Dạy học các định lí trong chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

8. Cấu trúc của luận văn

2.2.2. Dạy học các định lí trong chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

phẳng theo hướng phát huy tính tích cực và sáng tạo

2.2.2.1. Những yêu cầu khi dạy học định lí toán học

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [10]:“Các định lý cùng với các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo đức”.Việc dạy học các định lý toán học nhằm đạt được các yêu cầu sau:

- Học sinh nắm được hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.

- Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy được chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học.

- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên mức độ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình phổ thông.

1 9 25 2 2  y x

2.2.2.2. Hoạt động phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh trong quá trình học định lí trong chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Hoạt động học tập tích cực và sáng tạo của học sinh trong quá trình học định lí trong chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề

- Học sinh tiếp cận tình huống có vấn đề chứa đựng nội dung của định lí. - Học sinh phân tích, so sánh, khái quát hóa, lật ngược vấn đề... để dự đoán, phát hiện nội dung định lí và phát biểu định lí.

Buớc 2: Tìm giải pháp

Học sinh suy ngược, suy xuôi, phân tích, so sánh, đặc biệt hóa, qui lạ về quen, huy động tri thức...để tìm ra giải pháp chứng minh định lí.

Bước 3: Trình bày giải pháp

Học sinh trình bày lại toàn bộ quá trình từ việc phát biểu định lí cho tới giải pháp chứng minh định lí dưới sự hướng dẫn của giáo viên.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - Biết nhận dạng và thể hiện định lí.

- Biết vận dụng định lí vào giải các bài tập toán học có liên quan.

- Biết phát biểu định lí bằng lời lẽ của mình và diễn đạt nội dung định lí dưới dạng những ngôn ngữ khác nhau.

- Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá...để tìm ra các tính chất mới và các ứng dụng khác của định lí.

Ví dụ 2.7: Dạy học nội dung “Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” theo hướng phát huy tính tích cực sáng tạo của học sinh

a) Mục tiêu:

- Học sinh hiểu và nhớ công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

- Tính được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng b) Phương pháp:

- Vận dụng phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm. - Thuyết trình kết hợp với vấn đáp gợi mở

c) Chuẩn bị:

GV: Giáo cụ, bảng biểu, phiếu học tập.

Phiếu học tập 1

Phiếu học tập 2

HS: Chuẩn bị SGK, bảng phụ, phân công nhiệm vụ các thành viên trong nhóm d) Tiến hành:

GV: Chia lớp thành 8 nhóm, nhóm 1, 3, 5, 7 làm các câu hỏi trong phiếu học tập 1, nhóm 2, 4, 6, 8 làm câu hỏi trong phiếu học tập 2.

Dự kiến kết quả trả lời tốt nhất của học sinh: Phiếu học tập số 1

Câu 1: Học sinh xác định được hình chiếu M0của M trên đường thẳngvà suy ra được khoảng cách từ M đến đường thẳng là MM0

Câu 2: Học sinh xác định được MM0

cùng phương với vectơ pháp tuyến n

của đường thẳng  nên MM0 tn

do đó MM0=t a2 b2

Phiếu học tập số 2: Câu 1: Học sinh xác định được hình chiếu M0của M trên đường thẳngvà suy ra được khoảng cách từ M đến đường thẳng là MM0

Câu 1: Nêu cách xác định khoảng cách từ một điểm cho trước đến một đường thẳng cho trước.

Câu 2: Cho đường thẳng: ax by c  0và điểmM x y0( ;0 0),M x y( ; )

0

MM  . Chứng minh: MM0=t a2b2

Câu 1: Nêu cách xác định khoảng cách từ một điểm chó trước đến một đường thẳng cho trước.

Câu 2: Cho đường thẳng: ax by c  0và điểmM x y0( ;0 0),M x y( ; )

0

Hình 2.2 Câu 2: Do MM0 nên 0 0 0 x x ta MM tn y y tb             (1), M x y( ; ) thay (1) vào

phương trình đường thẳng ta suy ra được 0 0

2 2 ax by c t a b    

GV: Sau khi các nhóm thực hiện xong yêu cầu của giáo viên. Các nhóm cùng phiếu học tập sẽ nhận xét lẫn nhau. Sau đó giáo viên treo kết quả của bảng phụ chuẩn bị trước cùng với kết quả của các nhóm giáo viên cho học sinh rút ra công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước

0 0 2 2 ( , ) ax by c d M a b      .

GV cũng cố kiến thức hướng dẫn học sinh vận dụng giải bài tập

Bài tập: Cho điểm M(3;5) và đường thẳng ∆:3x4y40. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆

HS: tóm tắt bài toán:

Giả thiết: Cho M(3;5) và đường thẳng ∆:3x4y40

Kết luận: Tính d(M;∆)

GV: hướng dẫn học sinh phân tích bài toán

- Muốn tính được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ta cần? -> Biết được tọa độ của điểm và phương trình tổng quát của đường thẳng.

x y O n M M0

- Bài toán đã cho biết điểm và phương trình tổng quát của đường thẳng chưa? -> đề bài cho rồi nên ta chỉ cần áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm ( M; M) M x y đến đường thẳng ∆: axby c 0là 2 2 ( , ) axM byM c d M a b      GV: hướng dẫn học sinh giải bài toán:

Theo giả thiết ta có điểm M(3;5) và đường thẳng ∆:3x4y40

Vậy ( , ) 3.3 4.5 4 15 3 5 9 16

d M      



Ví dụ 2.8: Dạy học nội dung Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo hướng phát huy tính tích cực sáng tạo của học sinh

a) Mục tiêu:

- Học sinh hiểu và nhớ công thức tính góc giữa hai đường thẳng. - Tính được góc giữa hai đường thẳng

b) Phương pháp:

- Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề . - Thuyết trình kết hợp với vấn đáp gợi mở

c) Chuẩn bị:

GV: Giáo cụ, bảng biểu. HS: Chuẩn bị SGK, bảng phụ. d) Tiến hành:

GV nêu bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I và các cạnh AB=1, AD= 3. Tính số đo các góc AID và DIC

Hình 2.3

B

I

C

a) Hiểu vấn đề: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I và các cạnh AB=1, AD= 3, vấn đề đặt ra là học sinh tính được các góc và

b) Đề xuất giải pháp giải quyết vấn đề: Học sinh sử dụng năng lực suy diễn nhận biết được các tam giác vuông biết trước độ dài hai cạnh, huy động các kiến thức về đường chéo hình chữ nhật, góc của tam giác đều, từ đó đề xuất được giải pháp giải quyết vấn đề: Tính độ dài ID, IC suy ra góc và

c) Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề: Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề d). Phát triển vấn đề: Qua quá trình giải quyết bài toán trên để hiểu sâu sắc hơn và nắm được dạng bài toán trên học sinh tiến hành thêm, bớt và thay đổi dữ kiện để xây dựng bài toán mới

GV nhận xét kết quả hoạt động của học sinh, sau đó giới thiệu góc giũa hai đường thẳng.

GV: Hai đường thẳng 1và 2cắt nhau tạo thành bốn góc. Nếu 1 không vuông góc với 2 thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng 1và 2. Nếu 1vuông góc với 2thì ta nói góc giữa 1và 2bằng 900. Trường hợp 1và 2song song hoặc trùng nhau thì ta qui ước góc giữa1và 2

bằng 00. Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900. Góc giữa hai đường thẳng1và 2 được kí hiệu là (1

, 2) hoặc (1, 2) Cho hai đường thẳng

1:a x1 b y1 c1 0

   

2:a x2 b y2 c2 0

Hình 2.4

Đặt    ( 1, 2) thì ta thấy bằng hoặc bù với góc giữa n1

và n2

trong đó n1

,n2

lần lượt là vectơ pháp tuyến của 1và 2.

Vì cos 0nên ta suy ra 1 2 1 2

1 2 . cos cos( ,n n ) n n n n          Vậy 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos . a a b b a b a b      - Chú ý: *    1 2 n1 n2  a a1 2 b b1 2 0   * Nếu 1và 2có phương trình yk x1 m1và yk x2 m2    1 2 k k1. 2  1

Bài tập: Cho hai đường thẳng d1: -3x + 2y - 12 = 0; d2: x - 5y + 4 = 0. Tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 .

HS: Tóm tắt bài toán:

Cho đường thẳng d1 và d2 có dạng tổng quát. Từ hai đường thẳng đó ta có hai vectơ. pháp tuyến n1 và n2 Sử dụng công thức: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos( ,d d ) a a b b a b a b     n1 n2 φ φ 1 2

GV: Hướng dẫn học sinh cách giải bài toán:

Ta thấy d1 có vectơ pháp tuyến n1 ( 3; 2)

và d2 có vectơ pháp tuyến 2 (1; 5) n    Áp dụng công thức: 1 2 2 2 2 2 ( 3)1 5.2 13 1 cos( , ) 13 26 2 ( 3) 2 1 ( 5) d d          Vậy 0 1 2 (d d, )45

GV: Đưa ra các bước giải bài toán :

Tính góc giữa đường thẳng d1: a x b y c1  1  10; d2: a x b y c2  2  20 + Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là n1( ; )a b1 1

+ Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là n2 ( ;a b2 2)

+ Thay vào công thức 1 2 1 2

1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos( , ) a a b b d d a b a b    