Dãy phép thử Bernoulli

Khái niệm dãy phép thử Bernoulli: Xét một dãy các phép thử độc lập.

Các phép thử này đƣợc gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn: - Mỗi phép thử chỉ có hai kết quả: A và A;

- Xác suất P(A) = p(0 < p < 1) không đổi cho mọi phép thử. Giá trị p đƣợc gọi là xác suất thành công trong mỗi lần thử.

Chú ý: Dãy phép thử độc lập là dãy các phép thử mà kết quả của phép thử này không làm ảnh hƣởng tới kết quả của phép thử khác.

Công thức này mang tên nhà toán học ngƣời Thụy Sĩ Jacob Bernoulli (còn

đƣợc biết đến với tên James hoặc Jacques) (1654 – 1705).

Ví dụ 1:Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất 5 lần => Đó là dãy 5 phép thử Bernoulli.

Ví dụ 2: Một ngƣời bắn độc lập lần lƣợt 10 viên đạn vào bia => Đó là dãy 10 phép thử Bernoulli.

1.4.2. Công thức Bernoulli

Xác suất để trong n lần thực hiện phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần (0 k n) với xác suất mỗi lần A xảy ra là p (0 < p <1). Đƣợc ký hiệu là

Pn(k,p) và cho bởi công thức sau:

k k n-k

n n

P (k, p) = C p (1- p)

Công thức trên đƣợc gọi là công thức Bernoullị Chứng minh công thức Bernoulli:

Gọi B là biến cố trong n lần thực hiện phép thử biến cố A xảy ra đúng k lần.Ta biểu diễn biến cố B là tích của các biến cố A và A nhƣ sau:

...AA

n

B AAAA A A

Lƣu ý là vị trí của các biến cố A và A xuất hiện trong dãy trên là ngẫu nhiên, các biến cố A và A là độc lập với nhaụ

Ta có số cách xếp k vị trí cho A trong n vị trí trên là k n C . Từ đó: ( ) nk ( ) ( )...P( ) ( )...P( ) ( ) nk k(1 )n k k n k P B C P A P A A P A A P A C p p             

Ví dụ 3: Xác suất để một cây con sống sót sau khi mắc một loại sâu bệnh hiếm thấy là 0,4. Nếu biết rằng có 8 cây con mắc loại sâu bệnh này, tìm xác suất để trong 8 cây đó:

a) Có đúng 1 cây sống sót. b)Có đúng 3 cây sống sót.

Biết rằng khả năng sống sót của mỗi cây là độc lập với nhaụ

Giải:

Đây là dãy các phép thử Bernoulli với n = 8 và p = 0,4. a) Xác suất để có 1 cây sống sót là: 1 7 8(1;0, 4) 8(0, 4)(0,6) 0,0896 P C  b) Xác suất để có 3 cây sống sót là: 3 3 5 8(3;0, 4) 8(0, 4) (0,6) 0, 279 P C 

Mở rộng bài toán: Tính xác suất để trong n lần thực hiện phép thử: i) Biến cố A xảy ra từ k1 đến k2 lần.

ii) A xảy ra ít nhất 1 lần.

iii) Tìm số lần biến cố A xảy ra có khả năng nhất.

Giải quyết bài toán:

Sử dụng công thức Bernoulli đã xây dựng ở trên và các quy tắc đếm, ta dễ dàng chứng minh đƣợc các công thức sau:

i) Xác suất để biến cố A xảy ra từ k1 đến k2lần là:

1 2 1 1 2

( ) ( ) ( 1) .... ( )

n n n n

P k  k k P k P k   P k

ii) Xác suất để biến cố A xảy ra ít nhất một lần là: (1 ) 1 (0) 1 (1 p)n

n n

P  k n  P   

iii) Số lần A xảy ra có khả năng nhất là số nguyên k0 thỏa mãn:

 

0 0

(n1)p 1 k  (n 1)pk  (n1)p

Số nguyên k0 ở trên đƣợc gọi là giá trị chắc chắn nhất của số thành công hay giá trị có khả năng xảy ra lớn nhất. Pn(k0, p) là số hạng trung tâm của phân bố nhị thức mà ta sẽ học ở chƣơng saụ

iv) Phƣơng pháp giải sẽ đƣợc xét trong từng bài toán cụ thể.

Ví dụ 3: Một xạ thủ bắn lần lƣợt 6 viên đạn vào một mục tiêu với xác suất trúng trong mỗi lần bắn là 0,8. Tìm xác suất sao cho:

a) Có đúng 2 viên trúng mục tiêu. b)Có không quá 2 viên trúng mục tiêu. c) Có ít nhất 1 viên trúng mục tiêu.

d)Tìm số viên trúng mục tiêu có khả năng nhất.

e) Phải bắn bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất 1 viên trúng mục tiêu là 90%?

Giải:

Dãy phép thử ở đây là dãy phép thử Bernoulli với n = 6 và p = 0,8. a) Áp dụng công thức Bernoulli: P k pn( ; )P kn( )C p qnk k n k

Xác suất có đúng 2 viên trúng mục tiêu là:

2 2 4

6(2;0,8) 6(2) 6(0,8) (0, 2) 0,01536

P P C 

b) Xác suất có không quá 2 viên trúng mục tiêu là:

0 0 6 1 5 2 2 4

6(0 2) 6(0) 6(1) 6(2) 60,8 .0, 2 60,8.0, 2 60,8 .0, 2 0,01696

P  k P P P C C C



c) Xác suất có ít nhất 1 viên trúng mục tiêu là: 6

6(1 6) 1 (1 0,8) 1 0,000064 0,999936

P  k      

0 0 0

7.0,8 1 k 7.0,84,6k 5,6k 5

e) Gọi n0 là số lần bắn để xác suất có ít nhất 1 viên trúng mục tiêu là 0,9. Vậy 1 (1 p)n0 0,9 (1 p)n0 0,1.

Với p = 0,8 thay vào trên ta đƣợc 0

0 log 0,1 (1 0,8) 0,1 log 0,2 n n     .

Ví dụ 4: Tín hiệu thông tin đƣợc phát đi 3 lần độc lập nhaụ Xác suất thu đƣợc tín hiệu ở mỗi lần là 0,4.

a) Tìm xác suất để nguồn thu nhận đƣợc thông tin đúng 2 lần. b)Tìm xác suất để nguồn thu nhận đƣợc thông tin đó.

c) Nếu muốn xác suất thu đƣợc tin 0,9 thì phải phát đi ít nhất bao nhiêu lần?

Giải:

Có thể xem mỗi lần phát tin là một phép thử Bernoulli với mục đích thành công của phép thử là nguồn thu nhận đƣợc tin. Theo giả thiết xác suất thành công p của mỗi lần thử là 0,4.

a) Xác suất để nguồn thu nhận đƣợc thông tin đúng 2 lần là:

2 2

3(2,0, 4) C (0, 4) (0,6)3 0, 288

P  

b)Xác suất để nguồn thu nhận đƣợc thông tin là xác suất để có ít nhất 1 lần nguồn thu nhận đƣợc thông tin.

3 3

3(1 3) 1 3(0) 1 (1 p) 1 (0,6) 0,784

P  k  P      

c) Xác suất để nguồn thu nhận đƣợc thông tin khi phát đi n lần là: (1 ) 1 (0) 1 (1 p)n 1 (0,6)n n n P  k n  P      Để: (1 ) 0,9 1  0,6 0,9  0,6 0,1 log(0,1) 4,504. log(0,6) n n n P  k n        n 

Vì n nguyên dƣơng nên ta chọn n = 5.

BÀI TẬP

Bài 1: Xác suất nảy mầm của mỗi hạt giống là 0,4. Ngƣời ta gieo các hạt giống vào các hốc, mỗi hốc 4 hạt. Tính xác suất để mỗi hốc có ít nhất một hạt nảy mầm.

Giải:

Phép thử này thỏa mãn là phép thử Bernoullị

Xác suất để mỗi hốc có ít nhất một hạt nảy mầm là:

4 4

4(1 4) 1 (1 p) 1 (0,6) 0,8704

P  k      

Cần phải lấy một mẫu với cỡ mẫu bằng bao nhiêu sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu đó không bé hơn 0,95?

Giải:

Phép thử này thỏa mãn là phép thử Bernoullị

Gọi n là số sản phẩm cần lấỵ A là biến cố có ít nhất một phế phẩm trong n sản phẩm lấy ra. ( ) n(1 ) 1 (1 p)n 1 (0,98)n P A P  k n      Để:     log(0,05) ( ) 0,95 1 0,98 0,95 0,98 0,05 148 log(0,98) n n P A        n  n

Vậy số hạt giống cần lấy là n = 148.

Bài 3: Tỷ lệ học sinh trong trƣờng bị cận thị là 1%. Hỏi cần lấy một mẫu cỡ bao nhiêu (chọn bao nhiêu học sinh) để trong mẫu đó có ít nhất một học sinh bị cận thịvới xác suất không bé hơn 0,95?

Bài 4: Bắn độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêụ Xác suất trúng đích của mỗi viên đạn bằng 0,2. Mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn nếu có ít nhất hai viên đạn trúng mục tiêụ Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn.

Bài 5: Một nữ công nhân quản lý 12 máy dệt. Xác suất để mỗi máy dệt trong khoảng thời gian T cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân bằng 1/3. Tính xác suất để:

a) Trong khoảng thời gian T có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân. b)Trong khoảng thời gian T số máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân không bé hơn 3, không lớn hơn 6.

Bài 6: Phải gieo 2 đồng xu bao nhiêu lần để với xác suất không nhỏ hơn 0,99 có thể tin rằng có ít nhất một lần đƣợc cả hai mặt sấp.