2.1.1.1. Cách tiếp cận hình biểu diễn của một hình trong các khái niệm, định lý, tính chất
Học sinh được bắt đầu làm quen với hình học không gian từ lớp 8. Cụ thể là Hình học không gian bắt đầu đến với học sinh từ sách Toán 8, tập 2, chương IV: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều.
Một số hình ảnh không gian được giới thiệu là thường gặp trong cuộc sống hàng ngày trong chương này là:
“Đó là những hình mà các điểm của chúng có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng.”
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Tác giả của sách Toán 8, tập 2 đã không định nghĩa Hình hộp chữ nhật, thay vào đó là dựa trên minh họa một hình biểu diễn (là hình biểu diễn qua phép chiếu song song) để giới thiệu Hình hộp chữ nhật. Từ đó định nghĩa các thành tố của hình như mặt, đỉnh, cạnh. Hình lập phương thì được định nghĩa dựa trên Hình hộp chữ nhật.
Tương tự như Hình hộp chữ nhật, Hình chóp cũng không được định nghĩa, thay vào đó, dựa trên minh họa một hình biểu diễn (là hình biểu diễn qua phép chiếu song song) để giới thiệu Hình chóp. Hình chóp đều được định nghĩa dựa trên Hình chóp. Từ đó định nghĩa các thành tố của hình như mặt bên, đỉnh, cạnh bên, đường cao, trung đoạn và mặt đáy.
Ngay từ khi bắt đầu, Hình học không gian đã chú ý đến học sinh các tính chất song song của một hình hình học. Chủ đích của tác giả, biểu diễn một hình hình học phải bảo toàn được tính chất song song của nó, được thể hiện rõ ràng qua các đề mục học tập trong bài 2 Hình hộp chữ nhật (tiếp theo).
Và các bài tập cũng chỉ xoay quanh vấn đề song song.
Trong Toán 8, tập 2, bài 4: Hình lăng trụ đứng, lần đầu tiên và cũng là duy nhất xuất hiện hướng dẫn về cách vẽ hình không gian lên hình học phẳng và đảm bảo bảo toàn song song, nhưng không lưu ý đến yếu tố độ dài, tính tỷ lệ cũng không được đề cập.
Chú ý
- BCFE là một hình chữ nhật, khi vẽ nó trên mặt phẳng, ta thường vẽ thành hình bình hành.
- Các cạnh song song vẽ thành các đoạn thẳng song song.
- Các cạnh vuông góc có thể không vẽ thành các đoạn thẳng vuông góc (EB và EF chẳng hạn).
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Sách giáo viên Toán 8, tập 2 có ghi rõ:
Ở chương này, các tác giả chỉ giới thiệu một số vật thể trong không gian thông qua các mô hình. Trên cơ sở quan sát hình hộp chữ nhật, học sinh nhận biết được một số khái niệm cơ bản của hình học không gian:
- Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
- Hai đường thẳng song song với nhau.
- Đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. - Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc. Thông qua quan sát và thực hành học sinh nắm vững các công thức đưuọc thừa nhận về diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình lăng trụ đứng, hình chóp đều và sử dụng các công thức đó để tính toán.
Chương trình không yêu cầu học sinh biểu diễn hình không gian nhưng việc quan sát mô hình, việc đọc hình là cần thiết.
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Sách Toán 9, tập 2, Hình học không gian được giới thiệu ở chương IV: Hình Trụ - Hình Nón – Hình Cầu.
Sách giáo viên Toán 9, tập 2, có ghi:
Thông qua một số hoạt động: quan sát mô hình, quay hình, nhận xét mô hình học sinh nhận biết được:
- Cách tạo thành hình trụ, hình nón, hình nón cụt và hình cầu. Thông qua đó nắm được những yếu tố của những hình nói trên.
- Đáy của hình trụ, hình nón, hình nón cụt.
- Đường sinh của hình trụ, hình nón.
- Mặt xung quanh của hình trụ, hình nón, hình cầu.
- Tâm, bán kính, đường kính của hình cầu.
Thông qua quan sát và thực hành học sinh nắm vững các công thức thừa nhận về diện tích xung quang, diện tích toàn phần, thể tích của hình lăng trụ đứng, hình chóp đều và sử dụng các công thức đó để tính toán.
“Không yêu cầu học sinh biểu diễn hình nhưng việc vẽ, quan sát mô hình, “đọc” hình là cần thiết.”
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Như vậy, tác giả đã ngầm ẩn giới thiệu đến học sinh phép chiếu song song, sử dụng phép chiếu song song để biểu diễn một hình học không gian trên mặt phẳng.
2.1.1.2. Kiểu nhiệm vụ liên quan
Qua phân tích sách Toán 8 tập 2, chúng tôi ghi nhận có các kiểu nhiêm vụ sau:
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑡𝑖𝑛ℎ𝑐ℎ𝑎𝑡: Kể tên các cặp đoạn thẳng song song, vuông góc, bằng nhau
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này chủ yếu là đọc hình. Nghĩa là hình biểu diễn của một hình không gian được đề bài cho sẵn, học sinh có nhiệm vụ nhìn hình, sau đó kể ra những đoạn thẳng song song, về tỷ lệ của các đoạn thẳng, về vuông góc,…
“1. Hãy kể tên những cạnh bằng nhau của hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ (h. 72).”
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Ví dụ sách Toán 8 Chương IV, Bài 1, Câu 6 trang 100
6. ABCD.A1B1C1D1 là một hình lập phương (h.81). Quan sát hình và cho biết:
a) Những cạnh nào song song với cạnh C1C.
b) Những cạnh nào song song với cạnh A1D1.
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Kỹ thuật 𝜏𝑡𝑖𝑛ℎ𝑐ℎ𝑎𝑡 - Quan sát hình vẽ
- Dựa trên các khái niệm, tính chất - Kết luận
Công nghệ 𝜃𝑡𝑖𝑛ℎ𝑐ℎ𝑎𝑡: Đặc điểm đặc trưng của hình vẽ, khái niệm hình khối và đặc điểm các yếu tố của nó, các tính chất của quan hệ song song, vuông góc.
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝒉𝒊𝒏𝒉𝒕𝒓𝒂𝒊: Gấp hình để được vật thể khi cho trước hình trải phẳng
Khối hình không gian được đề bài cho trước và các hình trải phẳng của vật thể không gian cũng được đề bài cho trước, nhiệm vụ của học sinh là cắt theo hình khai triển mặt, gấp và ghép các mặt với nhau để được vật thể không gian theo yêu cầu.
Ví dụ trong Toán 8, chương IV, bài 3, câu 10 trang 103
10. 1) Gấp hình 87a theo các nét đã chỉ ra thì có được một hình hộp chữ nhật hay không?
2) Kí hiệu các đỉnh hình hộp gấp được như trên hình 87b.
a) Đường thẳng BF vuông góc với những mặt phẳng nào?
b) Hai mặt phẳng (AEHD) và (CGHD) vuông góc với nhau, vì sao?
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Kỹ thuật 𝜏ℎ𝑖𝑛ℎ𝑡𝑟𝑎𝑖: Quan sát, tưởng tượng, thử các cách gấp để thu được kết quả.
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑣𝑒𝑡ℎ𝑒𝑚: Vẽ thêm đoạn thẳng, khi cho trước các đường cơ bản
Kiểu nhiệm vụ này chủ yếu là vẽ thêm các cạnh vào các hình được đề bài cho sẵn để có được một hình không gian hoàn chỉnh.
Ví dụ trong Toán 8, chương IV, bài 4, câu 20 trang 108
“20. Vẽ lại các hình sau vào vở rồi vẽ thêm các cạnh vào các hình 97b, có một hình hộp hoàn chỉnh (như hình 97a).”
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Kỹ thuật 𝜏𝑣𝑒𝑡ℎ𝑒𝑚: Quan sát, tưởng tượng (hình dung hình) để vẽ thêm đường nét.
Công nghệ 𝜃𝑣𝑒𝑡ℎ𝑒𝑚: Khái niệm hình khối và đặc điểm các yếu tố của nó.
Bảng 2.1. Thống kê số lượng bài tập có liên quan đến các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa Toán bậc Trung học cơ sở
Kiểu nhiệm vụ 𝑇𝑡𝑖𝑛ℎ𝑐ℎ𝑎𝑡 Kiểu nhiệm vụ 𝑇ℎ𝑖𝑛ℎ𝑡𝑟𝑎𝑖 Kiểu nhiệm vụ 𝑇𝑣𝑒𝑡ℎ𝑒𝑚 Bài tập Sách giáo khoa Toán 8 tập 2 18 9 4 31 Sách giáo khoa Toán 9 tập 2 2 1 0 3 2.1.2. Bậc Trung học phổ thông
2.1.2.1. Cách tiếp cận hình biểu diễn của một hình trong các khái niệm, định lý, tính chất
Chương trình hình học 11 dành hai chương để nghiên cứu phần Hình học không gian.
CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài 4: Hai mặt phẳng song song
Bài 5: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian CHƯƠNG 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Vectơ trong không gian Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc
Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài 5: Khoảng cách
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
Tuy chưa giới thiệu một cách chính thức cách vẽ các Hình biểu diễn một hình hình học, nhưng sách Hình học 11 có giới thiệu một vài hình biểu diễn của một số hình khối như hình lập phương, hình chóp tam giác.
Để vẽ hình biểu diễn của một hình không gian thì cần phải tuân thủ một số qua tắc vẽ hình. Một số quy tắc được các tác giả nêu ra trong sách Hình học 11 là:
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thất và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất.
Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau.
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
Các định nghĩa được sách Hình học 11 phát biểu có kèm theo hình mình họa. Điều này ngầm ẩn chỉ ra cách vẽ các đối tượng được định nghĩa, mà theo sách này gọi đó là hình biểu diễn mẫu.
Ví dụ như định nghĩa hình chóp trong sách Hình học 11 trang 51-52:
Trong mặt phẳng (𝛼) cho đa giác lồi 𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛. Lấy điểm S nằm ngoài
(𝛼). Lần lượt nối S với các đỉnh 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 ta được n tam giác 𝑆𝐴1𝐴2,
𝑆𝐴2𝐴3, …, 𝑆𝐴𝑛𝐴1. Hình gồm đa giác 𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛 và n tam giác 𝑆𝐴1𝐴2,
đỉnh và đa giác 𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛 là mặt đáy. Các tam giác 𝑆𝐴1𝐴2, 𝑆𝐴2𝐴3, …,
𝑆𝐴𝑛𝐴1 được gọi là các mặt bên; các đoạn 𝑆𝐴1, 𝑆𝐴2, … , 𝑆𝐴𝑛 là các cạnh bên; các cạnh của đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…(h.2.24).
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
Các định lí, tính chất không được chứng minh nhưng đều kèm theo hình vẽ minh họa để giúp học sinh hiểu thêm về chúng.
Ví dụ là Định lí 1 sách Hình học 11 trang 61:
Định lí 1
Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng(𝛼) và d song song vớ đường thẳng d’ nằm trong (𝛼) thì d song song với (𝛼).
Ngoài ra, các ví dụ cũng như các bài tập cũng được sách Hình học 11 vẽ hình minh họa.
Ví dụ 3 trang 59
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q,R và S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD và BC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn.
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
Trong sách giáo khoa Hình Học 11 hiện hành, ở Chương 2 “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song”, Bài 5 “Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian”, khái niệm hình biểu diễn của một hình ℋ được định nghĩa như sau:
Cho mặt phẳng (𝛼) và đường thẳng ∆ cắt (𝛼).
Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với ∆ sẽ cắt (𝛼) tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là
hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (𝛼) theo phương của đường thẳng ∆ hoặc nói gọn là theo phương ∆ (h.2.16).
Mặt phẳng (𝛼) gọi là mặt phẳng chiếu. Phương ∆ gọi là phương chiếu. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên mặt phẳng (𝛼) được gọi là phép chiếu song song lên (𝛼) theo phương ∆.
Nếu ℋ là một hình nào đó thì tập hợp ℋ′ các hình chiếu M’ của tất cả những điểm M thuộc ℋ được gọi là hình chiếu của ℋ qua phép chiếu song song nói trên.
Chú ý: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Sau đây ta chỉ xét các hình chiếu của những đường thẳng có phương không trùng với phương chiếu.
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
Như vậy, với chú ý trên, sách giáo khoa đã đặt điều kiện cho những phép chiếu song song được đặt ra hạn chế suy biến. Có như vậy thì các hình biểu biểu một hình hình học được trình bày trong sách giáo khoa hạn chế bị trùng lấp các đường cơ bản của một hình hình học. Cũng trong Bài 5 “Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian”,
phần III “Hình biểu diễn của một hình trong không gian lên mặt phẳng”, có hoạt động giải thích thêm cho phần chú ý, như sau:
Nếu không có chú ý trên thì cả hình a) và hình c) đều là hình biểu diễn của hình lập phương qua phép chiếu song song. Tuy nhiên, vì tác giả đã có chú ý đến người học về trường hợp này nên đáp án của hoạt động trên chỉ là câu a).
nhấn mạnh phương chiếu góc.
Các tính chất của phép chiếu song song được các tác giả của sách giáo khoa Hình học 11 trình bày:
Định lí 1
a) Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó (h.2.62).
b) Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (h.2.63 và h.2.64).
d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng (h.2.65 và h.2.66).
”
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
Với các tính chất trên của phép chiếu song song đã tạo thành một số quy ước khi thể hiện một vật thể không gian lên trên mặt phẳng. Trong sách Hình học 11 cơ bản, hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng được thể hiện như sau:
Hình biểu diễn của một hình 𝐻 trong không gian là hình chiếu song song của hình 𝐻 trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
Trong sách Hình học 11, tác giả có trình bày hình biểu diễn các hình thường gặp và có hình minh họa:
Tam giác. Một tam giấc bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác có dạng tùy ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, v.v…) (h.2.69).
Hình bình hành. Một hình bình hành bất kỳ bao giờ cũng có thể coi hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật…) (h.2.70).
Hình thang. Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu.
Hình tròn. Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn (h.2.71).
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
Thế nhưng vẫn không có hình mẫu cho các hình cơ bản như hình hộp, hình hình chữ nhật, hình lập phương, các loại hình chóp đều,….
Theo sách giáo viên Hình học lớp 11, tác giả đã viết về hình biểu diễn của phép chiếu song song như sau:
Hình biểu diễn song song (về sau chúng tôi gọi tắt là hình biểu diễn) của một hình hình học 𝐻 trên một mặt phẳng (𝛼) là hình chiếu song song 𝐻1
của hình 𝐻 lên mặt phẳng (𝛼) hoặc các hình 𝐻′ đồng dạng với hình chiếu
𝐻1 lên mặt phẳng (𝛼) theo một phương chiếu song song cho trước.
Nhận xét
Những bài đầu chủ yếu là các khái niệm, định nghĩa, định lí, tính chất, nên hình biểu diễn hình không gian chỉ đóng vai trò là hình minh họa, là hình biểu diễn mẫu nhằm giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm, định nghĩa,