Vẽ đường kính AD của đường trịn (O) Chứng minh ACH  DMO

Ta cĩ: Tứ giác AMOH nội tiếp nên ·AHM ·AOM ( hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung AM ) Ta cĩ: ·· ·· 0 0 180 180         AHM AHC

HOM DOM ( hai gĩc kề bù) Từ đĩ suy ra: ·AHC DOM· (1)

Xét AHB và AOM cĩ: ·· ·· 0 90        BAH MAO AHB AOM Suy ra AHB#AOM g g . AH HB

OA OM

  (hai cạnh tương ứng)

Tam giác OBC cĩ OB OC nên tam giác OBC cân tại O, cĩ OH BC Nên OH đồng thời là đường trung tuyến HB HC

Hay AH  HC  2

OD OM do OA OD HB HC ,  

Từ (1), (2) suy ra: ACH # DMO c g c . . .

Bài 48. Từ một điểm A nằm ngồi đường trịn (O; R), với OA < 2R. Vẽ hai tiếp tuyến AD, AE với đường trịn (O) (với D, E là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp được đường trịn.

b) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ DE (M khác D, M khác E, MD < ME). Tia AM cắt đường trịn (O) tại điểm thứ hai N. Đoạn thẳng AO cắt cung nhỏ DE tại K. Chứng minh NK là tia phân giác của DNE· .

c) Kẻ đường kính KQ của đường trịn(O; R). Tia QN cắt tia ED tại C. Chứng minh MD CE ME CD.  . .

Lời giải

b) Chứng minh NK là tia phân giác của ·DNE.

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cẳt nhau ta cĩ OA là tia phân giác của ·DOE.

OK

 cũng là tia phân giác của DOE· .

· ·

DOK EOK sđDK sđEK¼  » · ·

DNK ENK (2 gĩc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau)

Vậy NK là tia phân giác của ·DNE.

c) Chứng minh MD.CE  ME.CD

Xét AMD và ADN cĩ:

DAN chung;

ADM  AND (gĩc nội tiếp và gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung DM )

 .

 AMD# ADN g g MD AD

ND AN

 

Xét AME và AEN cĩ: EAN· chung;

·AEM ·ANE (gĩc nội tiếp và gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung EM )

 .

 AME AEN g g  ME  AE

NE AN

#

Mà AD AE (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) (3) Từ (1), (2) và (3) MD ME MD ND

ND NE ME NE

    (4).

Vì KQ là đường kính của (O) ·KNQ900 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) hay NK  NQ Theo ý b ta cĩ NK là tia phân giác của DNE·  NQ là phân giác ngồi của ·DNE hay NC là phân giác ngồi của ·DNE.

Áp dụng định lí đường phân giác ta cĩ ND CD NE  CE (5) Từ (4) và (5)   MD CD MD CE ME CD  

ME CE (đpcm)

Bài 49. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn tâm O; E là điểm chính giữa cung nhỏ BC.

a) Chứng minh CAE BCE· · .

b)Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho EM = EC (M khác C); N là giao điểm của BM với đường trịn tâm O (N khác B). Gọi I là giao điểm của BM với AE, K là giao điểm của AC với EN. Chứng minh tứ giác EKMI nội tiếp.

Lời giải

a)Chứng minh CAE· ·BCE.

Vì E là điểm chinh giữa của cung nhỏ BC nên sđBE sđCE»  » .

· ·

CAE BCE

  (trong một đường trịn, hai gĩc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).