Đường thẳng AD cắt (O) tại điềm thứ hai là G, FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K Chứng minh I, K, H thằng hàng.

Lời giải

b)Chứng minh ·BCA BDA·

Ta cĩ ·BDC FDC· 900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn).

· · 900

BDC BAC

  

 ABCD là tứ giác nội tiểp đường trịn đường kính BC (Tứ giác cĩ 2 đỉnh A, D cùng nhìn BC dưới một gĩc 900).

· ·

BCA BDA

  (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung AB ).

c)Chứng minh AEO  EHO.

Ta cĩ: OD OE  ODE cân tại O

 · · 1800 ·

2

EOD

OED OED   (tổng 3 gĩc trong một tam giác).

Mà EOD· 2ECD· 2BCD· (gĩc nội tiếp và gĩc ở tâm cùng chắn cung DE )

· · 1800 2· 0 · · · 90

2

BCD

OED OED  BCD CBD EBF

       (do tam giác BCD vuơng tại D ). Lại cĩ: EBF· EAF· (hai gĩc nội tiếp cùng chẳn cung EF của tứ giác nội tiếp ABEF )

· · · · .

EAO EAF OED OEH

   

Xét tam giác OEH và tam giác OAE ta cĩ:

·

EOA chung; ·EAO OEH· cmt  OEH #OAE g g .

d)Đường thẳng AD cắt (O) tại điềm thứ hai là G, FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K. Chứngminh I, K, H thằng hàng. minh I, K, H thằng hàng.

Ta cĩ FGC· 900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính CF ) FGCK. Mà CDKF và  I CD GF nên I là trực tâm của tam giác CFK.

KI

 là đường cao thứ 3 của tam giác CFKKI CF

Ta cĩ OAE OEH ODE· · · cmt OEAD là tứ giác nội tiếp (tứ giác cĩ 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các gĩc bằng nhau).

· ·

ADE AOE

  ( 2 gĩc nội tiếp cùng chắn cung AE ).

Mà ·AOE2·FCE2·FDE (gĩc nội tiếp và gĩc ở tâm cùng chắn cung EF

· 2·

ADE FDE

   DF là phân giác của · · · 1·

2

ADE ADFFDE ADE

Ta lại cĩ ·FDA GCA KCH· · (gĩc ngồi và gĩc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp CFDG).

· ·

HDF KCH CHDK

   là tứ giác nội tiếp (tứ giác cĩ gĩc ngồi bằng gĩc trong tại đình đối diện).

· · 900

KHC CDK

   ( 2 gĩc nội tiếp cùng chắn cung CK ) hay KH CF (2) Từ (1) và (2) ta cĩ I K H, , thẳng hàng.

Bài 45. Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn, nội tiếp trong đường trịn (O, R) và hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh BECF là tứ giác nội tiếp đường trịn.

b)Chứng minh OA  EF.

c) Hai đường thẳng BE, CF lần lượt cắt đường trịn (O) tại điểm thứ hai là N và P. Đường thẳng AH cắt đường trịn (O) tại điểm thứ hai là M và cắt BC tại D. Tính giá trị biểu thức

AM BN CP AD  BE CF .

Lời giải