Lời giải
b) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
Ta cĩ MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
MAB cân tại M. Lại cĩ ME là tia phân giác
ME AB (1).
Chứng minh tương tự ta cũng cĩ MF AC (2). Mặt khác MO và MO’ là tia phân giác của hai gĩc kề bù BMA và CMA· · MO MO’ (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác MEAF là hcn
c) Chứng minh ME.MO = MF.MO’.
Theo gt AM là tiếp tuyến chung của hai đường trịn MA OO’ MAO vuơng tại A cĩ AE MO ( do ME AB) MA2 = ME. MO (4)
Tương tự ta cĩ tam giác vuơng MAO’ cĩ AF MO’ MA2 = MF.MO’ (5) Từ (4) và (5) ME.MO = MF. MO’
d) OO’ là tiếp tuyến của đường trịn đường kính BC.
Theo trên MB = MC = MA M là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC.
Lại cĩ OO’ MA (cmt) OO’ là tiếp tuyến tại A của đường trịn đường kính BC.
e) BC là tiếp tuyến của đường trịn đường kính OO’.
Gọi I là trung điểm của OO’ ta cĩ IM là đường trung bình của hình thang BCO’O
IM BC tại M (*) .
Mặt khác OMO’ vuơng nên M thuộc đường trịn đường kính OO’
IM là bán kính đường trịn đường kính OO’ (**)
Từ (*) và (**) BC là tiếp tuyến của đường trịn đường kính OO’
Bài 65. Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB và mợt điểm M trên nửa đường trịn. Tiếp tuyến d tại M cắt đường trung trực của AB tại I. Và đường trịn tâm I, tiếp xúc với AB, cắt d tại C, D ( C nằm trong gĩc AOM )
a) Chứng minh rằng OC, OD là các tia phân giác của các gĩc AOM và BOM.
b) OC cắt AM tại P, OD cắt BM tại Q. Chứng minh rằng tứ giác CPQD nội tiếp được.
c) Xác định điểm M để tam giác COD cĩ chu vi nhỏ nhất.
d) Xác định điểm M để bán kính của đường trịn ( O ) ngoại tiếp tứ giác CPQD là nhỏ nhất.
Bài 66. Cho nửa đường trịn ( ) tâm O, đường kính AB = 2R, bán kính OC vuơng gĩc với AB;
M là một điểm trên cung BC; MA cắt OC ở N. e) Chứng minh rằng tứ giác OBMN nội tiếp.
f) Chứng tỏ tích số AM.AN và CM.CD khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên BC» . g) Tính gĩc MAB để cho tam giác MNB cân tại M.
h) Tìm quỹ tích của tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OMD khi M di động trên cung BC
Bài 67. Cho hình vuơng ABCD cố định, độ dài cạnh bằng a. Điểm E di chuyển trên cạnh CD (ED). Đường thẳng AE cát đường thẳng BC tạ F, đường thẳng vuơng gĩc với AE cắt đường thẳng CD tại K.
a) Chứng minh rằng ABF = ADK, suy ra AKFvuơng cân tại A.
b) Gọi I là trung điểm của FK. Chứng minh rằng I là tâm đường trịn đi qua các điểm A, C, K, F và I di chuyển trên một đường trịn cố định khi E di chuyển trên DC.
c) Tính số đo gĩc AIF. Chứng minh tứ giác ABFI nội tiếp.
d) đặt DE = x (0 < x a). Tính độ dài các cạnh của AFK theo a và x.
e) Hãy chỉ ra vị trí của điểm E sao cho độ dài EK ngắn nhất và chứng minh điều ấy
Bài 68. Cho đường trịn tâm O, đường kính BC. Gọi A là một điểm trên đường trịn sao cho AC > AB. Trên cung AC lấy đoạn AD = AB. Trên dường thẳng qua D và song song với AB cắt đường thẳng Qua B và song song với AC tại E. Đường nối AE kéo dài cắt đường trịn tại F
Chứng minh rằng :
a) F là điểm chính giữa của cung BC. b) F là tâm đường trịn ngoại tiếp BCD.
c) Đường trịn ngoại tiếp BCD đi qua tâm đường trịn nội tiếp ABC.
d) Kéo dài FO cắt đường trịn (O) tại H. Khi A chuyển động trên cung BH thì E chuyển động trên đường nào ? Vì sao ?
Bài 69. Cho đường trịn (O; R) cố định và điểm A cố định OA = 2R. BC là đường kính quay quanh O (đường thẳng BC khơng qua A). Đường trịn qua A, B, C cắt đường thẳng OA tại A và I.
a) Chứng minh rằng : OA.OI = OB.OC.
b) Trường hợp đường thẳng AB, AC lại cắt đường trịn (O; R) lần lượt tại D, E; nối DE cắt đường thẳng OA tại K. Chứng minh bốn điểm E, I, K, C cùng nằm trên đ. trịn và tính độ dài AK theo R.
c) Chứng tỏ tâm của đường trịn qua A, D, E di chuyển trên đường cố định khi BC quay quanh O.
Bài 70. Tam giác ABC vuơng tại A và AB < AC. Điểm M là trung điểm của đoạn AC. Đường trịn đường kình MC cắt BC tại N. Đường nối BM kéo dài cắt đường trịn tại D.
a) Chứng minh bố điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường trịn. Xác định tâm O của đường trịn này.
b) Chứng minh đường thẳng OM là tiếp tuyến của đường trịn đường kính MC. c) Đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm E, M, N thẳng hàng.
d) Nếu cát tuyến EFI của đường trịn (O) quay quanh điểm E thì trung điểm K của đoạn FI chuyển động trên đường cố định nào ? Giới hạn.
Bài 71. Cho đường trịn (O;R) và dây cung AB = R 3. Gọi I là trung điểm của AB và M là một điểm di động trên tia đối của tia AB. Từ M, vẽ 2 tiếp tuyến MC và MD đến (O). Đường thẳng CD cắt các đường thẳng MO, OI lần lược tại H và N. Chứng minh :
a) MO là đường trung trực của CD. b) Tứ giác MHIN nội tiếp được.
c) OI.ON = OH.OM = R2, suy ra độ dài ON theo R.
d) Khi M di động thì đường thẳng CD luơn đi qua 1 điểm cố định và H di động trên một đường cố định
Bài 72. Đoạn BC là dây cố định của (O;R) và sđ BC¶ 1200. Từ điểm A thuộc cung lớn BC ( AB
AC) vẽ đường cao AH của ABC. Tia phân giác của BAC· cắt (O) tại D. 1) Chứng minh :