7. Cấu trúc của luận văn
2.1.2. Những mạch kiến thức cơ bản
Ta đã biết một tam giác được xác định nếu biết ba cạnh, độ dài hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó, biết một cạnh và hai góc liền kề, số đo của các cạnh và các góc còn lại hoàn toàn được xác định. Như vậy yếu tố của một tam giác có liên hệ với nhau thông qua các hệ thức lượng trong tam giác.
Đối với định lí cosin được xuất phát từ các hệ thức lượng trong tam giác vuông và được xây dựng trên cơ sở tích vô hướng của 2 vecto. Vì vậy kiến thức chúng ta cần phải nhớ lại các hệ thức lượng trong tam giác vuông đã học ở lớp 9 và tích vô hướng
giữa hai vecto AB AC. = AB AC. .cosA. Hay nguồn gốc sâu xa là xuất phát từ tỉ số đồng dạng của các tam giác đồng dạng lớp 8. Vì thế học sinh cần có kĩ năng tính toán logic, chính xác.
Để xây dựng nên định lí cosin ta xét bài toán sau:
Bài toán1: Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A. Hãy tính cạnh BC.
Giải: ta có 2 2 2 ( ) BC BC ACAB 2 2 2. . AC AB AC AB 2 2 2 2. . .cosA BC AC AB AC AB . Vậy ta có 2 2 2 2. . .cosA BC AC AB AC AB Nên 2 2 2. . .cosA BC AC AB AC AB .
Từ kết quả bài toán trên ta suy ra các định lí cosin và hệ quả của nó.
Định lý cosin được dùng để tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh còn lại và góc giữa hai cạnh đó, hoặc tính các góc khi chỉ biết chiều dài ba cạnh của một tam giác.
Đối với định lí sin để xây dựng nên định lí sin ta cần nhớ đến kiến thức tam giác nội tiếp đường tròn. Ta xét bài toán:
Bài toán 2: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính R và có BC=a, CA=b, AB=c.
Ta xét hai trường hợp:
TH1: Tam giác ABC vuông tại A ta có a2. .sinR A, b2. .sinBR , c2. .sinCR (1). Vì A900 nên ta có a2Rnên (1) được chứng minh.
TH2: Tam giác ABC bất kì ta cũng thu được công thức của định lí sin
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
Định lý sin có thể được dùng trong phép đạc tam giác để tìm hai cạnh còn lại của một tam giác khi biết một cạnh và hai góc bất kì, hoặc để tìm cạnh thứ ba khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa hai cạnh đó. Trong một vài trường hợp, công thức cho ta hai giá trị khác nhau, dẫn đến hai khả năng khác nhau của một tam giác. Định lý sin là một trong hai phương trình lượng giác thường được dùng để tìm cạnh và góc của một tam giác, ngoài định lí cosin.
Từ định lí cosin ta suy được ra các công thức tính độ dài đường trung tuyến. Xét bài toán 3: Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Gọi ma, mb, mc
là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C.
Hình 2.1 Giải:
Gọi M là trung điểm của BC ta áp dụng định lí cosin vào tam giác AMB có 2 2 2 2 2 ( ) 2. . .cosB c . .cosB 2 2 4 a a a a m c c a c Vì 2 2 2 cos 2. . a c b B a c nên ta suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.( ) . 4 2 4 a a a c b b c a m c ac ac
Các công thức còn lại suy ra tương tự.
Ta đã xây dựng được công thức đường trung tuyến của tam giác theo ba cạnh, là nhờ dựa vào “Muốn tính một cạnh, thì cần biết hai cạnh còn lại và góc xen giữa”, “Muốn tính một góc, thì cần biết cạnh”. Đó cũng chính là hai ý nghĩa quan trọng của định lý Côsin và hệ quả của nó.
Đối với công thức tính diện tích tam giác được suy ra từ các định lí hệ thức lượng trong tam giác. Ngoài ra chúng ta có thể tính được diện tích của tam giác khi biết bán kính của đường tròn nội tiếp , ngoại tiếp, nửa chu vi của tam giác.
1 1 1
. . .sin . . .sin . . .sin
2 2 2 S a b C b c A c a B . . 4 a b c S R
( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) .
S p r( r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
.( ).( ).( )
S p p a p b p c
(công thức hê- rông)
( 1( )
2
* Ứng dụng thực tiễn:
Dạng 1: Áp dụng định lí cosin, định lí sin, công thức về độ dài đường trung tuyến, các công thức tính diện tích để giải một bài toán có liên quan đến tam giác.
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức về mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Dạng 3: Giải tam giác trong một số trường hợp đơn giản (yêu cầu giải tam giác trong một số trường hợp như: tính được các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi biết ba yếu tố trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh (chẳng hạn: cho trước độ dài 3 cạnh của tam giác, cho trước độ dài một cạnh và số đo 2 góc của tam giác, cho trước độ dài 2 cạnh và số đo góc xen giữa 2 cạnh đó).
Dạng 4: Vận dụng kiến thức giải tam giác vào các bài toán có nội dung thực tiễn. Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi khi giải toán.
Ví dụ 2.1: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 0
60 . Tàu B chạy với vận tốc 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với vận tốc 15 hải lí một giờ.
a) Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? b) Tính góc B ở bài toán trên?
Hình 2.2 Giải:
a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có
Vậy BC 36 (hải lí).
b) Theo hệ quả của định lí cosin, ta có: 40 30 ? 60 A 2 2 2 2 2 . .cos 1300 36 BC AB AC AB AC A BC BC 2 2 2 cos 0,6934 2 . AB BC AC B AB BC 0 46 06' B
Từ ví dụ trên ta đã áp dụng được định lí hệ thức lượng trong tam giác vào giải các bài toán có tính thực tiễn. Vừa cho học sinh thực hành tính toán, vừa cho học sinh rèn các kĩ năng toán học: Tìm kiếm thông tin, giải toán, phân tích,... Các em nhớ được công thức một cách dễ dàng hơn. Tạo hứng thú cho các em học tập, bài toán trở nên sinh động
Ví dụ 2.2: Bạn Lan đi tàu hỏa di chuyển từ ga A đến ga B. Khi tàu đỗ ở ga A, qua ống nhòm bạn Lan nhìn thấy một tháp C. Hướng nhìn từ Lan đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 600. Khi tàu đến ga B thì bạn Lan vẫn nhìn thấy tháp C. hướng nhìn của bạn Lan ngược hướng với hướng đi của tàu một góc 450. Biết rằng đoạn đường tàu nối từ ga A đến ga B là 8km. Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu?
Hình 2.3
Xét tam giác ABC. Ta có:
0 0 180 ( ) 75 C AB Theo định lý sin ta có: 0 0 .sin sin sin sin
8sin 45 6( ) sin 75 b c c B b B C C b km Vậy khoảng cách từ tháp A đến Tháp C xấp xỉ 6km.
Từ ví dụ trên ta đã áp dụng được định lí hệ thức lượng trong tam giác vào giải các bài toán có tính thực tiễn. Rèn luyện các kĩ năng toán học, kĩ năng mô hình hóa, đánh giá được kiến thức, kĩ năng mà học sinh học được với những gì cuộc sống yêu cầu.
8km B
A
C
45° 60°
2.2. Định hướng thiết kế hệ thống tình huống đánh giá thực trong dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác ở trường THPT
2.2.1. Định hướng 1: Đảm bảo tính chính xác, khoa học
Nội dung kiến thức phải đảm bảo tính chính xác, khoa học là nguyên tắc chủ yếu trong thiết kế tình huống. Đưa kiến thức khoa học của môn Toán vào tình huống được thiết kế phải khoa học, chính xác, không được đưa sai lệch kiến thức hoặc những tranh luận. Phải có sự tương quan hợp lí và có tính hệ thống. Đảm bảo khi học sinh tiếp nhận vấn đề giải quyết và kiến thức phải phù hợp với mục tiêu, nội dung đề ra. Đánh giá đúng thực chất, năng lực học sinh một cách khoa học.
2.2.2. Định hướng 2: Đảm bảo tính thực tiễn
Nắm rõ mối liên hệ chặt chẽ, thiết thực của kiến thức trong sách giáo khoa với thực tiễn cuộc sống. Các tình huống đánh giá phải mang tính thực tiễn, ứng dụng cao, gắn với cuộc sống xung quanh mang lại lợi ích cho cuộc sống thực. Giúp học sinh trang bị kiến thức để giải quyết những tình huống thực trong cuộc sống dễ dàng hơn.
2.2.3. Định hướng 3: Đảm bảo tính logic, ngắn gọn
Các tình huống phải logic, ngắn gọn. Vì thời gian của tiết học có giới hạn thường là 45 phút. Nếu không logic quá chi tiết thì tình huống đánh giá thực sẽ gây khó khăn cho học sinh. Các tình huống cần ngắn gọn, đủ thông tin, không thừa, không thiếu. Vì vậy, phải thiết kế hợp lí câu hỏi rõ ràng.
2.2.4. Định hướng 4: Kích thích hứng thú, khả năng sáng tạo của người học
Thiết kế tình huống đánh giá thực ngoài đánh giá được đúng năng lực học sinh còn kích thích, gây hứng thú học tập, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Các tình huống càng sinh động, gần gũi thì giúp học sinh phát triển kĩ năng tư duy, giải quyết vấn đề tốt hơn.
2.3. Quy trình thiết kế tình huống đánh giá thực trong dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác ở trường THPT
Đánh giá thực là một thuật ngữ mới mà gần đây hay được nhắc tới. Để thiết kế được một tình huống đánh giá thực đòi hỏi giáo viên phải vận dụng các kiến thức đó vào đời sống thực tiễn và vận dụng các kĩ năng một cách hiệu quả để truyền đạt và đánh giá được kết quả mà học sinh đạt được trong tình huống đó.
Như vậy, để xây dựng một bài đánh giá thực được tiến hành 4 bước [7] Bước 1: Xác định chuẩn: điều học sinh cần và có thể thực hiện.
Bước 2: Xây dựng nhiệm vụ: điều học sinh phải thực hiện để chứng tỏ đã đạt chuẩn.
Bước 3: Xác định các tiêu chí: những dấu hiệu đặc trưng cho việc thực hiện tốt nhiệm vụ.
Bước 4: Xây dựng bảng hướng dẫn nhằm phân biệt các mức độ đạt các tiêu chí. Sau đây là nội dung chi tiết
Bước 1: Xác định chuẩn
Chuẩn và các khái niệm liên quan: Để xây dựng được tình huống đánh giá học sinh thì điều quan trọng là cần xác định chúng ta định kết thúc ở đâu và học sinh phải làm gì sau một giai đoạn học tập. Đánh giá chính là cung cấp cho chúng ta thước đo về năng lực, khả năng sáng tạo,… của học sinh. Nếu như bài đánh giá đó không thể cung cấp những thông tin nếu nó không đo được cái cần đo, mục đích không rõ ràng. Như vậy, cần phải xác định được mục đích, mục tiêu của học tập.
Chuẩn là các học sinh cần biết và có thể làm được là thước đo để đánh giá. Đối với đánh giá thực thì chuẩn là những phát biểu có thể quan sát, điều kiện để xây dựng nhiệm vụ thực. Chuẩn bao quát nội dung, có thời gian dài phù hợp để thiết kế đánh giá thực.
Như vậy, để xây dựng một bài đánh giá thực cần tập hợp các chuẩn cần đánh giá gồm: chuẩn nội dung, kiến thức, kĩ năng sống như tư duy phê phán, giải quyết vấn đề , dạy học hợp tác.
Các loại chuẩn gồm: Chuẩn nội dung, chuẩn quá trình, chuẩn giá trị. Chuẩn nội dung là những gì học sinh phải biết, làm được trên cơ sở nội dung của môn học. Chuẩn quá trình là những kĩ năng học sinh phải rèn luyện trong quá trình học tập, là những kĩ năng cơ bản áp dụng cho tất cả các môn học. Chuẩn giá trị là những phẩm chất mà học sinh cần rèn luyện trong quá trình học tập.
Bước 2: Xác định nhiệm vụ thực
Nhiệm vụ thực là bài tập thiết kế để đánh giá năng lực vận dụng kiến thức đã học, những kĩ năng và giải quyết thách thức ở thế giới thực
Một nhiệm vụ được coi là nhiệm vụ thực khi học sinh tự kiến tạo câu trả lời chứ không phải lựa chọn một câu trả lời đúng. Nhiệm vụ đó mô phỏng lại thách thức mà học sinh đối diện trong thế giới thực. Trong nhà trường thường chỉ quan tâm đến kiến thức mà học sinh đã tiếp thu được ra sao mà ít khi đánh giá học sinh đó sử dụng kiến thức đó trong đời sống như thế nào. Một bài thi có ý nghĩa khi học sinh thực hiện một nhiệm vụ thực.
Trong đánh giá truyền thống dạy học thường tách rời với đánh giá. Bài thi chỉ được tổ chức sau khi quá trình dạy học đã kết thúc. Còn trong đánh giá thực nhiệm vụ dùng để đo lường năng lực vận dụng kiến thức, kĩ năng của học sinh, nó là phương tiện, vừa là công cụ để dạy học được diễn ra trong suốt quá trình dạy và học. Đánh giá thực khác với đánh giá truyền thống là nhiệm vụ như trình diễn, sản phẩm và câu hỏi kiến tạo đòi hỏi học sinh vận dụng trực tiếp những kiến thức, kĩ năng vào đời sống thực.
Những kiểu nhiệm vụ thực có thể là:
- Câu hỏi kiến tạo: Học sinh phải kiến tạo câu trả lời dựa trên kiến thức, kĩ năng đã học. Tùy theo mức độ sáng tạo của học sinh mà có rất nhiều câu trả lời khác nhau. Nên không có một câu trả lời chính xác duy nhất. Câu trả lời kiến tạo thường có nội dung hẹp, định hướng cách trả lời, có giới hạn. Nhưng học sinh phải tự kiến tạo kiến thức nên bộc lộ được năng lực tư duy.
- Bài tập thực-sản phẩm: Để làm bài tập này học sinh phải kiến tạo ra sản phẩm có giá trị của việc vận dụng những kiến thức, kĩ năng đã học có khả năng ứng dụng, phân tích, đánh giá kiến thức, kĩ năng đó. Học sinh phải tự viết câu trả lời. Những sản phẩm này thường rộng và sâu hơn, cần nhiều thời gian hơn.
- Bài tập được thiết kế “hoàn thành một nhiệm vụ” yêu cầu học sinh phải hoàn thành một nhiệm vụ để chứng tỏ mức độ nắm vững các kiến thức, kĩ năng và khả năng vận dụng kiến thức đó, đòi hỏi về thời gian.
Bước 3: Xác định các tiêu chí đánh giá việc hoàn thành nhiệm vụ
Trước hết hiểu tiêu chí là gì? Là chỉ số (đặc trưng) của việc hoàn thành tốt nhiệm vụ. Cần xây dựng tiêu chí đậc trưng riêng cho việc hoàn thành tốt nhiệm vụ. Từ đó giáo viên dùng các tiêu chí này để đánh giá học sinh hoàn thành nhiệm vụ ở mức nào, chuẩn nào.
Ví dụ 2.3: Theo Nguyễn Đức Chính bài kiểm tra thực môn toán có 6 chuẩn trong bài kiểm tra [7]
Sử dụng công cụ, phương pháp, đơn vị đo phù hợp để đo được kích thước một vật. Xác lập và giải thích được tỉ lệ. Xác định được các mẫu thang đo. Ước tính được tổng giá trị và xác định được mức độ chính xác cần thiết. Tổ chức tài liệu. Giải thích quá trình tư duy.
Một tiêu chí được coi là tốt nếu nó đầy đủ các đặc trưng sau: Rõ ràng, ngắn gọn, quan sát được, mô tả hành vi, được viết để học sinh hiểu.
Bước 4: Xây dựng bản hướng dẫn
Bản hướng dẫn cung cấp những miêu tả hoặc chỉ số thực hiện các mức độ hoàn thành nhiệm vụ. Giúp đánh giá chính xác mức độ đạt chuẩn học sinh.
Có 2 loại bản hướng dẫn: Bản định tính và bản định lượng. Bản định tính giúp giáo viên chấm nhanh, phù hợp với kì đánh giá tổng kết nhưng không cung cấp nhiều thông tin phản hồi. Bản định lượng chia nhiệm vụ tách rời nhau, chấm lâu hơn. Phải