8. Cấu trúc của luận văn
2.2.3. Dạy họcgiải bài tập trong chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
phẳng theo hướng phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
2.2.3.1. Những yêu cầu khi dạy họcgiải bài tập toán học
Trong môn Toán, bài tập có chức năng sau: - Chức năng dạy học.
- Chức năng phát triển. - Chức năng giáo dục. - Chức năng kiểm tra.
Hiệu quả của việc DH toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào khai thác và thực hiện đầy đủ các chức năng có thể của một bài tập mà người biên soạn SGK có ý chuẩn bị. Người GV có thể khám phá và thực hiện nội dung đó bằng năng lực sư phạm hay trình độ nghệ thuật của mình.
Các bài tập trong chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là môi trường tốt để HS rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy cơ bản như: phân tích, tổng hợp, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa…dưới sự hướng dẫn điều khiển của GV.
2.2.3.2. Hoạt động phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh trong quá trình giải bài tập trong chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Bước 1: Học sinh tìm hiểu kĩ nội dung bài toán, phân biệt được cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh. Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Bước 2: Xậy dựng chương trình giải. Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán. Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan. Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải. Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật nguợc vấn đề.
Ví dụ 2.9 Dạy học “Bài tập phương trình đường thẳng” theo hướng phát huy tính tích cực sáng tạo của học sinh.
a) Mục tiêu:
- Nắm được nắm được VTPT, VTCP của một đường thẳng.
- Lập được phương trình của đường thẳng dạng tổng quát và các dạng tồn tại của phương trình đường thẳng.
- Tìm được các yếu tố liên quan trong tam giác. b) Phương pháp:
- Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề - Thuyết trình kết hợp với vấn đáp gợi mở.
GV: Giáo cụ, bảng biểu, phiếu học tập.
HS: Chuẩn bị SGK, bảng phụ, phân công nhiệm vụ các thành viên trong nhóm d) Tiến hành:
Hoạt động 1: Xác định tọa độ đỉnh của tam giác.
Bài 1.1 Trong hệ trục tọa độ Oxy, choABC, biết A = (1;2), hai đường cao có phương trình lần lượt (d): xy0 và (d’): 2xy 1 0
Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ∆
Hình 2.4
GV: Vị trí tương đối của điểm A với hai đường thẳng (d), (d‘) đã cho. HS: A không thuộc (d), (d').
GV: Không mất tính tổng quát gọi (d) là đường cao qua B, (d') là đường cao qua C. Hãy phát hiện xem B là giao điểm của hai đường thẳng nào?
HS: C là giao điểm của (d’) và đường thẳng đi qua A, vuông góc với (d) . GV: Hãy tìm tọa độ điểm C theo phương hướng đã phát hiện ở trên.
HS: Do (d)AC nên AC có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến nd (1; 1) . AC qua A, có VTCP là nd (1; 1) có phương trình AC là: 1 2 1 1 x y . Vì C=AC (d’), giải hệ AC và (d’) có C=(-2;5)
GV: Việc tìm tọa độ điểm B có thể làm tương tự như tìm C hay không? HS: Có Cụ thể như sau : B C A d d'
Tương tự có phương trình AB là: xy 3 0. B = AB (d), giải hệ AB và (d) có B = (3 ;3).
GV: Nếu thay đổi vai trò của hai đường thẳng (d) và (d') trong bài toán trên, chẳng hạn như dưới đây thì việc tính tọa độ của B và C sẽ như thế nào?
+ (d) và (d') là hai đường trung tuyến. + (d) và (d') là hai đường phân giác.
+ (d) là đường trung tuyến và (d') là d đường phân giác . + (d) là đường trung tuyến và (d') là đường cao.
+ (d) là đường phân giác và (d') là đường cao.
Chúng ta cùng nhau giải quyết vấn đề này thông qua hoạt động nhóm. Giáo viên chia lớp thành 5 nhóm, sau đó phát phiếu học tập 1, 2, 3, 4, 5 lần lượt cho 5 nhóm. Mỗi nhóm thực hiện một dạng toán. Thời gian cho phép làm việc của mỗi nhóm là (7 phút), cụ thể như sau :
Phiếu học tập số 1
Bài 1.2 . Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ABC, biết A = (1;3) và hai trung tuyến có phương trình là :
(d): x3y 1 0 và (d'): y 1 0. Xác định tọa độ các đỉnh B, C. Phiếu học tập số 2
Bài 1.3. Cho ABC biết A = (2,4), hai đường phân giác trong qua B,C là (d): 2 0
xy và (d'): x3y60. Lập phương trình cạnh BC. Phiếu học tập số 3
Bài 1.4. Trong hệ trục tọa độ Oxy. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của ABC biết B = (2 ;-1), đường cao qua A là (d): 3x4y270và phân giác ngoài góc C là (d'): x2y 5 0
Phiếu học tập số 4.
Bài 1.5. Trong hệ trục tọa độ Oxy. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của ABC biết B = (1;2), phân giác trong góc A là (d): xy 3 0, trung tuyến qua C là (d'):
4 9 0
Phiếu học tập số 5.
Bài 1.6. Trong hệ trục tọa độ Oxy . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của ABC biết B = (1 ;2), đường cao qua A là (d): xy0, trung tuyến qua C là (d'):
2xy20
HS : thảo luận nhóm thực hiện phiếu học tập.
GV: Mỗi nhóm cử một bạn trình bày trước lớp về hướng giải quyết bài toán. HS: Các nhóm sau khi thảo luận, cử đại diện nhóm đứng lên trình bày .
HS: Cách tìm tọa độ hai đỉnh còn lại trong tam giác trong mỗi trường hợp trên như sau:
Nhóm 1: Trường hợp 1: (d) và (d') là hai đường trung tuyến.
Do A không thuộc (d) và (d'). Không mất tính tổng quát gọi (d) là đường trung tuyến qua B, (d') là đường trung tuyến qua C. Từ đó tìm tọa độ trọng tâm G
Viết phương trình (d), (d’) có dạng phương trình tham số. B(d), C(d'), nên tọa độ B, C biểu diễn theo các tham số t và t’. M trung điểm của BC, ta có đẳng thức vectơ nào liên hệ với G từ đó tìm tọa độ B, C.
Nhóm 2
Đối xứng điểm A qua (d) và (d') được M, NBC vậy cácABM, ACN là tam giác cân.
Từ đó tìm quan hệ giữa BC và MN.
Xác định M: AM (d) từ đó viêt phương trình AM. Nếu I là hình chiếu của A lên (d), thì tìm tọa độ của I, M. Tương tự tìm ta có phương trình AN.
Nếu J là hình chiếu của A lên AN thì tọa độ của J và N và pt cạnh BC.
Nhóm 3
Biết đường cao ta dựa vào yếu tố vuông góc, ta lập phương trình BC từ đó tìm tọa độ của C. Biết phương trình đường phân giác ngoài góc C, ta lấy đối xứng B qua (d') được DAC. Sử dụng tính chất phân giác.
Nếu I là hình chiếu của B lên (d') thì, tìm tọa độ của D. Từ đó tìm tọa độ các đỉnh A, C.
Nhóm 4
tham số .M là trung điểm của AB thì từ đó tìm tọa độ đỉnh A.
Biết phương trình đường phân giác trong của góc A (d), ta lấy đối xứng B qua (d') được DAC. Sử dụng tính chất phân giác.
Nếu I là hình chiếu của B lên (d') thì , tìm tọa độ của D. Từ đó tìm được phương trình AC và AD .
Nhóm 5
Biết đường cao ta dựa vào yếu tố vuông góc lập phương trình BC, từ đó tìm tọa độ của C.
Biết phương trình đường trung tuyến (d’) qua C, biểu diễn phương trình (d') dạng tham số .
M là trung điểm của AB thì từ hệ tọa độ của M tìm tọa độ đỉnh A và C.
BTVN
Dạng 1 : Biết một đỉnh và hai đường cao trong tam giác
BT1. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ABC, biết A = (3;1), hai đường cao có phương trình lần lượt (d): 3x2y180và (d'): x5y90. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác?
BT2. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ABC, biết A = (-1;5), hai đường cao có phương trình lần lượt (d): 2xy70và (d'): 3x2y170. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác?
BT3. Trong hệ trục tọa độ Oxy, choABC, biết B = (- 4; -5), hai đường cao có phương trình lần lượt (d): 5x3y40 và (d'): 3x8y130. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác?
BT4. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ABC, biết A = (1;0 ), hai đường cao có phương trình lần lượt (d): x2y 1 0 và (d'): 3xy 1 0. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác?
* Thay hai đường trung tuyến, ta có bài toán sau:
Dạng 2: Biết một đỉnh của tam giác và hai đường trung tuyến
BT5. Trong hệ trục tọa độ Oxy, choABC, biết A = (1;3) và hai trung tuyến có phương trình là : (d): x3y 1 0 và (d'): y 1 0. Xác định tọa độ các đỉnh B, C.
phương trình là :
(d): 8x5y460và (d'): x7y270. Xác định tọa độ các đỉnh B, C. Lập phương trình các cạnh của ABC. Tính diện tích ABC.
BT7. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ABC, biết A = (-1 ;5) và hai trung tuyến có phương trình là :
(d): 3x8y300và (d'): y40. Xác định tọa độ các đỉnh B, C. Lập phương trình các cạnh của ABC. Tính diện tích ABC.
* Thay hai đường cao bằng hai phân giác, ta có bài toán như sau:
Dạng 3: Biết một đỉnh của tam giác và hai đường phân giác
BT8 . Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ABC biết A = (2 ;4), hai đường phân giác trong qua B, C lần lượt là (d): xy20 và (d'): x3y 6 0. Viết phương trình cạnh BC của tam giác.
BT9 . Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho ABC biết A = (0;0), hai đường phân giác trong qua B, C là (d): 3xy40và (d'): x2y 3 0. Viết phương tŕnh các cạnh của của tam giác ABC.
BT10 . Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ABC biết A = (2;-1), hai đường phân giác trong qua B, C là (d): x2y 1 0 và (d'): xy 3 0. Viết phương trình cạnh các cạnh của của tam giác ABC.
Mặt khác thay hai đường cao bởi hai đường bất kỳ, chẳng hạn một đường cao, một trung tuyến, hay một đường cao một phân giác; một trung tuyến một phân giác ta có các bài toán sau:
Dạng 4: Biết một đỉnh của tam giác và một đường cao và một đường phân giác .
BT11. Trong hệ trục tọa độ Oxy. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của ABC biết
B (2; 1) , đường cao qua A là (d): 3x4y270và phân giác ngoài góc C là (d'): x2y 5 0.
BT12. Trong hệ trục tọa độ Oxy. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của ABC biết
A(2; 1) , đường cao qua C là (d): 5x2y40và phân giác trong của góc B là (d'):y 1 0.
A(3; 0), đường cao qua C là (d): 3x4y0và phân giác trong của góc B là (d'): 3x4y 1 0
Dạng 5: Biết một đỉnh của tam giác và một đường trung tuyến và một đường phân giác
BT14. Trong hệ trục tọa độ Oxy. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của ABC biết
B(1; 2), phân giác trong góc A là (d): xy 3 0, trung tuyến qua C là (d'):
4 9 0
x y .
BT15. Trong hệ trục tọa độ Oxy. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của ABC biết
A(3; 0), phân giác trong góc B là (d): 3x y40, trung tuyến qua C là (d'): 4x3y0
BT16. Trong hệ trục tọa độ Oxy. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của ABC biết
A(2; 1) , phân giác trong góc B là (d):y 1 0, trung tuyến qua C là (d'): 6x5y 3 0
Dạng 6: Biết một đỉnh của tam giác và một đường trung tuyến và một đường cao.
BT17. Trong hệ trục tọa độ Oxy . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của ABC biết
B(1; 2), đường cao qua A là (d): xy0, trung tuyến qua C là (d'): 2xy20.
BT18. Trong hệ trục tọa độ Oxy . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của ABC biết
A (3;1), đường cao qua B là (d): 3x2y180, trung tuyến qua C là (d'):
7 27 0
x y .
BT19. Trong hệ trục tọa độ Oxy. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của ABC biết
A ( 1; 5), đường cao qua B là (d): 2xy70, trung tuyến qua C là (d'): 4 0
y . GV: Như vậy, qua hệ thống bài toán trên ta thấy rõ sự vận động trong suy luận, nhìn vấn đề dưới góc độ vận động, ta được nhiều kết quả tương tự, nhờ đó có thể sáng tạo ra nhiều bài toán hay, phù hợp với nhận thức của học sinh.
Khi thay giả thiết của bài toán: trong tam giác biết một điểm đặc biệt như : trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ..và phương trình của 2 hai cạnh trong tam giác thì ta có bài toán ở hoạt động 2 sau :
Hoạt động 2(45 phút): Biết một điểm đặc biệt của tam giác và hai cạnh của tam giác
Chúng ta cùng nhau giải quyết vấn đề này thông qua hoạt động nhóm. Chia lớp thành 4 nhóm (mỗi nhóm gồm 2 bàn ngồi quay mặt vào nhau), phát phiếu học tập 1, 2, 3, 4 lần lượt cho 4 nhóm. Mỗi nhóm thực hiện một dạng toán.Cụ thể như sau : Phiếu học tập số 1
Bài 2.1. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có phương trình cạnh AB: 5x2y100, phương trình cạnh AC: 5x3y150. Trực tâm H (0 ; 6 )
Xác định tọa độ các đỉnh của ABC . Phiếu học tập số 2
Bài 2.2. Trong hệ trục tọa độ Oxy choABC có phương trình cạnh AB :
5 22 0
x y , phương trình cạnh AC: 4xy70. Trọng tâm G ( 1; 5 ) Xác định tọa độ các đỉnh của ABC .
Phiếu học tập số 3
Bài 2.3. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có phương trình cạnh AB: y 1 0, phương trình cạnh AC:x 1 0,Tâm đường tròn ngoại tiếp I ( 3; 5 )
Xác định tọa độ các đỉnh của ABC . Phiếu học tập số 4
Bài 2.4. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có phương trình cạnh AB:
3xy40, Trực tâm H(22 3; 22 3), rọng tâm G (2 2 3 2 2 3; )
3 3
.
Xác định tọa độ của đỉnh. Lập phương trình các cạnh AC, BC HS : Thảo luận nhóm thực hiện phiếu học tập.
GV: Mỗi nhóm cử một bạn trình bày trước lớp về hướng giải quyết bài toán. HS: Các nhóm sau khi thảo luận, cử đại diện nhóm đứng lên trình bày
HS: Cách tìm tọa độ hai đỉnh còn lại trong tam giác trong mỗi trường hợp trên như sau:
Nhóm 1:
Tìm tọa độ điểm A, vì BAB, CAC, biểu diễn B, C theo phương trình các cạnh theo một ẩn.
Nhóm 2:
Tìm tọa độ điểm A, vì BAB, CAC, biểu diễn B, C theo phương trình Biết trọng tâm G ta có công thức trọng tâm từ đó suy ra tọa độ B và C.
Nhóm 3:
Tìm tọa độ điểm A, vì BAB , CAC , biểu diễn B, C theo phương trình các cạnh theo một ẩn. Từ đó suy ra tọa độ B và C.
Nhóm 4:
Đường thẳng Ơle đi qua 3 điểm nào đặc biệt trong tam giác, ta có đẳng thức vectơ. Hình chiếu vuông góc của O trên AB là M (M là trung điểm của AB), tìm tọa độ của M. Biết tọa độ của M, G tìm tọa độ của C.
Từ OB=OC ta tìm được tọa độ của B, A.
Bài tập về nhà
Dạng 7: Biết hai cạnh và trực tâm của tam giác.
BT1. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có phương trình cạnh AB:x5y22 0 ,
phương trình cạnh AC: 4xy70. Trực tâm 3 23
H( ; )
19 19 Xác định tọa độ các đỉnh của ABC
ĐS: A(3 ;5) ; B(-7 ;3) ; C(1 ;-3).
Dạng 8: Biết hai cạnh và trọng tâm của tam giác.
BT2. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có phương trình cạnh AB : 5x2y100 phương trình cạnh AC: 5x3y150.Trọng tâm 1 5
G( ; ) 3 3 Xác định tọa độ các đỉnh của ABC.
ĐS: A(0;5); B(-2;0) ); C(3;0).
Dạng 9: Biết hai cạnh và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
BT3. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có phương trình cạnh AB: 3x y 4 0 phương trình AC: 3xy40. Tâm đường tròn ngoại tiếp O(0;0). Xác định tọa độ các đỉnh của ABC .
Dạng 10: Biết trực tâm, trọng tâm của tam giác và phương trình một cạnh của tam