Tổng hợp chuyển động của vật rắn 3.2.2 Định lý hợp gia tốc

3. Tổng hợp chuyển động

3.3. Tổng hợp chuyển động của vật rắn 3.2.2 Định lý hợp gia tốc

3.2.2. Định lý hợp gia tốc

Để thiết lập biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta đạo hàm bậc hai theo thời gian phương trình chuyển động tuyệt đối của điểm (phương trình 6.3). Ta có :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d x d y d z d r dv d r d i d j d k w = = =( +x +y +z )+( i + j + k )+ dt dt dt dt dt dt dt dt dt dx di dy dj dz dk +2( + + ) dt dt dt dt dt dt a

Trong kết quả tìm được nhóm các số hạng thứ nhất:

2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 d r d i d j d k ( +x +y +z ) dt dt dt dt

là đạo hàm bậc hai theo thời gian của phương trình (6.2) ( phương trình chuyển động kéo theo ) có thể thay bằng gia tốc kéo theo we

2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 d x d y d z ( i + j + k ) dt dt dt

là đạo hàm bậc hai theo thời gian của phương trình (6.1) ( phương trình chuyển động tương đối ) có thể thay bằng gia tốc tương đối

Nhóm các số hạng còn lại:

1 1 1

dx di dy dj dz dk

2( + + )

dt dt dt dt dt dt được gọi là gia tốc quay hay gia tốc Koriolit ký hiệu là wk

Thay các kết quả tìm được vào biểu thức của gia tốc tuyệt đối ta được:

wa wewrwk

Ta đi đến định lý sau đây gọi là định lý hợp gia tốc.

Đinh lý 6.2 : Trong chuyển động tổng hợp của điểm gia tốc tuyệt đối bằng tổng hình học của gia tốc kéo theo, gia tốc tương đối và gia tốc Koriolit.

a  e r k

w w w w (6.5)

Gia tốc Koriolit.

Gia tốc Koriolit wk được xác định theo biểu thức :

1 1 1

dx di dy dj dz dk w = 2( + + )

dt dt dt dt dt dt

k

Khi hệ động có chuyển động quay thì các véc tơ đơn vị i , j , k1 1 1 sẽ quay theo khi đó đạo hàm của nó theo thời gian khác không. Trong trường hợp hệ động không tham gia chuyển động quay thì các đạo hàm của nó sẽ bằng không và do đó gia tốc Koriolit sẽ không có vì vậy gia tốc này còn được gọi là gia tốc quay. Gia tốc Koriolit biểu diễn ảnh hưởng chuyển động quay của hệ động đến gia tốc của điểm.

Nếu vận tốc góc của hệ động (vận tốc góc kéo theo) là e thì khi hệ động quay quanh trục O1 với vận tốc góc e thì đạo hàm bậc nhất theo thời gian của các véc tơ đơn vị i , j , k1 1 1 chính là vận tốc đầu mút của chúng trong chuyển động quay quanh trục O1. (xem hình 7.3).

Ta có: 1 1 1 1 1 e e 1 e di dj dk =w ×i ; =w ×j ; =w ×k dt dt dt

Hình 2.10:

Thay các kết quả trên vào biểu thức thức của wk ta được:

  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 dx di dy dj dz dk dx dy dz w = 2( + + )=2 dt dt dt dt dt dt dt dt dt dx dy dz v dt dt dt k c c c e e r i j k i j k                          

Như vậy gia tốc Koriolit bằng hai lần tích hữu hướng giữa vận tốc góc kéo theo và véc tơ vận tốc tương đối.

k e r

w =2ω ×v (6.6)

Từ (7.6) ta có thể xác định độ lớn của gia tốc Koriolit theo biểu thức :

k e r

w =2 ×v sin( .v ).  e r

Ta thấy ngay gia tốc Koriolit bằng không trong trường hợp sau : - Khi hệ động chuyển động tịnh tiến nghĩa là khi e 0

- Khi động điểm đứng yên trong hệ động, nghĩa là khi vr = 0.

- Khi chuyển động tương đối theo phương dọc theo trục quay của chuyển động kéo theo nghĩa là khi góc hợp giữa e và vr bằng không hoặc bằng 1800

hình2.11:

Theo (6.6) gia tốc Koriolit co phương vuông góc với mặt phẳng chứa hai véc tơ e và vr có chiều sao cho khi nhìn từ mút của nó xuống mặt phẳng đó sẽ thấy e quay ngược chiều kim đồng hồ đi một góc nhỏ hơn 1800 sẽ đến trùng với vr

Trong thực hành ta có thể xác định phương chiều của w k như sau :

Chiếu véc tơ vận tốc tương đối vr lên mặt phẳng vuông góc với trục quay của chuyển động kéo theo. Sau đó quay hình chiếu vr đó đi một góc 900 theo chiều quay của e trong mặt phẳng trên ta sẽ xác định được phương chiều của gia tốc Koriolit.

Hình 2.12:

Sau đây sẽ giới thiệu một số ví dụ vận dụng các định lý hợp vận tốc và hợp gia tốc trong chuyển động tổng hợp của điểm.