7. Cấu trúc khóa luận
3.3.1. Các nội dung cơ bản
Trong nội dung chƣơng trình Toán tiểu học đƣợc biên soạn theo hƣớng đồng tâm, số học đƣợc coi là mảng kiến thức cốt lõi. Mảng kiến thức số học đƣợc sắp xếp bắt đầu từ số tự nhiên, phân số, số thập phân. Trong đó phân số đƣợc coi là mảng kiến thức mới và khó đối với nhận thức của học sinh tiểu học.
Trong sách giáo khoa Toán ở chƣơng trình Tiểu học. Phân số đƣợc chính thức đƣa vào giảng dạy một cách đầy đủ ở chƣơng trình toán lớn 4. Dạy học phân số trong Toán 4 là sự tiếp nối mạch kiến thức về phân số ở lớp 2 và lớp 3, đồng thời làm cơ sở vững chắc để dạy học về phân số thập phân, hỗn số ở lớp 5.
Sau mỗi lần học bảng chia 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 học sinh đƣợc giới thiệu các phân số . Tuy biết cách đọc là “một phần hai”, “một phần
ba”…nhƣng học sinh chƣa đƣợc giới thiệu tên gọi chung của chúng là phân số, cũng nhƣ các thành phần tử số, mẫu số.
Trong khi đó SGK Toán 3 cho học sinh làm quen với các phân số đơn vị
với n 10.
Các nội dung cơ bản:
Lớp 2: Làm quen yếu tố phân số Lớp 3: Làm quen yếu tố phân số
Lớp 4: Phân số ở lớp 4 gồm hai nhóm bài
Nhóm 1:
- Giới thiệu khái niệm ban đầu về phân số
- Phân số bằng nhau, tính chất cơ bản về phân số - Rút gọn phân số
- So sánh hai phân số cùng mẫu số và so sánh hai phân số khác mẫu số
Nhóm 2:
- Phép cộng và phép trừ phân số (cùng mẫu số và khác mẫu số) - Phép nhân và phép chia phân số
- Tính chất kết hợp của phép cộng, phép nhân
- Tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng Lớp 5:
- Khái niệm phân số thập phân, hỗn số, chuyển đổi hỗn số ra phân số và ngƣợc lại, giải toán ứng dụng.
3.3.2. Các cách tiếp cận khái niệm phân số
Cách 1: Tiếp cận kiểu tập hợp
Dựa vào việc so sánh số luộng của một bộ phận so với toàn thể bộ phận tập hợp đó:
Ví dụ: Số hình tam giác là?
Theo cách này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu các ví dụ khác nhau thƣờng gặp trong thực tế đời sống, nhƣ: một phần ba cái bánh, một phần năm quãng đƣờng, một phần hai quả cam…Giải thích nội dung và minh họa nội dung đó bằng hình học (hình tròn, hình chữ nhật, đoạn thẳng) sau đó viết kí hiệu toán học tƣơng ứng.
Giáo viên gợi ý cho học sinh hiểu về cụm từ “phần bằng nhau” của đơn vị.
Trong bài “Phép chia” các tác giả SGK Toán 2 (tr.107) trình bày khái niệm “phần bằng nhau” của một đơn vị. “6 ô chia thành 2 phần bằng nhau, mỗi phần có 3 ô”. Ở đây ngƣời ta ngầm ẩn giới thiệu về khái niệm “phần bằng nhau”.
Cách 2: Tiếp cận kiểu diện tích
Lớp 3 mang lại cho học sinh cách tiếp cận phân số theo diện tích của một số hình cơ bản nhƣ hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn. Các hình này đƣợc chia thành các phần bằng nhau, ngƣời ta tác động đến một số phần nào đó làm nảy sinh khái niệm phân số. Chẳng hạn một bài tập đƣợc đƣa ra trong SGK Toán 3 (tr.25) nhƣ sau:
Bài 4: Đã tô vào hình nào?
Trong SGK Toán 4 (tr.106) hình thành khái niệm phân số nhƣ sau:
Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu vào 5 phần.
Khi dạy bài này, giáo viên đƣa ra một hình tròn đã chia thành 6 phần bằng nhau, tô màu 5 phần. Học sinh quan sát hình tròn trên, nêu hình tròn đƣợc chia làm mấy phần bằng nhau? Tô màu mấy phần? (Hình tròn đƣợc chia thành 6 phần bằng nhau, tô màu 5 phần của hình tròn).
Sau đó, giáo viên nêu chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu 5 phần, ta nói đã tô màu vào năm phần sáu hình tròn.
Ta viết:
Mẫu số là số tự nhiên viết dƣới dấu gạch ngang. Mẫu số cho biết hình tròn đƣợc chia thành 6 phần bằng nhau. Tử số là số tự nhiên viết trên dấu gạch ngang. Tử số cho biết 5 phần bằng nhau đã đƣợc tô màu
Tiếp theo, giáo viên đƣa ra vài phân số cho học sinh đọc
Nhƣ vậy, khái niệm phân số đƣợc giới thiệu qua việc chia cái toàn thể thành ba phần bằng nhau. Sau đó lấy a phần trong b phần đó. Có đƣợc phân số
.
Cách trình bày này tƣơng ứng với bƣớc đầu tiên để hình thành khái niệm phân số trong lịch sử. Tuy không đƣa ra định nghĩa chính thức nhƣng ta có thể phát biểu nhƣ sau: Phân số là cặp số tự nhiên (a, b) với a, b là các số tự nhiên
và b khác 0. Trong đó, b chỉ số phần bằng nhau của một đơn vị đƣợc chia ra và a chỉ số phần bằng nhau đã lấy đi.
Với cách tiếp cận này, học sinh có điều kiện vận dụng những kiến thức đã chiếm lĩnh, tìm ra những kiến thức mới, tìm ra nội dung tiềm ẩn trong bài học Cách tiếp cận này còn rèn luyện cho học sinh, giúp các em dễ dàng áp dụng kiến thức vừa học vào bài tập ứng dụng.
Cách 3: Tiếp cận bằng phéo đo đại lƣợng
Ví dụ: Đo chiều dài cái bàn học trong lớp bằng cách sử dụng các thƣớc mét và đề - xi – mét.
Giáo viên gợi ý cho học sinh, vì cái bàn dài nên trƣớc hết dùng thƣớc mét để do. Chẳng hạn, học sinh đo đƣợc 1m nhƣng còn thừa một khoảng khá lớn không đủ 1m, ta dùng thƣớc đề - xi – mét.
Chẳng hạn, học sinh đo đƣợc 9dm. Với kiến thức đã biết, 9dm =
m.giáo viên hƣớng dẫn học sinh ghi theo cùng một đơn vị đo là mét, ta viết dƣới dạng phân số
1m 9dm = 1m
m hay m Cách 4: Tiếp cận kiểu phép chia
Bằng cách bổ sung thêm bài toán: “Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em. Hỏi mỗi em đƣợc bao nhiêu phần cái bánh” (Tr.108). Hình thành cho học sinh khái niệm: Phân số còn đƣợc hiểu là thƣơng của phép chia số tự nhiên a cho b với
b khác 0.
Tình huống dẫn cho học sinh cách hiểu đó là việc chia đều 3 cái bánh cho 4 em bằng cách chia mỗi cái bánh thành 4 phần bằng nhau và đƣa cho mỗi bạn một phần của cái bánh đó. Ta thấy sau khi chia, mối bạn đƣợc tất cả ba phần tƣ cái bánh. Do đó ta viết: 3 : 4 =
Sau khi học sinh nhận thấy tử số của phân số là số bị chia, mẫu số của phân số là số chia, từ đó các em rút ra đƣợc nhận xét: “Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia, mẫu số là số chia”.
Đến đây, ta thấy cách giới thiệu phân số nhƣ trên đƣợc xuất phát từ nhu cầu thực tế và nhu cầu của nội bộ toán học.
- Nhu cầu thực tế: SGK Toán 4 đƣa ra tình huống xuất phát từ thực tiễn cuộc sống. Đó là kết quả của những phép chia không hết. Chứng tỏ trong thực tế có những tình huống làm nảy sinh khái niệm số mới: phân số.
- Nhu cầu nội bộ toán học: Phân số giúp ta thực hiện đƣợc mọi phép chia ( với số chia khác 0)
Ví dụ: Có 2 quả cam, chia mỗi quả cam thành 4 phần bằng nhau. Vân ăn 1 quả cam và quả cam. Viết phân số chỉ số phần quả cam Vân đã ăn (Tr.108)
Trƣớc hết học sinh vễ hình biểu thị số cam, qua bƣớc này học sinh dễ dàng nhận ra rằng, ăn 1 quả cam tức là ăn 4 phần hay quả cam, ăn thêm quả cam nữa tức là ăn thêm một phần. Nhƣ vậy Vân đã ăn tất cả 5 phần hay quả cam.
Cách 5: Tiếp cận trên tia số ( củng cố biểu tƣợng số mới) Ví dụ: Cho một tia số, biểu thị số trên tia số đó
Sau khi biểu thị, Giáo viên đặt ra câu hỏi
- Giữa số 0 và số 1 có bao nhiêu số tự nhiên? - Giữa số 0 và số 1 có bao nhiêu phân số?
Để học sinh thấy rằng, giữa 0 và 1 không có số tự nhiên nào nhƣng có nhiều phân số.
Cách 6: Tiếp cận kiểu tỉ số
Dựa vào so sánh giữa hai tập hợp bất kì khác rỗng làm nảy sinh cách viết mới, qua đó để giới thiệu khái niệm phân số
Ví dụ: Tỉ số giữa hình tròn so với hình vuông là:
Tỉ số giữa hình tròn so với hình vuông là ( ta nói số hình tròn bằng số hình vuông, đây là một phân số).
3.3.3. Mối liên hệ giữa đọc, viết phân số và hình thành khái niệm phân số
Đọc, viết phân số là một khâu tỏng việc hình thành khái niệm ban đầu về phân số. Đọc, viết phân số đồng thời với việc làm xuất hiện phân số.
Để xuất hiện phân số, mẫu sỗ xuất hiện trƣớc, tử số xuất hiện sau dấu gạch ngang có tác dụng phân các mẫu số với tử số. Tuy niên khi đọc hoặc viết phân số, ta đọc hoặc viết tử số trƣớc, tiếp theo đọc “phần” hoặc viết dấu gạch ngang, sau đó đọc hoặc viết mẫu số. Lƣu ý và nắm vững về sự khác biệt này học sinh sẽ nắm đƣợc kiến thức một cách chính xác, mang lại hiệu quả học tập.
3.4. Mối liên hệ với nội dung dạy học các tính chất của phân số
3.4.1. Phân số bằng nhau
Phân số bằng nhau (giáo trình):
Phân số bằng nhau (chƣơng trình lớp 4): =
Hình thành qua chia bằng giấy = từ đó khái quát bằng suy luận quy nạp Nếu khai thác bằng cơ sở toán học = đƣợc chứng minh theo các bƣớc sau:
; So sánh và
Vì 2 phân số trên cùng mẫu nên nếu muốn chúng bằng nhau thì cần điều kiện là 2 tử số bằng nhau, nghĩa là
Nhƣ vậy định nghĩa 2 phân số bằng nhau ở tiểu học có cơ sở toán học giống nhƣ toán cao cấp nhƣng đƣợc trình bày giảm nội dung và gắn liền với tình huống thực tiễn. Việc giảm nội dung thể hiện ở chỗ: từ ta cho định nghĩa các phân số có dạng
=
là phân số xuất phát các phân số sau là . Nhƣ vậy {
Theo cách hình thành này thì ta dễ dàng so sánh và Ta không thể so sánh trực tiếp mà phải hoán đổi
Đó là sự khác nhau giữa các định nghĩa trong toán cao cấp
Bài toán (tr.111): Có 2 băng giấy như nhau. Chia băng giấy thứ nhất thành 4 phần bằng nhua và tô màu 3 phần. Băng giấy thứ hai chia thành 8 phần bằng nhau và tô màu 6 phần
Khái niệm “phân số bằng nhau” đƣợc hình thành thông qua mô hình trực quan.
Giáo viên gợi ý để học sinh phát hiện ra:
- Băng giấy thứ nhất chia làm 4 phần, ta đã tô màu 3 phần, hay ta đã tô màu băng giấy.
- Băng giấy thứ nhất chia làm 8 phần, ta đã tô màu 6 phần, hay ta đã tô màu băng giấy.
- 3 phần băng giấy thứ nhất bằng 6 phần băng giấy thứ 2 hay = Giáo viên nêu: và là hai phân số bằng nhau
Hƣớng dẫn học sinh biết cách biến đổi để thấy đƣợc sự bằng nhau: =
= = =
Trên cơ sở này xây dựng một quy tắc tổng quát gọi là tính chất cơ bản của phân số: (Tr.111)
- Nếu ta nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng mộ số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
- Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
3.4.2. Rút gọn phân số
Bài toán (Tr.1112): Cho phân số
. Tìm phân số bằng phân số đó nhưng có tử số và mẫu số bé hơn.
Giáo viên gợi ý cho học sinh nhận thấy 10 và 15 cùng chia hết cho 5
Yêu cầu học sinh nhắc lại tính chất cơ bản của phân số, từ đó hƣớng dẫn học sinh biến đổi:
Rút ra kết luận: Phân số
đƣợc rút gọn thành thân số hay là phân số rút gọn của
. Từ đó rút ra quy tắc rút gọn phân số
- Xét tử số và mẫu số có cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1 - Chia cả tử số và mẫu số của phân số cho số đó
- Thực hiện như vậy đến khi nhận được phân số tối giản
3.5. So sánh phân số
3.5.1. So sánh hai phân số cùng mẫu số
Bài toán (Tr.119): So sánh hai phân số và
Giáo viên hƣớng dẫn học sinh thao tác, quan sát hình vẽ và nhận xét: < ; >
Từ đó, rút ra kết luận: Trong hai phân số cùng mẫu số - Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn
- Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn
- Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1 - Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1
3.5.2. So sánh hai phân số khác mẫu số
Bài toán (Tr.121): So sánh hau phân số và
- Thao tác trên băng giấy để học sinh thấy đƣợc và rút ra kết quả so sánh: < ; >
- Hƣớng dẫn học sinh tiến hành so sánh thông qua bƣớc tính: Bƣớc 1: Quy đồng mẫu số hai phân số
= =
; = =
Bƣớc 2: So sánh hai phân số cùng cùng mẫu số, kết luận hai phân số cần so sánh.
Vì <
( 8 < 9 ) nên <
Quy tắc:
- Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của hai phân số đó. Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại.
Cơ sở toán học
Vận dụng liên hệ
(1)Phân tích từ cơ sở toán học và biến đổi
(2)So sánh 2 phân số cùng mẫu (3)Chỉ so sánh tử số
Trên cơ sở này khi dạy học ở tiểu học ta làm theo các bƣớc: (1)So sánh 2 phân số cùng mẫu
(2)So sánh 2 phân số khác mẫu bằng quy đồng
Nhƣ vậy cách thức hình thành hoàn toàn thống nhất nhƣ nội dung toán cáo cấp đã khai thác và phân tích nhƣ trên
3.5.3. Đề xuất một số phương pháp so sánh phân số
Khi so sánh phân số, học sinh thƣờng quen với cách quy đồng mẫu số ( SGK giới thiệu). Trong thực tế có nhiều cách so sánh phân số mà ta cần hƣớng dẫn học sinh tìm ra những thủ thuật riêng và áp dụng một cách linh hoạt sáng tạo vào quá trình giải toán.
Sau đây là một số phƣơng pháp so sánh phân số:
(i) Phương pháp so sánh phân số bằng cách quy đồng tử số
Các phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn và ngƣợc lại.
Ví dụ: so sánh phân số và
Ở ví dụ này, quy đồng mẫu số sẽ khó hơn quy đồng tử số Bƣớc 1: Quy đồng tử số các phân số
Ta có: = =
Bƣớc 2 : So sánh hai phân số cùng tử số, kết luận hai phân số cần so sánh
< ( vì 14 > 13) nên
>
(ii) Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh phần bù (với những phân số nhỏ hơn 1)
Trong các phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngƣợc lại.
Ví dụ 1: So sánh phân số và Bƣớc 1: Tìm phần bù
Phần bù của phân số là 1 - = Phần bù của phân số là 1 - =
Bƣớc 2: So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh Vì > nên <
Ví dụ 2: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: ;
Ta nhận xét dãy các phần bù với 1 của mỗi phân số này lần lƣợt là > > > nên < < <