy
Hƣớng dẫn HS nhận xét tử số của phân số chỉ kết quả với hai phân số ban đầu (8 = 4 x 2), nhận xét mẫu số của phân số chỉ kết quả với hai phân số ban đầu ( 15 = 5 x 3).
Từ đó giúp HS rút ra kết luận:
Muốn nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.
Trong tập số tự nhiên, học sinh đã đƣợc học các tính chất và quy tắc thực hành bốn phép tính (giao hoán, cộng một tổng với một số, nhân một số với một tổng) một cách hệ thống, cho nên trong tập phân số, SGK dành cho HS tự rút ra những tính chất này thông qua những ví dụ cụ thể. Chẳng hạn:
- Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các phân số trong một tích thì tích của chúng không thay đổi
- Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của phân số thứ hai và phân số thứ ba.
- Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng: Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tổng với phân số thứ ba, rồi cộng các kết quả với nhau.
Các tính chất này giúp HS vận dụng để giải các bài toán tính nhanh, tính nhẩm với phân số.
Chú ý:
- Trƣớc khi tính, có thể rút gọn phân số (nếu cần) - Kết quả cần rút gọn đến phân số tối giản.
3.6.4. Phép chia phân số
Bài toán (Tr.135): Hình chữ nhật ABCD có diện tích
m
2
, chiều rộng là
m. Tính chiều dài hình đó?
- Muốn tính chiêu dài hình chữ nhật, ta lấy diện tích chia cho chiểu rộng:
:
- GV giới thiệu phân số đảo ngƣợc, phân số đảo của của là
Đƣa ra quy tắc: Để thực hiện phép chia hai phân số ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.
- Ta thực hiện phép chia nhƣ sau:
: = x =
- Mở rộng trƣờng hợp chia phân số cho số tự nhiên thông qua bài Luyện tập (Tr.137) và chia một số tự nhiên cho phân số thông qua bài Luyện tập chung (Tr.137).
3.7. Mối liên hệ với nội dung dạy học giải toán phân số
- Các bài toán về cấu tạo phân số (tìm một phân số khi biết mối quan hệ giữa tử số và mẫu số của phân số đó)
- Các bài toán về so sánh phân số (bao gồm rút gọn phân số và sắp xếp phân số theo thứ tự cho trƣớc
- Các bài toán về rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về phân số (tính giá trị biểu thức bằng cách hợp lí nhất, tìm thành phần chƣa biết của phép tính)
- Giải toán có lời văn về phân số (bao gồm các bài toán có lời văn với số liệu