Trong một tam giác cân, đường trung trực c ủa cạnh đáy đồng thời là đường trung

tuyến ứng với cạnh này.

- Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân.

- Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường trung trực của AC cắt BC ở I.

Chứng minh rằng IA IB IC= = .

GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận của bài toán.

? Để chứng minh IA IB IC= = ta cần chứng minh những đẳng thức nào?

IA IB= và IB IC= .

? Hãy tìm cách chứng minh hai đẳng thức trên và trình bày lời giải.

Hs lên bảng làm bài tập

Bài 1:

I nằm trên đường trung trực của AC nên

.

IA IC= (1)

IAC

∆ cân tại I nên  

1

A C= . Ta lại có A1

phụ A2và C phụ B nên  

2

A =B.

Do đó ∆IAB cân tại I, suy ra IA IB= . (2)

12 2

I

A C

Từ (1) và (2) suy ra IA IB IC= = .

Bài tập 2: Cho xOy=80°, điểm A nằm trong góc xOy. Lấy điểm B sao cho Ox

là đường trung trực của AB. Lấy điểm

C sao cho Oy là đường trung trực của

.

AC

a) Chứng minh O thuộc đường trung trực của BC.

b) Tính số đo góc BOC.

Bài 2:

a) Ta có:

OA OB= , vì Ox là đường trung trực của

.

AB

OA OC= , vì Oy là đường trung trực của

.

AC

Do đó OB OC= , suy ra O thuộc đường trung trực của BC.

b) Ta có:

OAB

∆ cân tại O nên  

1 2

O O= .

OAC

∆ cân tại O nên  

3 4O =O . O =O . Khi đó        ( )  1 2 3 4 2 3 2 2 160 . BOC O O O O O O xOy = + + + = + = = ° Vậy BOC=160 .°

Bài tập 3: Cho tam giác ABC cân tại A, O

là giao điểm của ba đường trung trực. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh

AC sao cho AD CE= . Chứng minh rằng: a) OA OB OC= = .

b) O nằm trên đường trung trực của DE. GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận của bài toán.

a) ?Để chứng minh OA OB OC= = ta sử dụng tính chất nào?

Hs: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều

Bài 3:

a) O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC nên OA OB OC= = .

11 1 2 E O C B A D x y 4 3 2 1 B C A O

ba đỉnh của tam giác đó.

? hãy chứng minh dựa vào định lí trên. b) ? Để chứng minh O nằm trên đường

trung trực của DEta làm thế nào? Chứng minh OD OE= .

Thảo luận theo nhóm từ 3-5 người đề tìm cách chứng minh bài toán.

GV chốt kiến thức, hs chữa bài

b) OA OC= nên  

2 1.

A =C (1)

Tam giác ABC cân tại A, AO là đường trung trực nên  A1=A2. (2) Từ (1) và (2) suy ra  A C1= 1. Xét ∆OAD và ∆OCE có: OA OC= (theo a)   1 1 A C= (chứng minh trên) AD CE= (giả thiết)

Do đó, ∆OAD= ∆OCE c g c( . . ), suy ra

.

OD OE=

Vậy O nằm trên đường trung trực của DE.

Bài tập 4: Cho tam giác ABC có

 100 , 30

A= ° C= °, đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao choCBD= °10 .

Vẽ đường phân giác của góc BAD cắt BC

tại E. Chứng minh rằng AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

GV yêu cầu HS vẽ hình, xác định giả thiết kết luận.

? Để chứng minh AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD ta cần cm điều gì? Hs: AB AD= , EB ED=

Hãy chỉ ra hai điều trên và trình bày lời giải.

Bài 4:

Tam giác có ABC A=100 , 30° C= ° nên

 180   50 .

B= ° − − =A C °

Lại có CBD= °10 nên   ABD B CBD= − =40 .°

Mặt khác góc ABD là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác BCD nên

   40 .

ADB CBD C= + = ° Suy ra  ABD ADB= ,

do đó ∆ABDcân tại A, ta cóAB AD= . Xét ∆AEB và ∆AED có:

AB AD=    

EAB EAD= (giả thiết)

AE là cạnh chung

Vậy ∆AEB= ∆AED c g c( . . ), suy ra EB ED= . Ta có AB AD= nên A thuộc đường trung trực của BD. (1)

EB ED= nên E thuộc đường trung trực của BD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD. 40° 40° 30° 10° I E D H B A C

? Ngoài cách cm như trên còn cách lập luận nào khác để chỉ ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD không?

HS: CÓ. Sử dụng tính chất về đường cao đường trung tuyến trong tam giác cân. ? Hãy chứng minh bài toán bằng cách đó.

CÁCH KHÁC:

Gọi giao điểm của AE với BD là I. Xét ∆AIB và ∆AID có:

 

,IAB IAD

AB AD= = (giả thiết), AIcạnh chung

Vậy ∆AIB= ∆AUD c g c( . . ), suy ra IB ID= . Tam giác ABD cân tại A có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD nên AI là đường trung trực của đoạn thẳng BD. Suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

Bài tập về nhà:

1. Cho tam giác ABC cân tại A có A=36°, đường phân giác CD. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của AC tại O. Chứng minh rằng:

a) O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. b) O là giao điểm các đường phân giác của tam giác ACD.

2. Tam giác ABC có A=110°. Cac đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại I. Tính

.

BIC

TIẾT 3. Tính chất ba đường cao trong tam giác

Mục tiêu:

- Ôn tập tính chất ba đường cao trong tam giác. - Giải được một số bài tập vận dụng

Hoạt động của GV và HS Nội dung

Gv yêu cầu học sinh nhắc lại tính chất ba đường cao của tam giác; đường cao của tam giác cân; đặc điểm trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều 3 cạnh, 3 đỉnh của ta giác.

Lí thuyết

- Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này gọi là trực tâm của tam giác.

- Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường

cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

- Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân. - Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm,

điểm cách đều 3 đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh là bốn điểm trùng nhau.

Bài tập 1: Cho ∆ABCvuông cân tại B.Trên cạnh AB lấy điểm H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho

.

BH BD= Chứng minh rằng: a) DH ⊥AC

b) CH ⊥AD

HS vẽ hình, ghi GT/KL

? Để cm hai đường thẳng vuông góc ta làm thế nào?

Hs: + chứng hai đường thẳng tạo thành góc vuông.

+ chứng minh là đường cao ứng với một cạnh của tam giác.

HS hoạt động nhóm giải toán bài toán. GV gọi HS chữa bài

GV hướng dẫn HS khi cần thiết.

Bài tập 1:

a) Chứng minh DH ⊥AC ABC

∆ vuông cân tại B,nên  0 45 = C HBD ∆ có  0 90 = B (gt) ; BH BD= (gt)

Vậy ∆HBD vuông cân tại B, suy ra 0 45 D ∧ = Xét ∆DIC có   0 0 0 45 45 90 + = + = D C (CMT) Suy ra  0 90 = DIC Vậy DH ⊥ AC b) Chứng minh CH ⊥AD Xét ∆DACcó AB⊥BC (gt) DH ⊥ AC (CMT)

Vậy H là trực tâm ∆DACnên CH ⊥AD.

Bài tập 2: Cho ∆ABCvuông tại A.Trên cạnh AC lấy các điểm D,E sao cho

  = =

ABD DBE EBC. trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF BC= . Chứng minh rằng ∆CDFcân. Bài 2: I D C A B H

GV yêu cầu HS vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận của bài toán.

? Chứng minh tam giác bằng nhau ta chứng minh như thế nào?

Hs: hai cạnh bên bằng nhau, hai góc kề một cạnh bằng nhau.

? Hãy chứng minh bài toán trên. ? Trình bày lời giải.

Trên BF đặt đoạn BG BC= thì G nằm giữa D và