7. Cấu trúc khóa luận
2.5. Khai thác dạng toán về phân số ở Tiểu học
2.5.3. Các bài toán về cấu tạo phân số
Ví dụ 2.5.3.1. Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 156. Sau khi rút
gọn đƣợc phân số . Tìm phân số đó. Giải: Tử số: Mẫu số: Tử số của phân số cần tìm là: 156 : (5 + 7) x 5 = 65 Mẫu số của phân số cần tìm là:
156 – 65 = 91 Vậy phân số đó là: Ví dụ 2.5.3.2. Tìm x,y biết: 156 ? ?
Giải Ta có: Lại có: Ta có: Lại có:
Ta có: Lại có: Ta có: Lại có:
Ví dụ 2.5.3.3: Tìm phân số bằng phân số biết rằng hiệu của mẫu số với tử số của phân số đó là 15?
Giải
Gọi phân số cần tìm là : Ta có: =
Suy ra: , tƣơng đƣơng (1) Và (2) Giải hệ phƣơng trình (1) và (2) ta có ⇔ (3) Thay vào (1) ta đƣợc ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Thay vào (3) ta đƣợc
⇔ ⇔
Vậy phân số cần tìm là:
Ví dụ 2.5.3.4: Tìm phân số bằng phân số Biết rằng tổng của tử và mẫu phân số đó bằng 75
Giải
Gọi phân số cần tìm là: Ta có: =
Suy ra: , tƣơng đƣơng (1) Và (2) Giải hệ phƣơng trình (1) và (2) ta có ⇔ (3) Thay vào (1) ta đƣợc ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
Thay vào (3) ta đƣợc ⇔ ⇔ Vậy phân số cần tìm là: Ví dụ 2.5.3.5. Cho phân số
. Hỏi phải trừ đi mẫu số và tử số của phân số này cho cùng một số bao nhiêu để đƣợc kết quả là bằng phân số
Giải Gọi phân số cần tìm là Ta có: = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy số cần tìm là 9 Phân số là Ví dụ 2.5.3.6. Cho phân số
. Tìm 1 số x sao cho cộng cả tử và mẫu của phân đã cho với x ta đƣợc 1 phân số bằng phân số
Giải Gọi phân số cần tìm là Ta có: = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy x cần tìm là 10 Phân số là
Ví dụ 2.5.3.7: Tìm phân số . Biết rằng hiệu của x và y là 8 và khi rút gọn phân số thì =
Giải
Ta có: =
Suy ra: , tƣơng đƣơng (1) Và (2)
Giải hệ phƣơng trình (1) và (2) ta có
⇔ (3)
Thay vào (1) ta đƣợc ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Thay vào (3) ta đƣợc ⇔ ⇔ Vậy phân số cần tìm là
2.5.4. Các bài tốn có lời văn
2.5.4.1. Khai thác dạng tốn tìm 2 số khi biết tổng/ hiệu và tỉ số của hai số.
Gọi a,b là 2 số phải tìm. Giả sử
Ta sẽ lý giải đƣợc tại sao a ứng với m đoạn thằng còn b ứng với n (i) Nếu là phân số tối giản
(1) (2) do đó {
(ii) Vì UCLN (m,n)=1 do tối giản nên { Viết { thay vào (2):
Vậy {
Đây là cơ sở để khi dùng biểu đồ ta biểu thị a,b nhƣ hình vẽ
a ứng với m đoạn bằng nhau (mỗi đoạn chính là k đơn vị) b ứng với n đoạn bằng nhau
(iii) Nếu chƣa tối giản. Đặt d là UCLN (m,n)
Ta có: , là tối giản Theo trên ta có: { ( ) ( ) Nhƣ vậy { Giải thích : =
Thì phần (m đoạn bằng nhau khi vẽ sơ đồ)
phần (n đoạn bằng nhau khi vẽ sơ đồ)
Trƣớc đây ta chỉ làm mà không lý giải tại sao? m
Một phần ở đây là {
Khi tối giản (ví dụ : là ) Thì d = 1 lúc đó là = k
Thực tế khi làm ta không quan tâm chi tiết việc tối giản hay không tối giản, nghĩa là không quan tâm 1 phần là k hay
TIỂU KẾT CHƢƠNG
Chƣơng 2 đã tổng hợp, khai thác một số dạng toán cơ bản về số hữu tỉ: dạng tốn về khái niệm và tính chất số hữu tỉ, dạng toán về quan hệ thứ tự, biểu diễn số hữu tỉ và các dạng tốn về phân số ở Tiểu học. Ngồi việc trình bày những kiến thức đã biết kèm theo một số phân tích, chƣơng này đƣa ra khái quát về các dạng toán, lời giải và khai thác mở rộng thêm một số dạng toán.
CHƢƠNG 3: MỐI LIÊN HỆ VỚI NỘI DUNG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC
Trong nội dung toán cao cấp, đại số hiện đại, việc định nghĩa dựa vào các kết quả đã biết do đã thực hiện khái quát từ sơ cấp, thừ thực tiễn. Vì vậy, nếu không biết khai thác, vận dụng lựa chọn phù hợp khi dạy học cho HS phổ thơng nói chung và HS Tiểu học nói riêng sẽ mang tính áp đặt.
3.1. Mục tiêu dạy học phân số ở Tiểu học
Dạy học phân số ở Tiểu học nhằm cung cấp cho học sinh mộ loại số mới, biểu diễn đƣợc thƣơng đúng của hai số tự nhiên (với số chia khác 0). Đáp ứng nhu cầu biểu diễn chính xác số đo đại lƣợng trong đời sống thực tiễn. Từ đó, có cơ sở để so sánh, tính tốn giá trị các đại lƣợng trong đời sống.
Cung cấp cho học sinh những tri thức ban đầu về cách nhận biết phân số, biết đọc và viết phân số, những tính chất cơ bản của phân số, biết cách rút gọn phân số và tìm ra phân số tối giản, biết cách quy đồng mẫu số và so sánh hai phân số cùng mẫu số hoặc khác mẫu số.
Hình thành cho học sinh kĩ năng thực hiện 4 phép tính với phân số và giải quyết những bài tập có nhiều ứng dụng thiết thực trong thực té và cuộc sống.
Bƣớc đầu phát triển năng lƣc tƣ duy, khả năng trừu tƣợng hóa, khái qt hóa, kích thích trí tƣởng tƣợng của học sinh.
Gây hứng thú học tập, hình thành năng lực làm việc chủ động, linh hoạt, sáng tạo.
3.2. Nội dung dạy học phân số ở Tiểu học
Nội dung phân số đƣợc chính thức giảng dạy ở lớp 4, nhƣng ngay từ lƣớp 2, 3 hoc sinh đã bƣớc đầu làm quen với phân số.
- Lớp 2 và lớp 3: Học sinh bƣớc đầu làm quen với phân số thơng qua hình ảnh trực quan. Giai đoạn này, học sinh chƣa gọi đích danh phân số mà biểu đạt bằng các phần bằng nhau của một đơn vị. Từng bƣớc khái quát để hình thành sự tƣơng ứng giữa phân số với các phần đơn vị trên hình vẽ.
Lớp Nội dung
2
- Giới thiệu các phần bằng nhau của đơn vị (có dạng , với n là số tự nhiên khác 0 và không vƣợt quá 5)
3
- Giới thiệu các phần bằng nhau của đơn vị (có dạng , với n là số tự nhiên từ 2 đến 10 và n = 100, n = 1000)
- Lớp 4: Ở học kì II học sinh chính thức đƣợc học về phân số. Đến đây phân số đƣợc chính xác hóa bằng ngơn ngữ tốn học: kí hiệu, cách đọc, viết. Cụ thể nhƣ sau:
Lớp Nội dung
4 - Giới thiệu khái niệm ban đầu về phân số: đọc, viết, quy đồng mẫu số các phân số, so sánh các phân số, phân số bằng nhau.
- Phép cộng, phép trừ hai phân số có cùng mẫu số (trƣờng hợp đơn giản, mẫu số của tổng hoặc hiệu không vƣợt quá 100)
- Phép cộng, phép trừ hai phân số khác mẫu
- Giới thiệu về tính chất giao hốn và kết hợp của phép cộng các phân số
- Giới thiệu quy tắc nhân phân số với phân số, nhân phân số với số tự nhiên trƣờng hợp đơn giản
- Giới thiệu tính chất giao hốn và kết hợp của phép nahan các phân số. Giới thiệu nhân một tổng hai phân số với một phân số
- Giới thiệu quy tắc chia phân số cho phân số, chia phân số cho só tự nhiên khác 0.
- Lớp 5: Học sinh thực hành, vận dụng giải quyết một số tình huống trong thực tiễn. Bổ sung hiểu biết cần thiết về số thập phân, hỗn số để làm nền tảng cho việc học số thập phân.
Lớp Nội dung
5 - Ôn tập phân số - Phân số thập phân - Hỗn số
Tóm lại, học sinh đã bắt đầu làm quen với phân số từ lƣớp 2, hifnht hành khái niệm phân số dần qua lớp 3. Dành chủ yếu thời gian ở lớp 4 để chính thức hóa kiến thức, đồng thời day hồn chỉnh cả 4 phép tính, vừa học lý thuyết đi đôi với luyện tập – thực hành. Lớp 5 sẽ tiến hành ôn tập lại và mở ra rộng thêm một số kiến thức liên quan.
Sự sắp xếp hợp lí các nội dung dạy học trong chủ đề phân số qua từng khối lớp giúp học sinh dễ dàng nắm bắt kiến thức. Kiến thức đã học ở lớp dƣới sẽ là tiền đề giúp học sinh học tiếp ở những lớp cao hơn.
3.3. Mối liên hệ với nội dung dạy học khái niệm phân số
3.3.1. Các nội dung cơ bản
Trong nội dung chƣơng trình Tốn tiểu học đƣợc biên soạn theo hƣớng đồng tâm, số học đƣợc coi là mảng kiến thức cốt lõi. Mảng kiến thức số học đƣợc sắp xếp bắt đầu từ số tự nhiên, phân số, số thập phân. Trong đó phân số đƣợc coi là mảng kiến thức mới và khó đối với nhận thức của học sinh tiểu học.
Trong sách giáo khoa Tốn ở chƣơng trình Tiểu học. Phân số đƣợc chính thức đƣa vào giảng dạy một cách đầy đủ ở chƣơng trình tốn lớn 4. Dạy học phân số trong Toán 4 là sự tiếp nối mạch kiến thức về phân số ở lớp 2 và lớp 3, đồng thời làm cơ sở vững chắc để dạy học về phân số thập phân, hỗn số ở lớp 5.
Sau mỗi lần học bảng chia 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 học sinh đƣợc giới thiệu các phân số . Tuy biết cách đọc là “một phần hai”, “một phần
ba”…nhƣng học sinh chƣa đƣợc giới thiệu tên gọi chung của chúng là phân số, cũng nhƣ các thành phần tử số, mẫu số.
Trong khi đó SGK Tốn 3 cho học sinh làm quen với các phân số đơn vị
với n 10.
Các nội dung cơ bản:
Lớp 2: Làm quen yếu tố phân số Lớp 3: Làm quen yếu tố phân số
Lớp 4: Phân số ở lớp 4 gồm hai nhóm bài
Nhóm 1:
- Giới thiệu khái niệm ban đầu về phân số
- Phân số bằng nhau, tính chất cơ bản về phân số - Rút gọn phân số
- So sánh hai phân số cùng mẫu số và so sánh hai phân số khác mẫu số
Nhóm 2:
- Phép cộng và phép trừ phân số (cùng mẫu số và khác mẫu số) - Phép nhân và phép chia phân số
- Tính chất kết hợp của phép cộng, phép nhân
- Tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng Lớp 5:
- Khái niệm phân số thập phân, hỗn số, chuyển đổi hỗn số ra phân số và ngƣợc lại, giải toán ứng dụng.
3.3.2. Các cách tiếp cận khái niệm phân số
Cách 1: Tiếp cận kiểu tập hợp
Dựa vào việc so sánh số luộng của một bộ phận so với tồn thể bộ phận tập hợp đó:
Ví dụ: Số hình tam giác là?
Theo cách này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu các ví dụ khác nhau thƣờng gặp trong thực tế đời sống, nhƣ: một phần ba cái bánh, một phần năm quãng đƣờng, một phần hai quả cam…Giải thích nội dung và minh họa nội dung đó bằng hình học (hình trịn, hình chữ nhật, đoạn thẳng) sau đó viết kí hiệu tốn học tƣơng ứng.
Giáo viên gợi ý cho học sinh hiểu về cụm từ “phần bằng nhau” của đơn vị.
Trong bài “Phép chia” các tác giả SGK Tốn 2 (tr.107) trình bày khái niệm “phần bằng nhau” của một đơn vị. “6 ô chia thành 2 phần bằng nhau, mỗi phần có 3 ơ”. Ở đây ngƣời ta ngầm ẩn giới thiệu về khái niệm “phần bằng nhau”.
Cách 2: Tiếp cận kiểu diện tích
Lớp 3 mang lại cho học sinh cách tiếp cận phân số theo diện tích của một số hình cơ bản nhƣ hình vng, hình chữ nhật, hình trịn. Các hình này đƣợc chia thành các phần bằng nhau, ngƣời ta tác động đến một số phần nào đó làm nảy sinh khái niệm phân số. Chẳng hạn một bài tập đƣợc đƣa ra trong SGK Tốn 3 (tr.25) nhƣ sau:
Bài 4: Đã tơ vào hình nào?
Trong SGK Tốn 4 (tr.106) hình thành khái niệm phân số nhƣ sau:
Chia hình trịn thành 6 phần bằng nhau, tơ màu vào 5 phần.
Khi dạy bài này, giáo viên đƣa ra một hình trịn đã chia thành 6 phần bằng nhau, tơ màu 5 phần. Học sinh quan sát hình trịn trên, nêu hình trịn đƣợc chia làm mấy phần bằng nhau? Tô màu mấy phần? (Hình trịn đƣợc chia thành 6 phần bằng nhau, tơ màu 5 phần của hình trịn).
Sau đó, giáo viên nêu chia hình trịn thành 6 phần bằng nhau, tơ màu 5 phần, ta nói đã tơ màu vào năm phần sáu hình trịn.
Ta viết:
Mẫu số là số tự nhiên viết dƣới dấu gạch ngang. Mẫu số cho biết hình trịn đƣợc chia thành 6 phần bằng nhau. Tử số là số tự nhiên viết trên dấu gạch ngang. Tử số cho biết 5 phần bằng nhau đã đƣợc tô màu
Tiếp theo, giáo viên đƣa ra vài phân số cho học sinh đọc
Nhƣ vậy, khái niệm phân số đƣợc giới thiệu qua việc chia cái toàn thể thành ba phần bằng nhau. Sau đó lấy a phần trong b phần đó. Có đƣợc phân số
.
Cách trình bày này tƣơng ứng với bƣớc đầu tiên để hình thành khái niệm phân số trong lịch sử. Tuy khơng đƣa ra định nghĩa chính thức nhƣng ta có thể phát biểu nhƣ sau: Phân số là cặp số tự nhiên (a, b) với a, b là các số tự nhiên
và b khác 0. Trong đó, b chỉ số phần bằng nhau của một đơn vị đƣợc chia ra và a chỉ số phần bằng nhau đã lấy đi.
Với cách tiếp cận này, học sinh có điều kiện vận dụng những kiến thức đã chiếm lĩnh, tìm ra những kiến thức mới, tìm ra nội dung tiềm ẩn trong bài học Cách tiếp cận này còn rèn luyện cho học sinh, giúp các em dễ dàng áp dụng kiến thức vừa học vào bài tập ứng dụng.
Cách 3: Tiếp cận bằng phéo đo đại lƣợng
Ví dụ: Đo chiều dài cái bàn học trong lớp bằng cách sử dụng các thƣớc mét và đề - xi – mét.
Giáo viên gợi ý cho học sinh, vì cái bàn dài nên trƣớc hết dùng thƣớc mét để do. Chẳng hạn, học sinh đo đƣợc 1m nhƣng còn thừa một khoảng khá lớn không đủ 1m, ta dùng thƣớc đề - xi – mét.
Chẳng hạn, học sinh đo đƣợc 9dm. Với kiến thức đã biết, 9dm =
m.giáo viên hƣớng dẫn học sinh ghi theo cùng một đơn vị đo là mét, ta viết dƣới dạng phân số
1m 9dm = 1m
m hay m Cách 4: Tiếp cận kiểu phép chia
Bằng cách bổ sung thêm bài tốn: “Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em. Hỏi mỗi em đƣợc bao nhiêu phần cái bánh” (Tr.108). Hình thành cho học sinh khái niệm: Phân số còn đƣợc hiểu là thƣơng của phép chia số tự nhiên a cho b với
b khác 0.
Tình huống dẫn cho học sinh cách hiểu đó là việc chia đều 3 cái bánh cho 4 em bằng cách chia mỗi cái bánh thành 4 phần bằng nhau và đƣa cho mỗi bạn một phần của cái bánh đó. Ta thấy sau khi chia, mối bạn đƣợc tất cả ba phần tƣ cái bánh. Do đó ta viết: 3 : 4 =
Sau khi học sinh nhận thấy tử số của phân số là số bị chia, mẫu số của phân số là số chia, từ đó các em rút ra đƣợc nhận xét: “Thương của phép chia
số tự nhiên cho số tự nhiên có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia, mẫu số là số chia”.
Đến đây, ta thấy cách giới thiệu phân số nhƣ trên đƣợc xuất phát từ nhu cầu thực tế và nhu cầu của nội bộ toán học.
- Nhu cầu thực tế: SGK Tốn 4 đƣa ra tình huống xuất phát từ thực tiễn cuộc sống. Đó là kết quả của những phép chia khơng hết. Chứng tỏ trong thực tế có những tình huống làm nảy sinh khái niệm số mới: phân số.
- Nhu cầu nội bộ toán học: Phân số giúp ta thực hiện đƣợc mọi phép chia ( với