7. Cấu trúc luận văn
2.2.3. Biện pháp 3: Tạo điều kiện giúp học sinh phát hiện, sửa chữa sa
lầm, khắc phục khó khăn trong khi giải toán
2.2.3.1. Mục đích của biện pháp
Mục đích của biện pháp này chính là giúp các em nhận ra đƣợc sai sót, những sai lầm trong quá trình lập luận, có khả năng sửa chữa những sai lầm đã mắc phải khi lập luận để giải quyết bài toán. Khả năng nhận ra các thiếu sót, các sai lầm và sửa chữa đƣợc những sai lầm đó cũng là một dấu hiệu nhận biết quan trọng của năng lực TDPB trong toán học. Biện pháp này phù hợp với tất cả bốn định hƣớng đề xuất các biện pháp đã nêu trên, đặc biệt là định hƣớng số 1, 2, 3.
2.2.3.2. Nội dung của biện pháp
Phát hiện và sửa chữa đƣợc những sai lầm trong quá trình học tập là một trong các năng lực của ngƣời có TDPB. Đây là việc làm mang tính thƣờng xuyên, trong quá trình học toán diễn ra rất thƣờng xuyên. Sai lầm đƣợc nhắc đến ở đây là sai lầm do chính ngƣời học mắc phải hoặc sai lầm mà ngƣời học phát hiện đƣợc từ bài giải của bạn, của thầy cô. Với thái độ tích cực khi nhìn nhận ra lỗi sai, với những lập luận có cơ sở để sửa chữa lại những lỗi sai đó, chắc chắn ngƣời học sẽ học đƣợc rất nhiều điều, đó chính là một phần của sự phát triển.
Để phát hiện và sửa chữa đƣợc những sai lầm trong giải toán, HS cần phải biết xem xét đánh giá, chỉ đƣợc các lập luận bác bỏ đƣợc các lập luận sai có căn cứ toán học. GV muốn HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán, cần phải chú ý tới một vài tình huống trọng tâm mà HS dễ mắc phải sai lầm trong giải toán chủ đề tổ hợp – xác suất. Trên cơ sở dự kiến đƣợc các sai lầm đó, ngƣời GV cần xác định đƣợc các mục tiêu học tập, hệ thống bài tập để HS có thể phát hiện đƣợc các sai làm và sửa chữa chúng.
Trên lớp GV dành thời gian cho HS trình bày các ý tƣởng hoặc các cách giải quyết mà HS đƣa ra. Các cách đó có thể đúng có thể sai nhƣng trong bất kì hoàn cảnh nào cũng cần tôn trọng ý kiến các em, tạo điều kiện để cho các em tự phát hiện và sửa chữa các ý kiến của cá nhân mình. Khi GV khẳng định và nhấn mạnh những sai lầm đó thì HS thấy đƣợc sự đối chiếu giữa lời giải đúng và lời giải sai, từ đó thấy đƣợc cái hay của bài toán.
Việc kiểm tra kết quả cuối cùng của bài toán là một trong những việc quan trọng giúp các em tìm kiếm và phát hiện ra những sai lầm. Việc kiểm tra này cần đạt đƣợc cả hai góc độ: định tính và định lƣợng. Định tính là xác định đƣợc tính đúng đắn của việc lựa chọn phƣơng hƣớng giải. Định lƣợng là kiểm tra lại quá trình thao tác giải toán. Khi phần định tính sai thì định lƣợng không
cần thiết phải kiểm tra tiếp. Kiểm tra định lƣợng thƣờng xuyên sẽ giúp cho ngƣời học rèn luyện đƣợc kĩ năng tính toán.
GV muốn giúp cho HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trước hết cần dự kiến được các sai lầm mà HS có thể mắc phải. Trên cơ sở phân tích chúng tôi dự kiến một số sai lầm của HS khi học chủ đề tổ hợp xác suất thông qua các bài toán ví dụ nhƣ sau:
Bài toán 2.6. Gieo ngẫu nhiên hai đồng tiền cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố A: “ mặt sấp xuất hiện hai lần”, B: “ mặt sấp xuất hiện một lần”, C: “Mặt sấp không xuất hiện”.
Lời giải sai của HS:
Phép thử T: “ gieo ngẫu nhiên hai đồng tiền cân đối và đồng chất”. Khi đó xảy ra một trong những biến cố A, B, C và các kết quả là đồng khả năng nên suy ra P A P B P C 1
3.
Nguyên nhân sai lầm của HS:
Ở bài toán này đòi hỏi HS phải có sự tƣơng tác khả năng xảy ra khi gieo hai đồng tiền cân đối đồng chất. Biến cố A có một khả năng xảy ra là cả hai đồng tiền cùng xuất hiện mặt sấp. Biến cố B có hai khả năng xảy ra: thứ nhất là xuất hiện mặt ngửa đồng tiền thứ hai xuất hiện mặt sấp, thứ hai đồng tiền thứ nhất xuất hiện mặt sấp đồng tiền thứ hai xuất hiện mặt ngửa. Nhƣ vậy biến cố B có hai khả năng xảy ra và nhiều hơn biến cố A nên ba biến cố A, B, C không thể đồng khả năng.
Biện pháp khắc phục:
GV hƣớng dẫn HS tƣởng tƣợng khi gieo ngẫu nhiên hai đồng tiền 1 và 2 gồm hai mặt sấp ngửa thì có những khả năng nào xảy ra? Xác định không gian mẫu để phân tích đánh giá các tình huống xác suất khác nhau nhằm phát hiện và điều chỉnh trực giác sai ban đầu.
Lời giải đúng:
Tất cả các trƣờng hợp có thể xảy ra là SS,SN, NS, NN . Mỗi một khả năng trong không gian mẫu có xác suất xảy ra là 1
4.
1 1 1 1 1
P A ;P B ;P C
4 4 4 2 4.
Bài toán 2.7. Có bốn HS Xuân, Hạ, Thu, Đông. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 bạn để làm ban cán sự lớp (lớp trƣởng, lớp phó, bí thƣ)?
Lời giải sai của HS:
Số cách chọn 3 trong 4 bạn vào ban cán sự lớp là: 3 4
C 4 cách
Nguyên nhân sai lầm của HS:
Bài toán này có sự sắp xếp giữa các chức vụ, HS cần dùng công thức chỉnh hợp để tính. Vì HS chƣa hiểu kỹ về công thức chỉnh hợp tổ hợp nên dẫn đến không biết khi nào dùng tổ hợp khi nào dùng chỉnh hợp.
Biện pháp khắc phục:
GV chỉ ra lỗi sai bằng cách đƣa ra câu hỏi: Nếu thay đổi chức vụ lớp trƣởng, lớp phó, bí thƣ của từng bạn thì cách lựa chọn có thay đổi không? Nếu thay đổi thứ tự mà thay đổi kết quả thì cần dùng chỉnh hợp.
Cách giải đúng:
Số cách chọn 3 bạn trong 4 bạn làm ban cán sự lớp là chỉnh hợp chập 3 của 4: 3
4
A 24 cách chọn.
Bài toán 2.8. Một bài thi tố nghiệp môn Toán có 50 câu trắc nghiệm. Mỗi câu có 4 phƣơng án trả lời đúng. Nếu trả lời đúng thì đƣợc 0,2 điểm. Bạn Khoa không học bài và muốn tránh điểm điểm dƣới 2, bạn quyết định chọn ngẫu nhiên đáp án để trả lời. Tính xác suất để Khoa đƣợc đúng 2 điểm
Lời giải sai của HS:
Xác suất để chọn đúng 1 câu là 1 4. Vậy xác suất đề chọn đúng 10 câu sẽ là
10 1 4 .
Nguyên nhân sai lầm của HS:
Các em chƣa để ý đến 40 câu còn lại. Để Khoa đƣợc đúng 2 thì phải khoanh đúng 10 câu và 40 câu còn lại phải là câu sai. HS chƣa tính xác suất sai cho 40 câu còn lại.
Các em cũng chƣa tính số cách để chọn ra 10 câu làm đúng trong 50 câu.
Biện pháp khắc phục:
GV chỉ ra lỗi sai và hƣớng dẫn HS suy nghĩ bài toán bằng cách tự đặt câu hỏi cho bản thân mình, cho bạn bè hoặc cho GV. Khuyến khích HS nên suy nghĩ bài toán theo bƣớc.
Bƣớc 1: Chọn ra 10 câu đúng trong 25 câu . Bƣớc 2: Tính xác suất để 10 câu đó đúng. Bƣớc 3: Tính xác suất để 40 câu còn lại sai.
Cách giải đúng:
Xác suất để chọn đúng là 1
4, xác suất để chọn sai là 3 4. Số cách chọn ra 10 câu đúng trong 50 câu là 25
50 C . Xác suất để làm đúng 10 câu là 10 1 4 . Xác suất để 40 câu còn lại sai là
40 3 4 . Vậy xác suất để Khoa đƣợc đúng 2 điểm là:
10 40 25 50 1 3 C . . 4 4 .
Bài toán 2.9 Tám ngƣời ngẫu nhiên đƣợc xếp vào một bàn tròn , trong đó có một cặp vợ chồng. Tính xác suất để cặp vợ chồng đó đƣợc ngồi cạnh nhau.
Lời giải sai của HS:
Để 1 vợ chồng ngồi cạnh nhau ta coi 2 ngƣời là 1 vị trí. Nhƣ vậy trên bàn tròn lúc này có 7 vị trí cần sắp xếp. Số cách sắp xếp là hoán vị của 7 và bằng: 7!
Nguyên nhân sai lầm của HS:
Thứ nhất là chƣa đổi chỗ cho 2 vợ chồng.
Thứ hai là số cách xếp 7 ngƣời lên một bàn tròn không phải là hoán vị của 7.
Biện pháp khắc phục:
Phân biệt giữa cách sắp xếp chỗ ngồi trên bàn tròn và cách xếp chỗ ngồi trên ghế thẳng.
Nhắc lại số cách xếp n ngƣời vào một bàn tròn: Khi xếp vào bàn tròn, 2 cách sắp xếp mà bị thay đổi bởi phép quay thì coi nhƣ là một cách. Nên cố định 1 ngƣời vậy thì ta phải sắp cho n – 1 ngƣời còn lại. Có (n-1)! Cách.
Lời giải đúng:
Coi nhƣ 2 vợ chồng là 1 vị trí. Ta cố định 2 vợ chồng tại một vị trí. Số cách xếp 6 ngƣời còn lại vào bàn tròn là 6!.
2 vợ chồng có thể đổi vị trí cho nhau: có 2 cách
Vậy cố cách sắp xếp để 2 vợ chồng ngồi cạnh nhau là: 6!.2. Số cách để xếp 8 ngƣời vào bàn tròn là 7!.
Xác suất để 2 vợ chồng ngồi cạnh nhau là 2.6! 0, 2875
7! .
Bài toán 2.10. Một lớp học có 30 HS, trong đó gồm 8 HS giỏi, 15 HS khá và 7 HS trung bình. Ngƣời ta muốn chọn ngẫu nhiên 3 em để đi dự Đại hội. Tính xác suất để có ít nhất một HS giỏi.
Chọn 3 HS trong 30 HS thì có 3 30 C cách. Chọn trƣớc 1 HS giỏi thì có 1 8 C 8 cách. Còn 2 còn lại ta có thể chọn tùy ý. Có 2 29 C . Vậy xác suất để có ít nhất một HS giỏi là
2 29 3 30 C .8 4 C 5.
Nguyên nhân sai lầm của HS:
HS nếu làm theo cách này thì số cách chọn bị trùng lặp rất nhiều.
Do suy nghĩ của các em chƣa sâu, chƣa tự đặt ra những câu hỏi hoài nghi chính cách giải của mình
Biện pháp khắc phục:
Ví dụ cho HS thẩy rằng, nếu nhƣ bạn HS giỏi đƣợc chọn ban đầu là A, 2 bạn còn lại có thể chọn vào 1 bạn HS giỏi khác là B. Trƣờng hợp này trùng với trƣờng hợp bạn HS giỏi ban đầu đƣợc chọn là B, bạn HS giỏi lúc sau đƣợc chọn là A. Tuy nhiên lại bị tính thành 2 cách.
Lời giải đúng:
Chọn 3 HS tùy ý trong 30 bạn có 3 30
C cách.
Chọn 3 HS đi tham dự Đại hội trong đó không có HS giỏi có C . 322 Số cách chọn HS đi Đại hội mà có ít nhất 1 HS giỏi là 3 3
30 22 C C . Xác suất thỏa mãn đề là 3 3 30 22 3 30 C C 0,6207 C .
Bên cạnh việc dự kiến đƣợc các sai lầm của HS, để giúp các em nhận ra các sai lầm và sửa chữa GV cần tăng cường những bài tập giúp HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán.
Không chỉ là để HS tự phát hiện ra lỗi sai trong bài giải của mình hay từ bài của các HS khác, GV cần chủ động tạo ra những bài toán mà dự đoán trƣớc đƣợc sai lầm mà HS có thể mắc phải, hoặc đƣa ra lời giải sai lầm để HS phát
hiện cái sai trong đó. Một GV có kinh nghiệm có thể tận dụng bài giải sai của HS để tạo điều kiện cho HS khác tỉm hiểu trao đổi, tiếp thu thêm kiến thức.
Khi đƣa các bài giải mà chứa các yếu tố sai lầm, GV cần yêu cầu HS giải quyết những câu hỏi sau:
- Bài toán này đƣợc giải đúng hay sai? - Nếu sai thì sai ở chỗ nào?
- Hãy giải đúng lại bài toán đó.
Trong nhiều trƣờng hợp , ta chỉ cần nhìn lời giải sai và chỉnh sửa vài ý cỉa lời giải sai đó sẽ ra đƣợc bài toán đúng. Tuy nhiên có những lời giải sai về bản chất, sai về đƣờng lối, sai về khái niệm thì ngoài việc chỉ ra sai sót, HS còn cần phải hiểu đúng hết về bản chất, tìm lại đƣờng lối giải đúng đắn từ đầu. GV có thể tổ chức hoạt động nhóm để HS trao đổi thảo luận tìm ra những cái sai, tìm ra cách để không mắc phải lỗi sai đó nữa.
Dƣới đây là một số lời giải có sai lầm mà GV có thể cho HS xem xét, đánh giá và sửa lại dựa trên 3 yêu cầu chính: Lời giải này có đúng không?; Nếu sai thì sai ở đâu?; Sửa lại cho đúng hoặc giải lại cho đúng. . GV có thể cho phiếu bài tập riêng hoặc cho thảo luận theo nhóm, mỗi nhóm lên trình bày phát biểu ý kiến của mình, các nhóm còn lại có quyền phản biện lại.
Sai lầm do hiểu sai khái niệm chỉnh hợp tổ hợp. Tổ hợp và chỉnh hợp là hai khái niệm mà HS rất dễ nhầm lẫn khi mới đƣợc tiếp cận. Một công thức là chọn có sắp xếp thứ tự, một công thức là chọn không sắp xếp thứ tự nhƣng với HS mới tiếp cận sẽ dễ bị rối hai công thức này với nhau.
Bài toán 2.11. Lớp 11A có 40 HS, trong đó có 20 HS nam. Có bao nhiêu cách bầu ra ban cán sự lớp gồm. bạn: 1 nam và 1 nữ.
GV có thể đưa ra cách giải sai lầm như sau:
Lời giải sai số 1:
Theo quy tắc cộng ta có số cách bầu ra ban cán sự lớp gồm 1 nam và 1 nữ là: 20 + 20 = 40 (cách)
Cách giải trên sai lầm do hiểu sai bản chất của quy tắc cộng và quy tắc nhân. Việc chọn ban cán sự chia làm 2 công đoạn: công đoạn 1 là chọn bạn nam, công đoạn 2 là chọn bạn nữ. Dùng quy tắc nhân ta có số cách chọn ban cán sự lớp là 20.20=400 cách
Lời giải sai số 2:
Chọn 1 nam 1 nữ tức là chọn 2 bạn trong tổng 40 bạn. Vậy số cách chọn thỏa mãn đề là 2
40
C 780 cách.
Lời giải này sai ở chỗ nếu quy về chọn 2 bạn trong tổng 40 bạn thì không phân biệt nam nữ nữa, thừa rất nhiều trƣờng hợp. Ví dụ nhƣ chọn 2 nam trong 50 bạn cũng đƣợc tính vào trong khi đề chỉ yêu cầu chọn 1 nam và 1 nữ. Ta có thể sử dụng phƣơng pháp phần bù ở đây. Lấy số cách chọn 2 bạn trong 40 bạn trừ đi số cách chọn 2 bạn nam và trừ đi số cách chọn 2 bạn nữ:
2 2 2
40 20 20
C C C 400 cách
Sai về phương pháp giải toán. Đây là cái sai do HS đi nhầm đƣớng lối giải toán. Để sửa sai lầm này bắt buộc phải đi tìm một đƣớng lối khác đúng đắn hơn.
Bài toán 2.12. Cho 10 ngƣời ngồi trên 10 cái ghế, xung quanh có một bàn tròn, trong đó có 4 HS nữ và 6 HS nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không có hai HS nữ nào ngồi cạnh nhau?
GV có thể đưa ra cách giải sai lầm như sau:
Trƣớc khi tính số cách sắp xếp sao cho không có hai HS nữ nào ngồi cạnh nhau ta tính số cách sắp xếp sao cho mỗi HS nữ đều ngồi cạnh một HS nam khác.
Số cách chọn 2 HS nữ bất kỳ có sắp thứ tự là 2 4 A .
cho 2 cặp HS nữ này. Vậy có 2 5
C cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp HS nữ.
6 HS nam còn lại đƣợc xếp tùy ý giữa các HS nữ, cố định vị trí của một HS nam thì 5 HS nam còn lại có 5! Cách xếp vòng tròn. Vậy số cách xếp để mỗi HS nữ đều ngồi cạnh HS nữ khác là:
2 2 4 5
A .C .5! 14400 cách.
MÀ có 9! Cách xếp chỗ cho 10 ngƣời quanh 1 bàn tròn. Vậy số cách xếp 2 HS nữ không cạnh nhau là:
9! 14400 348480 .
Đối với lời giải này, GV có thể trình chiếu lên máy chiếu để cả lớp có thể quan sát và bàn luận. GV hỏi ý kiến các HS trong lớp xem cách giải này