Cách thức thực hiện - CẤU TRÚC LUẬN VĂN

8. CẤU TRÚC LUẬN VĂN

2.2.2.2. Cách thức thực hiện

- Khi giao bài tập cho HS, GV có thể gợi mở để định hướng cho HS trong quá trình giải bài tập này.

- Giao bài tập theo nhóm để HS tập luyện phân tích, giúp đỡ nhau trong học tập.

Ví dụ 2.5: Người ta dự định xây dựng 1 tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ, theo cấu trúc diện tích của mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là 12,28m2. Hãy giúp các bậc thầy nhà chùa ước lượng số gạch hoa cần dùng để lát nền nhà. Để cho đồng bộ các nhà sư yêu cầu nền nhà phải lát gạch hoa cỡ 30x30cm.

Vấn đề đặt ra:

Tính số lượng gạch hoa cần dùng để lát nền nhà. Mà số lượng gạch ấy lại phụ thuộc vào tổng diện tích mặt sàn của 11 tầng tháp. Do vậy vấn đề ở đây là phải tính được tổng diện tích sàn nhà của 11 tầng tháp.

Phương án giải quyết:

Nếu gọi S1 là diện tích của mặt đáy tháp thì S1=12,28 m2 Si là diện tích mặt trên của tầng thứ i .i=1,11

Ta nhận thấy {Si, .i=1,11} lập thành một cấp số nhân với công bội q= 2 1 Tổng diện tích mặt trên của 11 tầng tháp là tổng của 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên

1 11 11 1 ( ) (1 ) 2 1 12,28. 2 24564( ) 11 1 1 1 2 S q T m q       

Diện tích của mỗi viên gạch là 30 x 30 = 900cm2 = 0,09m2 Vậy số lượng gạch cần dùng là:

N = 24,564 : 0,09 = 272,76 (viên).

Trong quá trình xây dựng có thể viên gạch hoa được cắt ra, do đó ta nên mua số lượng nhiều hơn số liệu được tính toán, chẳng hạn mua 300 viên.

Ta hãy xét thêm ví dụ sau:

Ví dụ 2.6: Một bé trai có thể mang họ cha là Nguyễn hoặc họ mẹ là Lê. Chữ lót có thể là: Văn, Hữu, Hồng, Bích. Còn tên có thể là: Nhân, Nghĩa, Trí, Đức hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách có thể đặt họ tên cho bé? (gồm họ, chữ lót và tên).

Nhận xét: Đứng trước bài toán này, HS cần biết phân tích ra 3 bước để giải là chọn họ, chọn chữ lót, và chọn tên. Mỗi bước đó sử dụng quy tắc cộng

để có kết quả. Sau đó HS phải biết tổng hợp lại các kết quả trên là dùng quy tắc nhân để có được đáp số cần tìm.

Lời giải được mong đợi từ HS là:

Việc đặt tên cho bé có thể chia ra làm ba giai đoạn: chọn họ, chọn chữ lót và chọn tên.

Chọn họ có 2 cách chọn Chọn chữ lót có 4 cách chọn Chọn tên có 5 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có: 245 = 40 cách có thể đặt họ tên cho bé.

Ta cùng xét một ví dụ sau để thấy được việc cần phân tích, tổng hợp một bài toán có nội dung thực tiễn để tìm ra lời giải.

Ví dụ 2.7: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81 m. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.

Nhận xét: Với bài toán này, HS phải biết tìm hiểu bài toán một cách cẩn thận, Phân tích xem những lúc quả bóng rơi có mối liên quan gì, lúc quả bóng nảy thì có mối liên quan gì với nhau. Từ đó tổng hợp để tìm ra hướng giải.

Lời giải mong đợi từ HS là:

Đặt h1 =81(m). Sau lần chạm đất đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là 2 2 1

h  h . Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao h2, chạm đất và nảy lên độ cao

3 2

2 3

h  h rồi rơi từ độ cao h3 và cứ tiếp tục như vậy. Sau lần chạm thứ n từ độ cao hn, quả bóng nảy lên độ cao 1 2 ,

3 n n

h  h … . Tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa là

... ...

S là tổng của hai cấp số nhân lùi vô hạn có cùng công bội 2 3 q . Do đó 1 2 1 2 3( ) 405( ) 2 2 1 1 3 3 h h S    h h  m  

Ta hãy xem bài toán sau:

Ví dụ 2.8: Cho 10 người ngồi trên 10 cái ghế, xung quanh một bàn tròn, trong đó có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau?

Nhận xét: Đứng trước bài toán này, nếu HS không biết phân tích để hiểu rõ đề bài thì dễ dẫn đến cách giải bị sai. Có thể HS sẽ có cách giải sau:

Lời giải của học sinh:

Ta xét bài toán gián tiếp: Tính số cách sắp xếp sao cho mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh một học sinh nam khác.

Ta có A2

4 cách chọn 2 học sinh nữ bất kỳ (có thứ tự). Như vậy 4 học sinh nữ được chia làm 2 nhóm. Ta cần tìm 2 trong số 5 cặp chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ này. Có C2

5 cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ.

6 học sinh nam còn lại được xếp tuỳ ý giữa các học sinh nữ, ta cố định vị trí của một học sinh nam thì 5 học sinh nam còn lại có 5! Cách xếp vòng tròn. Vậy số cách xếp để mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh học sinh nữ khác là:

A2 4.C2

5.5! = 14400 cách.

Mặt khác, 10 người xếp quanh bàn tròn thì có 9! Cách xếp Vậy số cách xếp 2 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau là:

9! – 14400 = 348480 cách.

Lời giải trên chưa đúng là do HS phân tích chưa kỹ đề bài dẫn đến phân chia thiếu trường hợp 3 nữ ngồi cạnh nhau, học sinh nữ còn lại không ngồi cạnh bạn nữ nào.

Khi GV phân tích lại và định hướng trường hợp cho HS. Sau đó các em tổng hợp các ý lại và có lời giải được mong đợi là:

Lời giải được mong đợi từ HS là:

Giả sử đã xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam. Vì 4 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau nên họ được chọn 4 trong 6 vị trí xen kẽ giữa học sinh nam. Số cách chọn là: A4

6. Vì 2 cách xếp vị trí cho 10 người với cùng một thứ tự quanh bàn tròn được coi là một nên ta có thể chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào đó, số hoán vị của 5 học sinh nam còn lại vào các vị trí là 5!.

Vậy theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là: A4

6.5! = 43200 cách.

Như vậy, ta thấy việc tập cho HS khả năng phân tích, tổng hợp một bài toán có nội dung thực tiễn là cần thiết. Góp phần để các em học tốt môn Toán hơn.

Ví dụ 2.9: Trong một hộp có 10 bóng đèn, trong đó có 2 bóng bị hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6 bóng đèn thì có không quá 1 bóng bị hỏng.

Nhận xét: Với bài toán này, HS phải biết phân tích như sau: Trong 6 bóng đèn thì có không quá 1 bóng đèn hỏng nghĩa là không có bóng đèn nào hỏng hoặc có một bóng đèn hỏng. Đây là bài toán dùng quy tắc cộng xác suất.

Lời giải được mong đợi từ HS là:

Gọi A1 là biến cố “Trong 6 bóng đèn lấy ra không có bóng đèn nào hỏng” 2

A là biến cố “trong 6 bóng đèn lấy ra có 1 bóng đèn hỏng”

A là biến cố “Trong 6 bóng đèn lấy ra có không quá 1 bóng đèn hỏng” Khi đó A A 1A2. Do A1 và A2 xung khắc nhau nên

   1  2

P A P A P A

Số cách lấy ra 6 bóng đèn từ 10 bóng đèn là 6 10

53   6 10 210 n C     Có 8 bóng đèn không bị hỏng nên   6 1 8 28 n A C  Số cách lấy 5 bóng đèn từ 8 bóng đèn không bị hỏng là 5 8 C Số cách lấy 1 bóng đèn từ 2 bóng đèn hỏng là 1 2 C

Theo quy tắc nhân ta có   5 1 2 8. 2 112 n A C C  Do vậy ta có:    1  2 28 112 2 210 210 3 P A P A P A   