Hình chiếu trục đo
Khái niệm Hình chiếu trục đo được Giáo trình vẽ kỹ thuật của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội trình bày như sau:
Hình chiếu thẳng góc là loại hình biểu diễn đơn giản, cho phép thể hiện chính xác hình dạng và kích thước của vật thể. Do đó trong kỹ thuật dùng phương pháp hình chiếu thẳng góc làm phương pháp biểu diễn chính. Song mỗi hình chiếu thẳng góc chỉ thể hiện kích thước hai chiều nên người đọc khó hình dung ra hình dạng của vật thể. Để khắc phục nhược điểm đó người ta dùng phương pháp hình chiếu trục đo để bổ sung. Hình chiếu trục đo là hình chiếu biểu diễn nổi của vật thể trên một mặt phẳng hình chiếu bằng phép chiếu song song. Hình chiếu trục đo thể hiện đồng thời cả ba chiều của vật thể trên một hình biểu diễn nên dễ thấy được hình dạng của nó. Chính vì vậy, bên cạnh các hình chiếu thẳng góc người ta thường vẽ trên hình chiếu trục đo của vật thể đó.
Để xây dựng hình chiếu trục đo người ta làm như sau – Gắn hệ trục tọa độ Descartes ba chiều OXYZ vào vậy thể. –Chọn mặt phẳng P’ làm mặt phẳng hình chiếu và hướng chiếu L.
–Chiếu hệ trục tọa độ OXYZ và vật thể theo hướng chiếu L lên mặt phẳng P’ ta có hình chiếu của các trục là OX’Y’Z’ (được gọi là các trục đo) và hình chiếu của vật thể đó gọi là hình chiếu trục đo.
Ta đã biết, một đoạn thẳng (hay một cạnh) được xác định bởi hai điểm, mỗi hình phẳng (mỗi mặt) lại được xác định bằng các cạnh của nó, vì vậy việc dựng Hình chiếu trục đo cũng quy về dựng các điểm, các cạnh và các mặt trong không gian.
Cách dựng Hình chiếu trục đo được mô tả vô cùng chi tiết.
A. Dựng hình chiếu trục đo của điểm A
Từ hệ tọa độ vuông góc của điểm A (XA,YA, ZA) như trên hình 5.32 ta dựng lại vị trí của điểm A trong không gian theo các bước sau:
- Chọn loại hình chiếu trục đo, vẽ các trục đo.
- Xác định tọa độ trục đo của điểm A bằng cách nhân tọa độ vuông góc với hệ số biến dạng của hệ trục đo.
x’A=xAp;y’A=yAq;z’A=zAr
- Đặt các tọa độ trục đo lên các trục đo và xác định A’ là hình chiếu trục đo của A (hình 5.33).
B. Dựng hình chiếu trục đo của một đoạn thẳng
- Nếu đoạn thẳng có vị trí bất kỳ so với truc tọa độ ta xác định hình chiếu trục đo hai điểm đầu mút của đoạn thẳng rồi nối hình chiếu trục đo hai điểm đó ta có hình chiếu trục đo của đoạn thẳng. Ví dụ đoạn A’B’ trên hình 5.34.
Ta xác định hình chiếu trục đo của điểm A’ và B’, sau đó nối A’ với B’ ta được đoạn thẳng A’B’.
- Nếu đoạn thẳng song song với một trục đo nào đó thì chỉ cần xác định một điểm thuộc đoạn thẳng, qua hình chiếu trục đo của điểm vừa xác định kẻ song song với trục đo. Điểm còn lại phải thuộc đường thẳng vừa kẻ và có khoảng cách bằng khoảng cách thật giữa hai điểm nhân với hệ số biến dạng của trục đo. Hình 5.35.
Để xác định A’D’ ta chỉ cần xác định tọa độ điểm A’ sau đó kẻ qua A’ đường thẳng song song với O’X’. Vị trí điểm D’ được tính bằng A’D’=AD x p.
C. Dựng hình chiếu trục đo của một hình phẳng
Dựng hình chiếu trục đo của một lục giác ABCDEG thuộc mặt phẳng song song với mặt phẳng ZOX, ta gắn mặt phẳng ABCDEG trùng với mặt phẳng XOZ. Tâm O trùng với điểm A của hình phẳng, cạnh AG trùng với trục OX, cạnh AB trùng với trục OZ (Hình 5.36).
Theo cách dựng điểm và đoạn thẳng ta có thể dựng dễ dàng hình phẳng ABCDEG. Trình tự như sau:
+ Vẽ điểm A’(0,0).
+ Vẽ điểm B’(0,a).
+ Vẽ điểm C’(h,b).
+ Xác định G’ trên O’X’ thỏa mãn O’G’=m. + Vẽ điểm E(m,a).
+ Nối E’ với D’ ta được hình phẳng cần dựng (Hình 5.37).
D. Dựng hình chiếu trục đo vật thể có dạng hình hộp
- Chọn gốc tọa độ trùng với góc của khối hộp lớn, các mặt của khối hộp nằm trong các mặt phẳng tọa độ. Dựng hình chiếu trục đo của khối hộp lớn trước, sau đó dựng đến các khối nhỏ, phần vát, lỗ rỗng (nếu có), v.v…
- Trên hình chiếu trục đo không thể hiện phần khuất của vật thể. Tầy bỏ các nét thừa, tô lại phần thấy. Hình 5.38 trình bày các bước dựng hình chiếu trục đo của một khối hộp.
Đối với các vật thể có các mặt phẳng đối xứng thì nên chọn mặt phẳng đối xứng làm mặt phẳng tọa độ. Hình 5.39 trình bày cách vẽ hình chiếu trục đo của vật thể có mặt phẳng đối xứng. Ta chọn mặt phẳng đối xứng làm mặt phẳng tọa độ YOX, mặt phẳng vuông góc với trục mặt trụ làm mặt phẳng XOZ. Chọn Hình chiếu trục đo đứng đều để vẽ hình chiếu trục đo của các đường tròn đơn giản hơn so với các loại trục đo khác. Cách dựng như sau:
- Vẽ mặt ngoài cùng của vật thể (trùng với mặt phẳng tọa độ X’O’Z’) (HÌnh 5.39b);
- Vẽ các đường song song với trục O’Y’ (hình 5.39c);
- Xác định bề bày vật thể (kích thước theo phương O’Y’) (hình 5.39d.
- Tô đậm các đường thầy và tầy các nét thừa ta có Hình chiếu trục đo của vật thể cần dựng (Hình 5.38e)
Hình 5.39 trình bày cách tìm các điểm thuộc giao tuyến hai mặt trụ bằng cách giải bài toán điểm thuộc đường sinh.
(https://voer.edu.vn/m/hinh-chieu-truc-do/43dca702)
Theo sách Vẽ kỹ thuật xây dựng, khái niệm Hình chiếu trục đo được trình bày như sau:
Khái niệm chung: Hình chiếu trục đo là loại hình biểu diễn nổi được xây dựng bằng phép chiếu song song. Hình chiếu trục đo của vật thể thường được vẽ kèm với các hình chiếu thẳng góc của nó nhằm giúp cho người đọc bản vẽ dễ dàng hình dung ra vật thể cần biểu diễn.
Để có được hình chiếu trục đo của vật thể người ta gắn nó vào một hệ trục tọa độ thẳng góc rồi chiếu song song cả hệ trục và vật thể đó lên mặt phẳng hình chiếu (H.5 – 43).
Trong hình chiếu trục đo, tính song song của các đường thẳng được bảo tồn. Trên hình 5 – 43 các đoạn thẳng OA, OB, OC thuộc ba trục tọa độ được chiếu thành các đoạn thẳng O’A’, O’B’, O’C’.
Các tỷ số 𝑂′𝐴′ 𝑂𝐴 = 𝑝; 𝑂′𝐵′ 𝑂𝐵 = 𝑞; 𝑂′𝐶′ 𝑂𝐶 = 𝑟
gọi là các hệ số biến dạng theo các trục Ox, Oy, Oz .
Tùy theo góc 𝜑 tạo bởi hướng chiếu 𝑙 với mặt phẳng hình chiếu ℘, người ta phân ra:
- Hình chiếu trục đo vuông góc, nếu 𝜑 = 900
- Hình chiếu trục đo xiên góc, nếu 𝜑 ≠ 900
Trong mỗi đoạn trên ta lại chia ra: hình chiếu trục đo đều (nếu 𝑝 = 𝑞 = 𝑟), hình chiếu trục đo cân (nếu 𝑝 = 𝑟 ≠ 𝑞), và hình chiếu trục đo lệch (nếu 𝑝 ≠ 𝑞; 𝑞 ≠ 𝑟 và 𝑝 ≠ 𝑟).”
Các hình chiếu trong Bản vẽ kỹ thuật
Một cách tiếp cận khác của phối cảnh song song là Lập phương tham chiếu với hai đặc trưng (tham số): mặt phẳng “biểu diễn đúng” và bộ đôi góc tụ, tỷ số rút gọn. Cách tiếp cận này được thể hiện bằng phép chiếu thẳng góc.
Các phương pháp chiếu để được hình chiếu thẳng góc biểu diễn vật thể không gian lên mặt phẳng được Giáo trình vẽ kỹ thuật của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội trình bày như sau:
1. Phương pháp chiếu góc thứ nhất
Trong phương pháp chiếu góc thứ nhất, vật thể được đặt giữa người quan sát (xem hình 4.3) và mặt phẳng tọa độ là mặt phẳng hình chiếu mà vật thể được chiếu vuông góc lên đó (xem hình 4.4).
Các vị trí của các hình chiếu khác hình chiếu chính (từ trước) A được xác định bằng cách quay các mặt phẳng hình chiếu quanh các đường thẳng
song song hoặc trùng với các trục tọa độ thuộc mặt phẳng tọa độ (mặt phẳng bản vẽ) chứa hình chiếu đứng A (xem hình 4.4).
Do đó trên bản vẽ, các hình chiếu được bố trí theo hình chiếu A như sau (xem hình 4.5).
- Hình chiếu B: hình chiếu từ phía trên được đặt ở phía dưới;
- Hình chiếu E: hình chiếu từ phía dưới được đặt ở phía trên;
- Hình chiếu C: hình chiếu từ bên trái được đặt ở bên phải;
- Hình chiếu D: hình chiếu từ bên phải được đặt ở bên trái;
- Hình chiếu F: hình chiếu từ phía sau được đặt ở bên phải hoặc bên trái sao cho thuận tiện.
2. Phương pháp chiếu góc thứ ba
Trong phương pháp chiếu góc thứ ba, các mặt phẳng tọa độ được đặt giữa người quan sát và vật thể, vật thể được chiếu vuông góc lên các mặt phẳng đó (xem hình 5). Trên mỗi mặt phẳng, hình chiếu của vật thể giống như hình mà người quan sát thấy được khi nhìn thẳng góc từ xa vào mặt phẳng chiếu trong suốt. Các vị trí của các hình chiếu khác hình chiếu chính (từ phía trước) A được xác định bằng cách quay các mặt phẳng hình chiếu quan các đường thẳng song song hoặc trùng với các trục tọa độ thuộc mặt phẳng tọa độ (mặt phẳng bản vẽ) chứa hình chiếu A (xem hình 4.7).
Do đó, trên bản vẽ, các hình chiếu được bố trí theo hình chiếu A như sau (xem hình 4.8):
- Hình chiếu B: hình chiếu từ phía trên được đặt ở phía trên;
- Hình chiếu E: hình chiếu từ phía dưới được đặt ở phía dưới;
- Hình chiếu C: hình chiếu từ bên trái được đặt ở bên trái;
- Hình chiếu D: hình chiếu từ bên phải được đặt ở bên phải;
- Hình chiếu F: hình chiếu từ phía sau được đặt ở bên trái hoặc bên phải; Kí hiệu đặt trưng của phương pháp này cho hình 4.9.
Bố trí theo các mũi tên chỉ dẫn
Trong trường hợp xét thấy có lợi, nếu bố trí hình hình chiếu không theo quy định của phương pháp chiếu góc thứ nhất hoặc góc thứ ba thì dùng phương pháp mũi tên chỉ dẫn để cho phép bố trí các hình chiếu một cách tự do. Khi đó, mỗi hình chiếu, trừ hình chiếu chính, phải kí hiệu bằng chữ. Chữ thường chỉ hướng chiếu, chữ hoa chỉ hình chiếu và ghi ở góc trên bên trái.
Các hình chiếu theo mũi tên chỉ dẫn có thể đặt ở vị trí bất kì đối với hình chiếu chính (xem hình 4.10). Các chữ hoa kí hiệu hình chiếu luôn luôn đặt ở vị trí theo chiều đọc bản vẽ mà không kể hướng chiếu như thế nào. Trên bản vẽ, không cần ghi kí hiệu chỉ dẫn phương pháp này.
Hình chiếu vuông góc đối xứng gương
Hình chiếu vuông góc đối xứng gương là hình chiếu góc, trong đó vật thể được biểu diễn là bản sao đối xứng qua gương (mặt trên) đặt song song với mặt nằm ngang của vật thể (xem hình 4.11).
Kí hiệu đặc trưng của phương pháp này cho ở hình 4.12. Phương pháp này thường dùng trong các bản vẽ xây dựng.
Phương pháp Hình chiếu thẳng góc được sách Vẽ kỹ thuật xây dưng trình bày như sau:
Theo phương pháp này, vật thể cần được biểu diễn được đặt giữa mắt người quan sát (tâm chiếu) và mặt phẳng hình chiếu tương ứng (H 4 – 1).
Hình chiếu của một vật thể là hình biểu diễn nhận được bằng cách chiếu thẳng góc các đường bao, các cạnh (nếu có) thuộc bề mặt của vật thể đó lên mặt phẳng hình chiếu tương ứng.
Các đường bao thấy, cạnh thấy được thể hiện bằng nét đậm. Các đường bao khuất, cạnh khuất được thể hiện bằng nét đứt.
TCVN 5 -78 quy định dùng 6 mặt của một hình hộp chữ nhật làm 6 mặt phẳng hình chiếu cơ bản (H.4 – 2a).
Sau khi chiếu thẳng góc vật thể lên các mặt phẳng hình chiếu đó, các mặt của hình hộp được trải ra cho trùng với mặt phẳng 1 (được chọn là mặt phẳng của bản vẽ). Sáu hình biểu diễn thu được gọi là các hình chiếu cơ bản của vật thể.
Các hình chiếu cơ bản được bố trí như trên hình 4 – 2b và được gọi tên như sau:
2 – Hình chiếu từ trên (hình chiếu bằng);
3 – Hình chiếu từ trái; 4 – Hình chiếu từ phải;
5 – Hình chiếu từ dưới;
6 – Hình chiếu từ sau.
Cách bố trí các hình chiếu như trên gọi là cách bố trí theo phương pháp chiếu ở góc tư thứ nhất (bố trí kiểu E).
Ở một số nước (Anh, Mỹ, Hà Lan…) người ta bố trí các hình chiếu theo phương pháp chiếu ở góc tư thứ ba (bố trí theo kiểu A), ở đó mặt phẳng
hình chiếu đặt giữa mắt người quan sát và vật thể cần biểu diễn (H. 4 – 3).
(https://voer.edu.vn/m/hinh-chieu-truc-do/43dca702)
1.5. Kết luận
Qua phân tích trên, chúng tôi có nhận xét rằng: Để biểu diễn một vật thể không gian, người ta thường dùng biểu diễn phối cảnh. Trong đó, biểu diễn phối cảnh được phân theo bảo toàn phần “thấy” có phối cảnh đường nét và bảo toàn phần “biết” có phối cảnh song song. Hình chiếu trục đo trong Bản vẽ kỹ thuật và hình chiếu song song của hình học không gian về mặt bản chất là hình biểu diễn qua phép chiếu song song, về mặt hình thức thì hình chiếu trục đo không thể hiện phần khuất của vật thể, trong khi hình chiếu song song lại thể hiện các đường nét khuất bằng các đoạn thẳng đứt nét. Bộ ba hình chiếu trong Bản vẽ kỹ thuật cũng là hình biểu diễn qua phép chiếu song song, cụ thể là phép chiếu vuông góc, cũng là một nhánh của phép chiếu phối cảnh.
Chương 2. NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ DẠY HỌC ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM PHÉP CHIẾU SONG SONG VÀ KHÁI NIỆM
PHỐI CẢNH SONG SONG TRONG BẢN VẼ KỸ THUẬT 2.1. Phép chiếu song song, hình biểu diễn của một hình không gian
Trong phần phân tích các tổ chức toán học sau đây, trọng tâm chúng tôi hướng đến việc phân chia các kiểu nhiệm vụ có liên quan đến việc vẽ hình và các bài tập cần sử dụng hình vẽ để giải nhằm cho thấy vai trò của hình vẽ đối với từng nhiệm vụ cụ thể. Do đó chúng tôi không xét đến khía cạnh tưởng tượng không gian, mặt khác những kỹ thuật để thực hiện thao tác vẽ các đối tượng và quan hệ hình học nào mà thuộc hình học phẳng (chẳng hạn thao tác vẽ đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước) chúng tôi chỉ ký hiệu chung là 𝜏𝑝. Công nghệ “các tính chất (quy tắc) của phép chiếu song song” liên quan đến nhiều nhiệm vụ, chúng tôi ký hiệu là 𝜃𝑘.
2.1.1. Bậc Trung học cơ sở
2.1.1.1. Cách tiếp cận hình biểu diễn của một hình trong các khái niệm, định lý, tính chất
Học sinh được bắt đầu làm quen với hình học không gian từ lớp 8. Cụ thể là Hình học không gian bắt đầu đến với học sinh từ sách Toán 8, tập 2, chương IV: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều.
Một số hình ảnh không gian được giới thiệu là thường gặp trong cuộc sống hàng ngày trong chương này là:
“Đó là những hình mà các điểm của chúng có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng.”
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Tác giả của sách Toán 8, tập 2 đã không định nghĩa Hình hộp chữ nhật, thay vào đó là dựa trên minh họa một hình biểu diễn (là hình biểu diễn qua phép chiếu song song) để giới thiệu Hình hộp chữ nhật. Từ đó định nghĩa các thành tố của hình như mặt, đỉnh, cạnh. Hình lập phương thì được định nghĩa dựa trên Hình hộp chữ nhật.
Tương tự như Hình hộp chữ nhật, Hình chóp cũng không được định nghĩa, thay vào đó, dựa trên minh họa một hình biểu diễn (là hình biểu diễn qua phép chiếu song song) để giới thiệu Hình chóp. Hình chóp đều được định nghĩa dựa trên Hình chóp. Từ đó định nghĩa các thành tố của hình như mặt bên, đỉnh, cạnh bên, đường cao, trung đoạn và mặt đáy.
Ngay từ khi bắt đầu, Hình học không gian đã chú ý đến học sinh các tính chất song song của một hình hình học. Chủ đích của tác giả, biểu diễn một hình hình học phải bảo toàn được tính chất song song của nó, được thể hiện rõ ràng qua các đề mục học tập trong bài 2 Hình hộp chữ nhật (tiếp theo).
Và các bài tập cũng chỉ xoay quanh vấn đề song song.