Trong thực tế, ta thƣờng xuyên phải so sánh hai hay nhiều đại lƣợng với nhaụ Trong thống kê, ta cũng có các công cụ giúp giải quyết vấn đề này dựa trên những bằng chứng thu đƣợc về các đại lƣợng quan tâm.
Bài này sẽ so sánh giá trị trung bình của hai biến ngẫu nhiên dựa trên hai mẫu độc lập và hai biến đƣợc giả thiết là có phân phối chuẩn hoặc cỡ mẫu lớn.
Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên, và là hai mẫu về X và Ỵ
Bài toán đặt ra nhƣ sau: Với mức ý nghĩa cho trƣớc, kiểm định giả thuyết sau: Bài toán 1: Giả thuyết / đối thuyết .
Bài toán 2: Giả thuyết / đối thuyết . Bài toán 3: Giả thuyết / đối thuyết . Ta giải ba bài toán trên trong các trƣờng hợp sau:
Trƣờng hợp 1: Các biến đƣợc giả thiết có phân phối chuẩn và phƣơng sai đã biết, tức là và với đã biết.
Lời giải bài toán 1:
Tiêu chuẩn kiểm định:
̅ ̅
√
Nếu giả thuyết đúng thì tiêu chuẩn U có phân phối chuẩn tắc. Với mức ý nghĩa cho trƣớc, ta tìm số thỏa mãn:
(| | )
Vì nên tra bảng phân phối chuẩn tắc tại mức , ta tìm đƣợc giá trị nàỵ Do vậy, miền bác bỏ giả thuyết của bài toán là:
{| | }
Dựa vào mẫu, tính ̅ ̅và tiêu chuẩn U:
̅ ̅
So sánh | |với .
Kết luận: Nếu | | ta bác bỏ giả thuyết . Ngƣợc lại, ta chấp nhận giả thuyết đặt rạ
Một cách tƣợng tự, miền bác bỏ giả thuyết của Bài toán 2 và Bài toán 3 lần lƣợt là:
Trƣờng hợp 2: Các biến đƣợc giả thiết có phân phối chuẩn và phƣơng sai chƣa biết, cỡ mẫu nhỏ, tức là và với chƣa biết và n < 30 hoặc m < 30.
a)Mặc dù chưa biết nhưng ta giả thiết chúng bằng nhaụ Ta vẫn xét ba bài toán kiểm định giả thuyết đã nêu
Lời giải bài toán 1:
Ta ƣớc lƣợng phƣơng sai chung:
Tiêu chuẩn kiểm định:
̅ ̅
√
Giả sử, giả thuyết đúng, ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng tiêu chuẩn T có phân phối Student với bậc tự dọ
Với mức ý nghĩa cho trƣớc, ta tìm số thỏa mãn:
(| | )
Vì tiêu chuẩn T có phân phối chuẩn tắc nên là phân vị mức của phân phối Student với bậc tự dọ Miền bác bỏ giả thuyết của bài toán là:
{| | }
-So sánh | |với .
-Kết luận: Nếu | | ta bác bỏ giả thuyết. Ngƣợc lại, ta chấp nhận nó.
Một cách tƣơng tự, miền bác bỏ giả thuyết của Bài toán 2 và Bài toán 3 lần lƣợt là:
Trong đó, đƣợc tra ở bảng phân phối Student với
bậc tự do mức .
ạ Phương sai của hai biến khác nhau, tức là (đọc thêm)
Ta vẫn xét ba bài toán kiểm định đã nêụ -Tiêu chuẩn kiểm định:
̅ ̅
√
Khi giả thuyết đúng, tiêu chuẩn T có phân phối xấp xỉ Student với bậc tự do đƣợc ƣớc lƣợng là phần nguyên của:
( )
( ) ( )
Dựa vào phân phối này, ta sẽ đƣa ra đƣợc miền bác bỏ giả thuyết.
Trƣờng hợp 3: Phƣơng sai của biến chƣa biết và mẫu có kích thƣớc lớn
, trong trƣờng hợp này có thể bỏ qua tính chuẩn của biến. Đối với trƣờng hợp này, ta tìm ƣớc lƣợng không chệch cho phƣơng sai của biến X và cho phƣơng sai của biến Ỵ Sau đó, thay bằng và bằng và giải các bài toàn kiểm định giả thuyết nhƣ trƣờng hợp 1.
Ví dụ 1: Khảo sát chiều cao của 28 cây keo và 29 cây Lát Hoa giống đƣợc ƣơm trồng với các điều kiện khá giống nhau, ta đƣợc kết quả: Chiều cao trung bình và phƣơng sai mẫu của các cây keo và cây Lát Hoa lần lƣợt là 0,75 m với phƣơng sai 0,25 và 0,5 m với phƣơng sai 0,2. Với mức ý nghĩa 5%, có thể nói rằng chiều cao của cây keo lớn hơn cây Lát Hoa không? Giả thiết, chiều cao cây có phân phối chuẩn.
Giải:
Gọi X và Y lần lƣợt là chiều cao của cây Keo và cây Lát Hoạ
Theo giả thiết: và với chƣa biết. Ta có: ̅ ̅
Bài toán đặt ra:
{
Phƣơng sai chung:
Tiêu chuẩn kiểm định:
̅ ̅ √
Tra bảng phân phối Student 55 bậc tự do mức 5%, ta có
Nhƣ vậy, T = 2,08 > nên ta bác bỏ giả thuyết, nghĩa là chiều cao của cây keo là lớn hơn.