7. Cấu trúc khóa luận
3.5. So sánh phân số
3.5.1. So sánh hai phân số cùng mẫu số
Bài toán (Tr.119): So sánh hai phân số và
Giáo viên hƣớng dẫn học sinh thao tác, quan sát hình vẽ và nhận xét: < ; >
Từ đó, rút ra kết luận: Trong hai phân số cùng mẫu số - Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn
- Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn
- Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1 - Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1
3.5.2. So sánh hai phân số khác mẫu số
Bài toán (Tr.121): So sánh hau phân số và
- Thao tác trên băng giấy để học sinh thấy đƣợc và rút ra kết quả so sánh: < ; >
- Hƣớng dẫn học sinh tiến hành so sánh thơng qua bƣớc tính: Bƣớc 1: Quy đồng mẫu số hai phân số
= =
; = =
Bƣớc 2: So sánh hai phân số cùng cùng mẫu số, kết luận hai phân số cần so sánh.
Vì <
( 8 < 9 ) nên <
Quy tắc:
- Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của hai phân số đó. Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại.
Cơ sở toán học
Vận dụng liên hệ
(1) Phân tích từ cơ sở tốn học và biến đổi
(2) So sánh 2 phân số cùng mẫu (3) Chỉ so sánh tử số
Trên cơ sở này khi dạy học ở tiểu học ta làm theo các bƣớc: (1) So sánh 2 phân số cùng mẫu
(2) So sánh 2 phân số khác mẫu bằng quy đồng
Nhƣ vậy cách thức hình thành hồn tồn thống nhất nhƣ nội dung tốn cáo cấp đã khai thác và phân tích nhƣ trên
3.5.3. Đề xuất một số phương pháp so sánh phân số
Khi so sánh phân số, học sinh thƣờng quen với cách quy đồng mẫu số ( SGK giới thiệu). Trong thực tế có nhiều cách so sánh phân số mà ta cần hƣớng dẫn học sinh tìm ra những thủ thuật riêng và áp dụng một cách linh hoạt sáng tạo vào q trình giải tốn.
Sau đây là một số phƣơng pháp so sánh phân số:
(i) Phương pháp so sánh phân số bằng cách quy đồng tử số
Các phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn và ngƣợc lại.
Ví dụ: so sánh phân số và
Ở ví dụ này, quy đồng mẫu số sẽ khó hơn quy đồng tử số Bƣớc 1: Quy đồng tử số các phân số
Ta có: = =
Bƣớc 2 : So sánh hai phân số cùng tử số, kết luận hai phân số cần so sánh
< ( vì 14 > 13) nên
>
(ii) Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh phần bù (với những phân số nhỏ hơn 1)
Trong các phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngƣợc lại.
Ví dụ 1: So sánh phân số và Bƣớc 1: Tìm phần bù
Phần bù của phân số là 1 - = Phần bù của phân số là 1 - =
Bƣớc 2: So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh Vì > nên <
Ví dụ 2: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: ;
Ta nhận xét dãy các phần bù với 1 của mỗi phân số này lần lƣợt là > > > nên < < <
Chú ý: Đặt A = mẫu 1 – tử 1 B = mẫu 2 – tử 2
Cách so sánh phần bù đƣợc dùng khi A = B. Nếu trong trƣờng hợp A ≠ B ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đƣa về hai phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số đó bằng nhau.
(iii) Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh phần thừa (với những phân số lớn hơn 1và hiệu giữa tỉ số và mẫu số bằng nhau)
Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn Ví dụ: So sánh phân số và
Bƣớc 1: Tìm phần thừa
Phần thừa của phân số :
– 1 =
Bƣớc 2: So sánh phần hơn, kết luận hai phân số cần so sánh Vì > nên >
Chú ý: Đặt C = tử 1 – mẫu 1 D = tử 2 – mẫu 2
Cách so sánh phần thừa đƣợc dùng khi A = B. Nếu trong trƣờng hợp A ≠ B ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đƣa về hai phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số đó bằng nhau.
(iv) Phương pháp so sánh phân số với 1
Ví dụ: So sánh phân số và Vì > 1; < 1 nên >
(v) So sánh phân số với phân số trung gian
Ví dụ: So sánh phân số
và
Chọn phân số trung gian:
hoặc Vì < < nên <
(vi) So sánh phân số bằng cách so sánh phần nguyên
Khi các phân số đƣợc viết theo hỗn số có cùng phần ngun thì phân số nào có phần phân số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn
; ; ;
Khi phân tích các phân số trên thành hỗn số ta thấy ngoài phần nguyên bằng 1 thì phần phân số lần lƣợt là:
; ; ;
Vì > > > nên > > >
3.6. Mối liên hệ với nội dung dạy học các phép toán về phân số
Khi dạy bốn phép toán về phân số, SGK Toán đều sử dụng cách lựa chọn thống nhất: từ một bài tốn thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép tốn. Qua phân tích trên các thao tác đối với bài tốn nêu trên, rút ra cho học sinh quy tắc thực hiện phép tính. Có thể khái quát các bƣớc nhƣ sau:
Bƣớc 1: Nêu tình huống thực tiễn có nhu cầu sử dụng phép tính
Bƣớc 2: Thao tác trên phƣơng diện trực quan để tìm kết quả bằng trực giác
Bƣớc 3: Nhận xét kết quả, rút ra cách làm (trên cơ sở so sánh thành phần các phép tính) và trực quan
Bƣớc 4: Chính xác hóa cách làm, quy tắc.
3.6.1. Phép cộng phân số
3.6.1.1. Phép cộng hai phân số cùng mẫu số
Bài tốn (Tr.126): Có một băng giấy, bạn Nam tơ màu băng giấy, sau
đó Nam tơ màu tiếp băng giấy. Hỏi bạn Anm đã tô màu bao nhiêu phần của
băng giấy.
Mơ hình trực quan:
Dựa trên phƣơng tiện trực quan ta thấy Nam đã tô màu băng giấy. Nhƣ vậy + =
Giáo viên gợi ý để HS nhận xét về tử số của phân số chỉ kết quả với tử số của hai phân số ban đầu ( 5 = 3 + 2); nhận xét về mẫu số của phân số chỉ kết quả với hai phân số ban đầu (mẫu số giữ nguyên)
Từ đó, giúp học sinh rút ra quy tắc:
Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.
3.6.1.2. Phép cộng hai phân số khác mẫu số
Bài tốn (Tr.127): Có một băng giấy màu, bạn Hà lấy băng giấy, bạn An lấy
băng giấy. Hỏi cả hai bạn đã lấy bao nhiều phần của băng giấy?
Giáo viên hƣớng dẫn học sinh cộng hai phân số khác mẫu số bằng cách đƣa về hai phân số cùng mẫu số
- Quy đồng mẫu số hai phân số: Ta có: = = ; = = - Cộng hai phân số: + = + = - Hƣớng dẫn HS rút ra quy tắc:
Muốn cộng hai phân số khác mẫu số ta quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi cộng hai phân số đó
3.6.2. Phép trừ phân số
3.6.2.1. Trừ hai phân số cùng mẫu số
Bài toán (Tr.129): Từ băng giấy màu, lấy băng giấy để cắt chữ. Hỏi còn lại bao nhiêu phần của băng giấy?
Để tìm số phần băng giấy cịn lại ta phải thực hiện phép tính: -
Giáo viên mô tả bài tốn bằng hình vẽ, sau đó hƣớng dẫn HS quan sát đếm số phần băng giấy còn lại là:
băng giấy
Giáo viên gợi ý để HS nhận xét về tử số của phân số chỉ kết quả với tử số của hai phân số ban đầu ( 2 = 5 - 3); nhận xét về mẫu số của phân số chỉ kết quả với hai phân số ban đầu (mẫu số giữ nguyên)
Từ đó, giúp học sinh rút ra kết luận:
Muốn trừ hai phân số cùng mẫu số, ta trừ tử số của phân số thứ nhất cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.
3.6.2.2. Trừ hai phân số khác mẫu số
Bài tốn (Tr.130): Một cửa hàng có tấn đường, cửa hàng đã bán
tấn đường. Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu tấn đường?
Để tính đƣợc số đƣờng cịn lại ta thực hiện phép trừ: -
GV hƣớng dẫn HS quy đồng mẫu số hai phân số để đƣa về phép trừ hai phân số cùng mẫu số.
Ta có: = = ; = =
Trừ hai phân số:
- = - = GV hƣớng dẫn HS rút ra kết luận:
Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi trừ hai phân số đó.
3.6.3. Phép nhân phân số
Bài tốn (Tr.132): Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài m và chiều rộng m?
Để tính diện tích hình chữ nhật ta thực hiện phép nhân: GV thực hiện trên hình vẽ trực quan để HS thấy
Hƣớng dẫn HS nhận xét tử số của phân số chỉ kết quả với hai phân số ban đầu (8 = 4 x 2), nhận xét mẫu số của phân số chỉ kết quả với hai phân số ban đầu ( 15 = 5 x 3).
Từ đó giúp HS rút ra kết luận:
Muốn nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.
Trong tập số tự nhiên, học sinh đã đƣợc học các tính chất và quy tắc thực hành bốn phép tính (giao hốn, cộng một tổng với một số, nhân một số với một tổng) một cách hệ thống, cho nên trong tập phân số, SGK dành cho HS tự rút ra những tính chất này thơng qua những ví dụ cụ thể. Chẳng hạn:
- Tính chất giao hốn: Khi đổi chỗ các phân số trong một tích thì tích của chúng
khơng thay đổi
- Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của phân số thứ hai và phân số thứ ba.
- Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng: Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tổng với phân số thứ ba, rồi cộng các kết quả với nhau.
Các tính chất này giúp HS vận dụng để giải các bài tốn tính nhanh, tính nhẩm với phân số.
Chú ý:
- Trƣớc khi tính, có thể rút gọn phân số (nếu cần) - Kết quả cần rút gọn đến phân số tối giản.
3.6.4. Phép chia phân số
Bài tốn (Tr.135): Hình chữ nhật ABCD có diện tích
m
2
, chiều rộng là
m. Tính chiều dài hình đó?
- Muốn tính chiêu dài hình chữ nhật, ta lấy diện tích chia cho chiểu rộng:
:
- GV giới thiệu phân số đảo ngƣợc, phân số đảo của của là
Đƣa ra quy tắc: Để thực hiện phép chia hai phân số ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.
- Ta thực hiện phép chia nhƣ sau:
: = x =
- Mở rộng trƣờng hợp chia phân số cho số tự nhiên thông qua bài Luyện tập (Tr.137) và chia một số tự nhiên cho phân số thông qua bài Luyện tập chung (Tr.137).
3.7. Mối liên hệ với nội dung dạy học giải toán phân số
- Các bài tốn về cấu tạo phân số (tìm một phân số khi biết mối quan hệ giữa tử số và mẫu số của phân số đó)
- Các bài tốn về so sánh phân số (bao gồm rút gọn phân số và sắp xếp phân số theo thứ tự cho trƣớc
- Các bài toán về rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về phân số (tính giá trị biểu thức bằng cách hợp lí nhất, tìm thành phần chƣa biết của phép tính)
- Giải tốn có lời văn về phân số (bao gồm các bài tốn có lời văn với số liệu cho trong đề bài là phân số)
3.7. 1. Các bài toán về cấu tạo phân số
Khi giải các bài tốn có dạng này thƣờng đƣa về dạng tốn có lời văn điển hình (tìm hai số khi biết tổng và tỉ số, hiệu và tỉ số, tổng và hiệu) hoặc dùng phƣơng pháp thử chọn. Ngồi ra, có thể bổ sung thêm một số tính chất:
Tính chất 1: Khi cộng thêm vào cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tie số và mẫu số của phân số đó khơng thay đổi
Tính chất 2: Khi bớt đi ở tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó khơng thay đổi
Tính chất 3: Khi thêm vào (hoặc bớt đi) ở tử số, đồng thời bớt đi (hoặc thêm vào) ở mẫu số của một phân số cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó khơng thay đổi.
Ví dụ 1: Tổng của tử số và mẫu số của một phân số nhỏ hơn 1 bằng 10. Nếu chia cả tử và mẫu cho 2 ta đƣợc phân số tối giản. Tìm phân số đó?
Giải: Ta có bảng phân tích 10 thành tổng của các cặp số sau:
10 0 1 2 3 4 5
Các phân số nhỏ hơn 1 có tử và mẫu bằng 10 là:
; ; ; ;
Bằng phƣơng pháp thử chọn ta nhận đƣợc hai phân số cần tìm là: và
Ví dụ 2: Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 156. Sau khi rút gọn đƣợc phân số . Tìm phân số đó. Giải: Tử số: Mẫu số: Tử số của phân số cần tìm là: 156 : (5 + 7) x 5 = 65
Mẫu số của phân số cần tìm là: 156 – 65 = 91
Vậy phân số đó là:
Ví dụ 3: Khi bớt đi ở tử đồng thời thêm vào ở mẫu số của phân số
cùng một số tự nhiên ta đƣợc một phân số bằng . Tìm số tự nhiên đó?
Giải:
Tổng của tử và mẫu của phân số là: 139 + 61 = 200
Theo đề bài ta có sơ đồ:
156 ?
Tử số mới: Mẫu số mới:
Tử số mới là: 200 : (3 + 5) x 3 = 75 Số cần tìm là: 139 – 75 = 64
3.7.2. Các bài toán về so sánh phân số
Khi giải các bài toán dạng này, ta thƣờng vận dụng quy tắc rút gọn phân số, quy tắc so sánh phân số và một số phƣơng pháp khác đã trình bày ở phần trên.
3.8. Một số vƣớng mắc của học sinh trong quá trình học làm bài liên quan đến phân số đến phân số
3.8.1. Rút gọn phân số
a. Khó khăn
- Do chủ quan, nên khi gặp các yêu cầu rút gọn phân số thì các em chỉ cần rút gọn đƣợc phân số đó là đƣợc, khơng quan tâm xem phân số đó đã đƣợc rút gọn tối giản hay chƣa.
- Chƣa nắm vững bảng nhân, chia, các dấu hiệu chia hết nên khi rút gọn còn gặp nhiều lúng túng.
- Chƣa nắm vững cấu tạo phân số để áp dụng có hiệu quả vào việc làm toán.
b. Biện pháp khắc phục
- Yêu cầu HS học thuộc và ứng dụng tốt bảng nhân chia trong quá trình học tập, kiểm tra thƣờng xuyên có chấn chỉnh kịp thời.
200 ?
- Trong quá trình dạy học cần nhấn mạnh cho các em thấy và nắm đƣợc quy tắc, nội dung cần ghi nhớ về cấu tạo phân số nhát là kiến thức rút gọn phân số
3.8.2. So sánh phân số
a. Khó khăn
- Do HS chủ quan, cứ thấy phân số nào có các chữ số lớn hơn là các em cho rằng phân số đó lớn
hơn
- HS thƣờng quy đồng rồi mới so sánh rất lâu và dẫn đến đƣợc một phân số mới rất lớn, thậm chí cịn quy đồng sai do chƣa nắm đƣợc các trƣờng hợp đặc biệt và phƣơng pháp so sánh áp dụng chƣa hợp lí
- Đối với số tự nhiên (đại diện là số 1) các em máy móc khơng chú ý đến