6. Cấu trúc của luận văn
2.3.1. Biện pháp 1: Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh lớp 4,5 thông
học sinh lớp 4, 5 thông qua dạy học yếu tố hình học
2.3.1. Biện pháp 1: Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh lớp 4, 5 thông qua dạy học yếu tố hình học qua dạy học yếu tố hình học
2.3.1.1. Mục đích biện pháp
Nhằm đáp ứng những yêu cầu của việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh được quy định tại Chương trình Giáo dục Phổ thông môn Toán 2018 (Mục 1.1.3 - Chương 1), giúp HS thực hiện được các thao tác tư duy với mức độ đơn giản, đặc biệt biết quan sát và tìm kiếm sự tương đồng hoặc khác biệt trước những tình huống quen thuộc và mô tả được kết quả của việc quan sát. Đồng thời rèn luyện cho học sinh khả năng đưa ra những chứng cứ, lí lẽ và trả lời được các câu hỏi khi lập luận giải quyết vấn đề toán học. Ở biện pháp này, chúng tôi tổ chức các hoạt động dạy học rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh lớp 4, 5 thông qua việc khai thác “Phương pháp diện tích”. Phương pháp diện tích là một phương pháp giải toán ở Tiểu học, dùng để giải các bài toán về diện tích mà không sử dụng trực tiếp các công thức về diện tích các hình.
2.3.1.2. Nội dung và cách thực hiện biện pháp
Ví dụ 2.1. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 200cm2. Kéo dài AB một đoạn BM bằng AB; BC một đoạn CN bằng BC và CA một đoạn AP bằng AC. Nối các điểm M, N, P. Tính diện tích tam giác MNP?
Phân tích:
Ở ví dụ này, GV có thể rèn luyện các thao tác tư duy để phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho HS thông qua các hoạt động cụ thể dưới đây:
+ Hướng dẫn học sinh sử dụng thao tác phân tích để tóm tắt bài toán và vẽ hình:
Bài toán cho biết:
Diện tích tam giác ABC bằng 200cm2.
Các điểm A, B, C lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CP, AM, MN. Bài toán yêu cầu:
Tính diện tích tam giác MNP? Hình vẽ:
+ Yêu cầu HS sử dụng các thao tác tư duy (phân tích, so sánh, tổng hợp,...) đề xuất phương án tính diện tích tam giác MNP?
+ Kết quả mong đợi:
Phương án 1: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác.
Phương án 2: Tìm mối quan hệ giữa diện tích tam giác MNP cần tìm với diện tích tam giác ABC đã cho.
+ GV hướng dẫn HS sử dụng các thao tác phân tích, so sánh, tương tự
vào xem xét tính khả thi của mỗi phương án đã đề xuất. + Kết quả mong đợi:
Ở phương án 1: Với dữ kiện bài toán cho, HS gặp khó khăn khi tìm độ dài chiều cao và cạnh đáy của tam giác cần tìm MNP.
Ở phương án 2: Thông qua việc sử dụng thao tác phân tích, so sánh học sinh dễ dàng nhận thấy để tính được diện tích tam giác MNP HS cần tính
được diện tích các tam giác thành phần PAN, MBC, NCP. Từ đó, học sinh có nhu cầu tìm mối quan hệ giữa diện tích các tam giác thành phần với diện tích tam giác ABC? Đến đây, giáo viên có thể hướng dẫn HS sử dụng thao tác phân tích, so sánh để tìm mối quan hệ thông qua một số câu hỏi gợi mở như sau:
GV hướng dẫn HS nối B với P và so sánh diện tích tam giác BAP với diện tích tam giác BAC (so sánh độ dài chiều cao xuất phát từ B và độ dài 2 cạnh đáy AP, AC).
+ Kết quả mong đợi:
HS dễ dàng nhận thấy: diện tích tam giác BAP bằng diện tích tam giác BAC. Bằng thao tác so sánh và tương tự, HS cũng dễ dàng rút ra được một số nhận xét dưới đây:
Diện tích tam giác PBA bằng diện tích tam giác PBM.
Từ đó, suy ra diện tích các tam giác PAM, MBC và PCN cùng gấp 2 lần diện tích tam giác ABC.
Sử dụng thao tác tổng hợp HS nhận thấy diện tích tam giác MNP cần tìm gấp 7 lần diện tích tam giác ABC và bằng 1400 cm2 (HS đã giải quyết xong vấn đề).
GV hướng dẫn HS sử dụng thao tác tổng hợp để trình bày lời giải bài toán:
Ta có:
Diện tích tam giác BAP bằng diện tích tam giác BAC (Chung đường cao hạ từ đỉnh B và AP = AC).
Diện tích tam giác PBA bằng diện tích tam giác PBM (Chung đường cao hạ từ đỉnh P và BA = BM).
Suy ra, diện tích các tam giác PAM gấp 2 lần diện tích tam giác ABC. Hoàn toàn tương tự, ta cũng có:
Diện tích các tam giác MBC và PCN cũng gấp 2 lần diện tích tam giác ABC. Vậy: dtMNP = dtPAM + dtMBC + dtPCN + dtABC = 7 x dtABC = 7 x 200 = 1400 (cm2)
Đáp số: 1400 cm2
Để rèn luyện cho HS các thao tác tư duy, sau khi giải quyết xong ví dụ 2.1 chúng tôi tiếp tục yêu cầu HS giải quyết tình huống trong ví dụ 2.2 dưới đây:
Ví dụ 2.2. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 200 cm2. Kéo dài AB một đoạn BM bằng AB; BC một đoạn CN bằng BC; CD một đoạn DI bằng CD; DA một đoạn AK bằng AD. Nối M, N, I, K. Tính diện tích tứ giác MNIK?
Phân tích:
Từ việc phân tích, tìm hướng giải quyết vấn đề trong ví dụ 1 của học sinh, ở ví dụ 2.2 này GV có thể tổ chức các hoạt động dạy học để rèn luyện các thao tác tư duy cho các em như sau:
+ GV yêu cầu HS sử dụng thao tác phân tích để tóm tắt bài toán và vẽ hình: Bài toán cho biết:
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng 200cm2.
Các điểm A, B, C, D lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng DK, AM, BN, CI.
Tính diện tích tứ giác MNIK? Hình vẽ:
+ GV hướng dẫn HS sử dụng các thao tác tư duy tự đề xuất và lý giải hướng giải quyết mà mình đưa ra. Cụ thể như sau:
- Sử dụng thao tác so sánh và tương tự học sinh tự rút ra được: diện tích các tam giác KAM, MBN, NCI, IDK cùng bằng diện tích hình chữ nhật ABCD (theo kết quả ví dụ 2.1).
- Sử dụng thao tác tổng hợp HS nhận thấy diện tích tứ giác MNIK cần tìm gấp 5 lần diện tích hình chữ nhật ABCD và bằng 1000 cm2 (Học sinh đã giải quyết xong vấn đề).
GV yêu cầu HS sử dụng thao tác tương tự và tổng hợp để trình bày lời giải bài toán:
Ta có:
Diện tích tam giác BAD bằng diện tích tam giác BAK (Chung đường cao hạ từ đỉnh B và AD = AK).
Diện tích tam giác KAB bằng diện tích tam giác KBM (Chung đường cao hạ từ đỉnh K và BA = BM).
Suy ra, diện tích các tam giác KAM biện tích hình chữ nhật ABCD (cùng gấp 2 lần diện tích tam giác BAD).
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có: Diện tích các tam giác MBN, NCI và IDK cũng bằng diện tích hình chữ nhật ABCD.
= 5 x dtABCD = 5 x 200 = 1000 (cm2) Đáp số: 1000 cm2
Sau khi HS đã hoàn thành ví dụ 2.1 và ví dụ 2.2 chúng tôi tiếp tục hướng dẫn HS khai thác “Phương pháp diện tích” giải quyết tình huống trong ví dụ 2.3 dưới đây để rèn luyện các thao tác tư duy cho các em. Cụ thể thư sau:
Ví dụ 2.3. Cho hình thang ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau
tại O. Biết diện tích tam giác AOB bằng 4 dm2 và diện tích tam giác COD bằng 16 dm2. Tính diện tích hình thang ABCD?
Ở ví dụ này, GV có thể rèn luyện các thao tác tư duy (phân tích, so sánh, tổng hợp,...) cho HS thông qua các hoạt động cụ thể dưới đây:
+ GV hướng dẫn HS sử dụng thao tác phân tích tóm tắt bài toán và vẽ hình: Bài toán cho biết:
ABCD là hình thang.
Diện tích tam giác AOB bằng 4 dm2. Diện tích tam giác COD bằng 16 dm2. Bài toán yêu cầu:
Tính diện tích hình thang ABCD? Hình vẽ:
+ GV hướng dẫn HS sử dụng “Phương pháp diện tích” để tính diện tích hình thang thông qua một số hoạt động dưới đây:
Hoạt động 1: GV yêu cầu HS sử dụng thao tác phân tích và so sánh để rút ra nhận xét về diện tích của 2 tam giác DOA và COB?
Kết quả mong đợi:
Sử dụng thao tác phân tích và so sánh học sinh lập luận và lý giải được: diện tích tam giác DAB bằng diện tích tam giác CAB, vì chúng có cùng cạnh đáy là AB và hai đường cao hạ từ D và C bằng nhau (cùng bằng chiều cao hình thang ABCD).
Đến đây, HS tiếp tục sử dụng thao tác phân tích, so sánh và lập luận rút ra được diện tích tam giác DOA bằng diện tích tam giác COB (vì chúng cùng thêm vào phần chung (diện tích tam giác AOB) được hai tam giác có diện tích bằng nhau).
Hoạt động 2: GV hướng dẫn HS sử dụng thao tác phân tích, so sánh và tương tự để rút ra được nhận xét: diện tích tam giác DOA gấp 2 lần diện tích tam giác AOB thông qua các hoạt động thành phần dưới đây:
GV hướng dẫn HS kẻ 2 đường cao AH và CK như hình vẽ.
Từ diện tích tam giác DOA bằng diện tích tam giác COB, giáo viên giúp HS khai thác, rút ra tỉ số: CK OD (1)
AH = OB
Từ giả thiết, diện tích tam giác COD bằng 4 lần diện tích tam giác AOB, GV giúp HS khai thác, rút ra tỉ số: CK 4.OB (2)
AH = OD
Từ (1) và (2), rút ra: CK = 2 x AH hay OD = 2 x OB (do: dtAOD = dtCOB). Suy ra: dtAOD = 2 x dtAOB (cùng chiều cao và cạnh đáy có độ dài gấp đôi).
GV hướng dẫn HS sử dụng thao tác tổng hợp trình bày lời giải: Ta có:
dtDAB = dtCAB (cùng cạnh đáy, độ dài đường cao cùng bằng chiều cao hình thang ABCD)
Suy ra dtDOA = dtCOB (2 tam giác có diện tích bằng nhau cùng bớt đi 1 phần chung)
Kẻ 2 đường cao AH và CK như hình vẽ, ta có:
AH x OD = CK x OB hay CK OD (1)
AH = OB
Từ giả thiết, dtCOD = 4 x dtAOB, ta có:
CK x OD = 4 x AH x OB hay CK 4.OB (2)
AH = OD
Từ (1) và (2), rút ra: CK = 2 x AH hay OD = 2 x OB (do: dtAOD = dtCOB). Suy ra: dtAOD = 2 x dtAOB = 8 (dm2)
Vậy: dtABCD = dtAOD + dtBOC + dtCOD + dtAOD = 4 + 8 + 16 + 8 = 36 (dm2)
Từ các ví dụ 2.1; 2.2 và 2.3 GV hướng dẫn HS sử dụng thao tác tư duy khái quát hóa đưa ra một số tính chất khi sử dụng “Phương pháp diện tích” để tính diện tích các hình không sử dụng trực tiếp các công thức như sau:
1. Nếu 1 hình được chia ra làm các hình nhỏ thì tổng diện tích của các hình nhỏ bằng diện tích của hình lớn ban đầu.
2. Nếu ta ghép các hình nhỏ lại để được 1 hình lớn thì diện tích của hình lớn thu được bằng tổng diện tích của các hình nhỏ đem ghép lại.
3. Nếu 2 hình có diện tích bằng nhau cùng bớt đi một phần chung thì 2 phần còn lại cũng có diện tích bằng nhau.
4. Nếu ta thêm vào 2 hình có diện tích bằng nhau 1 phần chung thì ta nhận được 2 hình có diện tích bằng nhau.
5. Khi số đo cạnh đáy không đổi thì diện tích và chiều cao của 1 tam giác là 2 đại lượng tỉ lệ thuận.
6. Khi số đo diện tích không đổi thì số đo cạnh đáy và chiều cao của 1 tam giác là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.
7. Khi số đo chiều cao không đổi thì số đo diện tích và số đo cạnh đáy là hai đại lượng tỉ lệ thuận.